【备考2014】2013高考数学-(真题+模拟新题分类汇编)-立体几何-文

立体几何G1空间几何体的结构8．G1，G6[2013·北京卷]如图1－2，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为对角线BD1的三等分点，P到各顶点的距离的不同取值有()图1－2A．3个B．4个C．5个D．6个8．B[解析]设棱长为1，∵BD1＝3，∴BP＝33，D1P＝233.联结AD1，B1D1，CD1，得△ABD1≌△CBD1≌△B1BD1，∴∠ABD1＝∠CBD1＝∠B1BD1，且cos∠ABD1＝33，联结AP，PC，PB1，则有△ABP≌△CBP≌△B1BP，∴AP＝CP＝B1P＝63，同理DP＝A1P＝C1P＝1，∴P到各顶点的距离的不同取值有4个．18．G1，G4，G5[2013·广东卷]如图1－4(1)，在边长为1的等边三角形ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，F是BC的中点，AF与DE交于点G，将△ABF沿AF折起，得到如图1－4(2)所示的三棱锥A－BCF，其中BC＝22.图1－4(1)证明：DE∥平面BCF；(2)证明：CF⊥平面ABF；(3)当AD＝23时，求三棱锥F－DEG的体积．18．解：G2空间几何体的三视图和直观图10．G2，G7[2013·北京卷]某四棱锥的三视图如图1－3所示，该四棱锥的体积为________．图1－310．3[解析]正视图的长为3，侧视图的长为3，因此，该四棱锥底面是边长为3的正方形，且高为1，因此V＝13×(3×3)×1＝3.18．G2，G4[2013·福建卷]如图1－3，在四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，BC＝5，DC＝3，AD＝4，∠PAD＝60°.(1)当正视方向与向量AD→的方向相同时，画出四棱锥P－ABCD的正视图(要求标出尺寸，并写出演算过程)；(2)若M为PA的中点，求证：DM∥平面PBC；(3)求三棱锥D－PBC的体积．图1－318．解：(1)在梯形ABCD中，过点C作CE⊥AB，垂足为E.由已知得，四边形ADCE为矩形，AE＝CD＝3，在Rt△BEC中，由BC＝5，CE＝4，依勾股定理得BE＝3，从而AB＝6.又由PD⊥平面ABCD得，PD⊥AD.从而在Rt△PDA中，由AD＝4，∠PAD＝60°，得PD＝43.正视图如图所示．(2)方法一：取PB中点N，联结MN，CN.在△PAB中，∵M是PA中点，∴MN∥AB，MN＝12AB＝3.又CD∥AB，CD＝3，∴MN∥CD，MN＝CD，∴四边形MNCD为平行四边形，∴DM∥CN.又DM平面PBC，CN平面PBC，∴DM∥平面PBC.方法二：取AB的中点E，联结ME，DE.在梯形ABCD中，BE∥CD，且BE＝CD，∴四边形BCDE为平行四边形，∴DE∥BC.又DE平面PBC，BC平面PBC，∴DE∥平面PBC.又在△PAB中，ME∥PB，ME平面PBC，PB平面PBC，∴ME∥平面PBC.又DE∩ME＝E，∴平面DME∥平面PBC.又DM平面DME，∴DM∥平面PBC.(3)VD－PBC＝VP－DBC＝13S△DBC·PD，又S△DBC＝6，PD＝43，所以VD－PBC＝83.6．G2[2013·广东卷]某三棱锥的三视图如图1－2所示，则该三棱锥的体积是()图1－2A.16B.13C.23D．16．B[解析]由三视图得三棱锥的高是2，底面是一个腰为1的等腰直角三角形，故体积是13×12×1×1×2＝13，选B.5．G2[2013·广东卷]执行如图1－1所示的程序框图，若输入n的值为3，则输出s的值是()图1－1A．1B．2C．4D．75．C[解析]1≤3，s＝1＋0＝1，i＝2；2≤3，s＝1＋1＝2，i＝3；s＝2＋2＝4，i＝4；43，故输出s＝4，选C.7．G2[2013·湖南卷]已知正方体的棱长为1，其俯视图是一个面积为1的正方形，侧视图是一个面积为2的矩形，则该正方体的正视图的面积等于()A.32B．1C.2＋12D.27．D[解析]由题可知，其俯视图恰好是正方形，而侧视图和正视图则应该都是正方体的对角面，故面积为2，选D.8．G2[2013·江西卷]一几何体的三视图如图1－2所示，则该几何体的体积为()图1－2A．200＋9πB．200＋18πC．140＋9πD．140＋18π8．A[解析]该几何体上面是半圆柱，下面是长方体，半圆柱体积为12π·32·2＝9π，长方体体积为10×5×4＝200.故选A.13．G2[2013·辽宁卷]某几何体的三视图如图1－3所示，则该几何体的体积是________．图1－313．16π－16[解析]由三视图可知该几何体是一个圆柱里面挖去了一个长方体，所以该几何体的体积为V＝4π×4－16＝16π－16.9．G2[2013·新课标全国卷Ⅱ]一个四面体的顶点在空间直角坐标系O－xyz中的坐标分别是(1，0，1)，(1，1，0)，(0，1，1)，(0，0，0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到的正视图可以为()图1－39．A[解析]在空间直角坐标系O－xyz中画出三棱锥，由已知可知三棱锥O－ABC为题中所描叙的四面体，而其在zOx平面上的投影为正方形EBDO，故选A.图1－44．G2[2013·山东卷]一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正(主)视图如图1－1所示，则该四棱锥侧面积和体积分别是()图1－1A．45，8B．45，83C．4(5＋1)，83D．8，84．B[解析]由正视图知该几何体的高为2，底面边长为2，斜高为22＋1＝5，∴侧面积＝4×12×2×5＝45，体积为13×2×2×2＝83.12．G2[2013·陕西卷]某几何体的三视图如图1－2所示，则其表．面积为________．图1－212．3π[解析]由三视图得该几何体为半径为1的半个球，则表面积为半球面＋底面圆，代入数据计算为S＝12×4π×12＋π×12＝3π.11．G2[2013·新课标全国卷Ⅰ]某几何体的三视图如图1－3所示，则该几何体的体积为()图1－3A．16＋8πB．8＋8πC．16＋16πD．8＋16π11．A[解析]该空间几何体的下半部分是一个底面半径为2，母线长为4的半圆柱，上半部分是一个底面边长为2、高为4的正四棱柱．这个空间几何体的体积是12×π×4×4＋2×2×4＝16＋8π.5．G2[2013·浙江卷]已知某几何体的三视图(单位：cm)如图1－1所示，则该几何体的体积是()图1－1A．108cm3B．100cm3C．92cm3D．84cm35．B[解析]此直观图是由一个长方体挖去一个三棱锥而得，如图所示其体积为3×6×6－13×12×3×4×4＝108－8＝100(cm3)．所以选择B.19．G2和G5[2013·重庆卷]如图1－4所示，四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，PA＝23，BC＝CD＝2，∠ACB＝∠ACD＝π3.(1)求证：BD⊥平面PAC；(2)若侧棱PC上的点F满足PF＝7FC，求三棱锥P－BDF的体积．图1－419．解：(1)证明：因为BC＝CD，即△BCD为等腰三角形，又∠ACB＝∠ACD，故BD⊥AC.因为PA⊥底面ABCD，所以PA⊥BD，从而BD与平面PAC内两条相交直线PA，AC都垂直，所以BD⊥平面PAC.(2)三棱锥P－BCD的底面BCD的面积S△BCD＝12BC·CD·sin∠BCD＝12·2·2·sin2π3＝3.由PA⊥底面ABCD，得VP－BCD＝13·S△BCD·PA＝13×3×23＝2.由PF＝7FC，得三棱锥F－BCD的高为18PA，故VF－BCD＝13·S△BCD·18PA＝13×3×18×23＝14，所以VP－BDF＝VP－BCD－VF－BCD＝2－14＝74.8．G2和G7[2013·重庆卷]某几何体的三视图如图1－3所示，则该几何体的表面积为()图1－3A．180B．200C．220D．2408．D[解析]该几何体为直四棱柱，其高为10，底面是上底为2，下底为8，高为4，其腰为5的等腰梯形，所以底面面积和为12(2＋8)×4×2＝40.四个侧面的面积和为(2＋8＋5×2)×10＝200，所以该直四棱柱的表面积为S＝40＋200＝240，故选D.G3平面的基本性质、空间两条直线G4空间中的平行关系17．G4，G5，G7[2013·北京卷]如图1－5，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E和F分别是CD和PC的中点．求证：(1)PA⊥底面ABCD；(2)BE∥平面PAD；(3)平面BEF⊥平面PCD.图1－517．证明：(1)因为平面PAD⊥底面ABCD，且PA垂直于这两个平面的交线AD，所以PA⊥底面ABCD.(2)因为AB∥CD，CD＝2AB，E为CD的中点，所以AB∥DE，且AB＝DE，所以ABED为平行四边形，所以BE∥AD.又因为BE平面PAD，AD平面PAD，所以BE∥平面PAD.(3)因为AB⊥AD，而且ABED为平行四边形，所以BE⊥CD，AD⊥CD.由(1)知PA⊥底面ABCD，所以PA⊥CD.又因为AD∩PA＝A，所以CD⊥平面PAD，所以CD⊥PD.因为E和F分别是CD和PC的中点，所以PD∥EF，所以CD⊥EF，所以CD⊥平面BEF，所以平面BEF⊥平面PCD.18．G2，G4[2013·福建卷]如图1－3，在四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，BC＝5，DC＝3，AD＝4，∠PAD＝60°.(1)当正视方向与向量AD→的方向相同时，画出四棱锥P－ABCD的正视图(要求标出尺寸，并写出演算过程)；(2)若M为PA的中点，求证：DM∥平面PBC；(3)求三棱锥D－PBC的体积．图1－318．解：(1)在梯形ABCD中，过点C作CE⊥AB，垂足为E.由已知得，四边形ADCE为矩形，AE＝CD＝3，在Rt△BEC中，由BC＝5，CE＝4，依勾股定理得BE＝3，从而AB＝6.又由PD⊥平面ABCD得，PD⊥AD.从而在Rt△PDA中，由AD＝4，∠PAD＝60°，得PD＝43.正视图如图所示．(2)方法一：取PB中点N，联结MN，CN.在△PAB中，∵M是PA中点，∴MN∥AB，MN＝12AB＝3.又CD∥AB，CD＝3，∴MN∥CD，MN＝CD，∴四边形MNCD为平行四边形，∴DM∥CN.又DM平面PBC，CN平面PBC，∴DM∥平面PBC.方法二：取AB的中点E，联结ME，DE.在梯形ABCD中，BE∥CD，且BE＝CD，∴四边形BCDE为平行四边形，∴DE∥BC.又DE平面PBC，BC平面PBC，∴DE∥平面PBC.又在△PAB中，ME∥PB，ME平面PBC，PB平面PBC，∴ME∥平面PBC.又DE∩ME＝E，∴平面DME∥平面PBC.又DM平面DME，∴DM∥平面PBC.(3)VD－PBC＝VP－DBC＝13S△DBC·PD，又S△DBC＝6，PD＝43，所以VD－PBC＝83.18．G1，G4，G5[2013·广东卷]如图1－4(1)，在边长为1的等边三角形ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，F是BC的中点，AF与DE交于点G，将△ABF沿AF折起，得到如图1－4(2)所示的三棱锥A－BCF，其中BC＝22.图1－4(1)证明：DE∥平面BCF；(2)证明：CF⊥平面ABF；(3)当AD＝23时，求三棱锥F－DEG的体积．18．解：8．G4、G5[2013·广东卷]设l为直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是()A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l⊥α，l⊥β，则α∥βC．若l⊥α，l∥β，则α∥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β8．B[解析]根据空间平行、垂直关系的判定和性质，易知选B.16．G4，G5[2013·江苏卷]如图1－2，在三棱锥S－ABC中，平面SAB⊥平面SBC，AB⊥BC，AS＝AB.过A作AF⊥SB，垂足为F，点E，G分别是棱SA，SC的中点．求证：(1)平面EFG∥平面ABC；(2)BC⊥SA.图1－216．证明：(1)因为AS＝AB，AF⊥SB，垂足为F，所以F是SB