（通用版）2020版高考数学复习 专题二 函数与导数 2.2 幂函数、指数函数、对数函数及分段函数课

2.2幂函数、指数函数、对数函数及分段函数-2-高考命题规律1.高考补充性考题.偶尔单独考查,主要考查大小比较及分段函数知识.2.选择题,5分,中低档难度.3.全国高考有3种命题角度,分布如下表.-3-2020年高考必备2015年2016年2017年2018年2019年Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅲ卷Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅲ卷Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅲ卷Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅲ卷命题角度1幂、指数、对数的运算与大小比较713312命题角度2幂函数、指数函数与对数函数的图象与性质1287命题角度3分段函数问题512-4-幂、指数、对数的运算与大小比较高考真题体验·对方向1.(2019全国Ⅲ·12)设f(x)是定义域为R的偶函数,且在(0,+∞)单调递减,则()A.flog314f(2-32)f(2-23)B.flog314f(2-23)f(2-32)C.f(2-32)f(2-23)flog314D.f(2-23)f(2-32)flog314答案:C解析:∵f(x)是R上的偶函数,∴flog314=f(-log34)=f(log34).又y=2x在R上单调递增,∴log341=202-232-32.又f(x)在区间(0,+∞)内单调递减,∴f(log34)f(2-23)f(2-32),∴f(2-32)f(2-23)flog314.故选C.-5-2.(2019全国Ⅰ·3)已知a=log20.2,b=20.2,c=0.20.3,则()A.abcB.acbC.cabD.bca答案:B解析:因为a=log20.20,b=20.220=1,又00.20.30.201,即c∈(0,1),所以acb.故选B.3.(2017北京·8)根据有关资料,围棋状态空间复杂度的上限M约为3361,而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080,则下列各数中与最接近的是()(参考数据:lg3≈0.48)A.1033B.1053C.1073D.1093答案:D解析:设𝑀𝑁=x=33611080,两边取对数,得lgx=lg33611080=lg3361-lg1080=361×lg3-80≈93.28,所以x≈1093.28,即与𝑀𝑁最接近的是1093.故选D.-6-4.(2018全国Ⅰ·13)已知函数f(x)=log2(x2+a),若f(3)=1,则a=.答案:-7解析:因为f(3)=log2(9+a)=1,所以9+a=2,即a=-7.-7-典题演练提能·刷高分1.式子1813-log32×log427+20180等于()A.0B.32C.-1D.12答案:A解析:由题意1813-log32×log427+20180=12-log32×32log23+1=12−32+1=0,故选A.-8-2.(2019河南八市联考二)设a=2313,b=1323,c=log2313,则a,b,c的大小关系是()A.abcB.bacC.acbD.cab答案:D解析:∵a=23132323,b=13232323,且2313230=1,而c=log2313log2323=1,∴cab.故选D.-9-3.已知a=17117,b=log1617,c=log1716,则a,b,c的大小关系为()A.abcB.acbC.bacD.cba答案:A解析:由题易知a=171171,b=log1617=12log1617∈12,1,c=log1716=12log1716∈0,12,∴abc,故选A.-10-4.(2019山东淄博一模)已知f(x)=(sinθ)x,θ∈0,π2,设a=f12log27,b=f(log43),c=f(log165),则a,b,c的大小关系是()A.cabB.acbC.bacD.cba答案:A解析:θ∈0,π2⇒sinθ∈(0,1)⇒f(x)在R上单调递减.∵12log27=log47,∴a=f12log27=f(log47).∵log165=12log45=log45,∴c=f(log45).∵log43log47log45,∴f(log43)f(log47)f(log45).可得bac,故选A.-11-5.已知0ab1,则()A.ln𝑎ln𝑏1B.𝑎ln𝑎𝑏ln𝑏C.alnablnbD.aabb答案:B解析:∵0ab1,∴lnalnb0,∴ln𝑎ln𝑏1,故A错误;∵01ln𝑎1ln𝑏,∴-1ln𝑎-1ln𝑏0,∴-𝑎ln𝑎-𝑏ln𝑏0,∴𝑎ln𝑎𝑏ln𝑏,B正确;又-lna-lnb0,但-alna与-blnb的大小不确定,故C错误;由指数函数的单调性可知aaab,由幂函数的单调性可知abbb,所以aabb的大小关系不确定,故D错误.所以选B.-12-幂函数、指数函数与对数函数的图象与性质高考真题体验·对方向1.(2019浙江·6)在同一直角坐标系中,函数y=1𝑎𝑥,y=logax+12(a0,且a≠1)的图象可能是()答案:D-13-解析:当0a1时,函数y=ax的图象过定点(0,1)且单调递减,则函数y=1𝑎𝑥的图象过定点(0,1)且单调递增,函数y=logax+12的图象过定点12,0且单调递减,D选项符合;当a1时,函数y=ax的图象过定点(0,1)且单调递增,则函数y=1𝑎𝑥的图象过定点(0,1)且单调递减,函数y=logax+12的图象过定点12,0且单调递增,各选项均不符合.故选D.-14-2.(2018全国Ⅲ·7)下列函数中,其图象与函数y=lnx的图象关于直线x=1对称的是()A.y=ln(1-x)B.y=ln(2-x)C.y=ln(1+x)D.y=ln(2+x)答案:B解析:设所求函数的图象上点P(x,y)关于x=1对称的点为Q(2-x,y),由题意知Q在y=lnx上,∴y=ln(2-x),故选B.-15-3.(2017全国Ⅱ·8)函数f(x)=ln(x2-2x-8)的单调递增区间是()A.(-∞,-2)B.(-∞,1)C.(1,+∞)D.(4,+∞)答案:D解析:由题意可知x2-2x-80,解得x-2或x4.故定义域为(-∞,-2)∪(4,+∞),易知t=x2-2x-8在(-∞,-2)内单调递减,在(4,+∞)内单调递增.因为y=lnt在t∈(0,+∞)内单调递增,依据复合函数单调性的同增异减原则,可得函数f(x)的单调递增区间为(4,+∞).故选D.-16-4.(2014福建·8)若函数y=logax(a0,且a≠1)的图象如图所示,则下列函数图象正确的是()-17-答案:B解析:由图象可知loga3=1,所以a=3.A选项,y=3-x=13𝑥为指数函数,在R上单调递减,故A不正确.B选项,y=x3为幂函数,图象正确.C选项,y=(-x)3=-x3,其图象和B选项中y=x3的图象关于x轴对称,故C不正确.D选项,y=log3(-x),其图象与y=log3x的图象关于y轴对称,故D选项不正确.综上,可知选B.-18-典题演练提能·刷高分1.(2019河北衡水同卷联考)下列函数中,其图象与函数y=log2x的图象关于直线y=1对称的是()C.y=log2(2x)D.y=log2(4x)答案:B解析:设P(x,y)为所求函数图象上的任意一点,它关于直线y=1对称的点是Q(x,2-y),由题意知点Q(x,2-y)在函数y=log2x的图象上,则2-y=log2x,即y=2-log2x=log2,故选B.A.y=log22𝑥B.y=log24𝑥4𝑥-19-2.函数f(x)=𝑥+1|𝑥+1|loga|x|(0a1)的图象的大致形状是()答案:C解析:f(x)=𝑥+1|𝑥+1|loga|x|=-log𝑎(-𝑥),𝑥-1,log𝑎(-𝑥),-1𝑥0,log𝑎𝑥,𝑥0.故选C.-20-3.(2018安徽宿州联考)若函数y=a|x|(a0,且a≠1)的值域为{y|0y≤1},则函数y=loga|x|的图象大致是()-21-答案:A解析:由函数y=a|x|(a0,且a≠1)的值域为{y|0y≤1},得0a1.y=loga|x|在(0,+∞)上单调递减,排除B,C,D.又因为y=loga|x|为偶函数,函数图象关于y轴对称,故A正确.-22-4.已知点(m,8)在幂函数f(x)=(m-1)xn的图象上,设a=f33,b=f(lnπ),c=f22,则a,b,c的大小关系为()A.acbB.abcC.bcaD.bac答案:A解析:由题意,点(m,8)在幂函数f(x)=(m-1)xn的图象上,即8=(m-1)·mn,则m=2,n=3,即f(x)=x3,则f(x)在(0,+∞)上是单调递增函数.又33221lnπ,所以f33f22f(lnπ),所以acb,故选A.-23-5.设x1,x2,x3均为实数,且12𝑥1=log2(x1+1),12𝑥2=log3x2,12𝑥3=log2x3,则()A.x1x3x2B.x3x2x1C.x3x1x2D.x2x1x3答案:A解析:x1,x2,x3分别是函数y=12x与y=log2(x+1),y=log3x,y=log2x图象的交点的横坐标,作出函数y=12x,y=log2(x+1),y=log3x,y=log2x的图象如图所示,由图可得x1x3x2,故选A.-24-6.函数f(x)=log3(8x+1)的值域为.答案:(0,+∞)解析:由指数函数的性质可知8x0,所以8x+11,据此可知f(x)=log3(8x+1)0,所以函数的值域为(0,+∞).-25-分段函数问题高考真题体验·对方向1.(2018全国Ⅰ·12)设函数f(x)=2-𝑥,𝑥≤0,1,𝑥0,则满足f(x+1)f(2x)的x的取值范围是()A.(-∞,-1]B.(0,+∞)C.(-1,0)D.(-∞,0)答案:D-26-解析:画出函数f(x)的图象如图所示,由图可知:①当x+1≥0且2x≥0,即x≥0时,f(2x)=f(x+1),不满足题意;②当x+10且2x0,即-1x0时,f(x+1)f(2x)显然成立;③当x+1≤0时,x≤-1,此时2x0,若f(x+1)f(2x),则x+12x,解得x1.故x≤-1.综上所述,x的取值范围为(-∞,0).-27-2.(2017山东·9)设f(x)=𝑥,0𝑥1,2(𝑥-1),𝑥≥1.若f(a)=f(a+1),则f1𝑎=()A.2B.4C.6D.8答案:C解析:f(x)的图象如图所示.又f(a)=f(a+1),所以0a1,a+11,𝑎=2(a+1-1),所以a=14.所以f1𝑎=f(4)=2×(4-1)=6.-28-3.(2013全国Ⅰ·12)已知函数f(x)=-𝑥2+2𝑥,𝑥≤0,ln(𝑥+1),𝑥0.若|f(x)|≥ax,则a的取值范围是()A.(-∞,0]B.(-∞,1]C.[-2,1]D.[-2,0]答案:D解析:可画出|f(x)|的图象如图所示.当a0时,y=ax与y=|f(x)|恒有公共点,所以排除B,C;当a≤0时,若x0,则|f(x)|≥ax恒成立.若x≤0,则以y=ax与y=|-x2+2x|相切为界限,由𝑦=𝑎𝑥,𝑦=𝑥2-2𝑥,得x2-(a+2)x=0.∵Δ=(a+2)2=0,∴a=-2.∴a∈[-2,0].故选D.-29-典题演练提能·刷高分1.(2019河南开封一模)已知函数若f(a)=1,则a的值是()A.1B.2C.-2或2D.1或2答案:D解析:当ex-1=1时,x=12符合题意;当log3(x2-1)=1时,x2-1=3,解得x=2(负根舍去),故a的值为1或2.故选D.f(x)=e𝑥-1,𝑥2,log3(𝑥2-1),𝑥≥2,-30-2.(2019四川成都七中5月模拟)已知函数