求解数学物理方程的计算机方法

数学物理建模与计算机辅助设计第4章求解数学物理方程的计算机方法数学物理建模与计算机辅助设计本章内容§4.1特殊函数的绘制–Gamma函数的绘制–连带勒让德函数的绘制–球函数的图形的绘制–几种贝塞尔函数图形的绘制§4.2数学物理方程的计算机求解方法–对解析解进行编程求解–利用PDE工具箱求解数学物理方程–利用差分法求解数学物理方程数学物理建模与计算机辅助设计Matlab的特殊函数•helpmatlab\specfunairy-Airyfunctions.besselj-Besselfunctionofthefirstkind.bessely-Besselfunctionofthesecondkind.besselh-Besselfunctionsofthethirdkind(Hankelfunction).besseli-ModifiedBesselfunctionofthefirstkind.besselk-ModifiedBesselfunctionofthesecondkind.beta-Betafunction.betainc-Incompletebetafunction.betaln-Logarithmofbetafunction.ellipj-Jacobiellipticfunctions.ellipke-Completeellipticintegral.4.1特殊函数的绘制数学物理建模与计算机辅助设计Matlab的特殊函数erf-Errorfunction.erfc-Complementaryerrorfunction.erfcx-Scaledcomplementaryerrorfunction.erfinv-Inverseerrorfunction.expint-Exponentialintegralfunction.gamma-Gammafunction.gammainc-Incompletegammafunction.gammaln-Logarithmofgammafunction.psi-Psi(polygamma)function.legendre-AssociatedLegendrefunction.cross-Vectorcrossproduct.dot-Vectordotproduct.4.1特殊函数的绘制数学物理建模与计算机辅助设计Γ函数(Gamma函数)•定义•基本性质拓展后函数在除z=0，-1，-2，…之外各点解析10expRe0zzttdtz1zzz4.1特殊函数的绘制数学物理建模与计算机辅助设计Γ函数(Gamma函数)•Γ函数绘制gamma(x)x=-3:0.01:3;y=gamma(x);plot(x,y,'linewidth',4);gridonaxis([-33-55])思考题：如何绘制复变函数Γ(z)的图形？4.1特殊函数的绘制数学物理建模与计算机辅助设计勒让德(Legendre)函数•问题来由：分离变量法求解拉普拉斯方程分离变量可得欧拉型常微分方程和球谐函数方程2222222111sin0sinsinuuurrrrrr222dd210ddRRrrllRrr22211sin10sinsinYYllY4.1特殊函数的绘制数学物理建模与计算机辅助设计勒让德(Legendre)函数•进一步对球谐函数分离变量可得到关于函数Θ的常微分方程此方程称作l阶连带勒让德方程。特别地：如果球谐函数具有旋转对称性，则解与方位角无关，则m=0，此时方程称作l阶勒让德方程。,Y221ddsin10sinddsinmll4.1特殊函数的绘制数学物理建模与计算机辅助设计勒让德(Legendre)函数•作变量代换把写成更为熟悉的形式这里有22222dd1210dd1yymxxllyxxxcosx4.1特殊函数的绘制数学物理建模与计算机辅助设计勒让德(Legendre)函数•l阶勒让德方程的解为•l阶连带勒让德方程的解为22022!12!!2!lklkllklkPxxklklk2210,1,2,;0,1,2,mmmllPxxPxlmlddmmllmPxPxx4.1特殊函数的绘制数学物理建模与计算机辅助设计勒让德(Legendre)函数•Matlab计算勒让德函数指令legendre(N,x)–结果为所有N阶连带勒让德函数的值例：legendre(2,0.0:0.1:0.2)-0.5000-0.4850-0.44000-0.2985-0.58793.00002.97002.880000022211122222222200.10.2000.50000.10.48500.20.44001000.10.29850.20.5879203.00000.12.97000.22.8800xxxmPPPmPPPmPPP4.1特殊函数的绘制数学物理建模与计算机辅助设计勒让德(Legendre)函数•绘制前6个勒让德多项式的图像(p20_1.m)x=0:0.01:1;y1=legendre(1,x);y2=legendre(2,x);y3=legendre(3,x);y4=legendre(4,x);y5=legendre(5,x);y6=legendre(6,x);plot(x,y1(1,:),x,y2(1,:),x,y3(1,:),x,y4(1,:),x,y5(1,:),x,y6(1,:))title('勒让德多项式')4.1特殊函数的绘制数学物理建模与计算机辅助设计勒让德(Legendre)函数•绘制以俯仰角为变量的勒让德函数例：在极坐标下绘制下列勒让德函数的图形(p22_1.m)cosmlP0,10,1,20,1,2,3123cos,cos,cosPPP4.1特殊函数的绘制数学物理建模与计算机辅助设计球函数•问题来由：用分离变量法求解亥姆霍兹方程其中令同样可以分离变量得到两个方程20uku2222222111sinsinsinrrrrrr,,,urRrY22222dd210ddkRRrrllrrrR4.1特殊函数的绘制数学物理建模与计算机辅助设计球函数•与球谐函数方程再分离变量可以得到两组本征值问题22211sin10sinsinYYllY222cos;11ddsin10sindds0,1,2,inmlPlllmll22221cossin;d0dABmmmm4.1特殊函数的绘制数学物理建模与计算机辅助设计球函数•进而可以得到•球函数的表达式,cosexpimmllYPm,cosexpimmllmlNYPm!421!mllmNllm4.1特殊函数的绘制数学物理建模与计算机辅助设计球函数•前几个球函数0001110221,43,cos43,sinexpi85,3cos116YYYY4.1特殊函数的绘制数学物理建模与计算机辅助设计球函数•球函数的图形–球函数是在球面上的二元函数，它是从球函数方程的本征问题中得到的本征函数系。–球函数的图形是空间图形，为了画出其图形，必须指定球的半径–对复数形式的球函数，必须对其实部和虚部分别作图–可以用角变量作为平面上的x、y轴的变量画出球函数图4.1特殊函数的绘制数学物理建模与计算机辅助设计球函数绘制球函数的程序(p81_1.m)l=3;m=2;R=4;A=3;delta=pi/40;theta0=0:delta:pi;phi=0:2*delta:2*pi;[phi,theta]=meshgrid(phi,theta0);Ymn=legendre(l,cos(theta0));Ymn=Ymn(m+1,:)';L=size(theta,1);yy=repmat(Ymn,1,L);Reyy=yy.*cos(m*phi);Imyy=yy.*sin(m*phi);ReM=max(max(abs(Reyy)));Rerho=R+A*Reyy/ReM;Rer=Rerho.*sin(theta);Rex=Rer.*cos(phi);Rey=Rer.*sin(phi);Rez=Rerho.*cos(theta);4.1特殊函数的绘制数学物理建模与计算机辅助设计球函数subplot(1,2,1);surf(Rex,Rey,Rez);light;lightingphong;axis('square');axis([-55-55-55]);axis('off');view(40,30)title('实球谐函数');ImM=max(max(abs(Imyy)));Imrho=R+A*Imyy/(ImM+eps*(ImM==0));Imr=Imrho.*sin(theta);Imx=Imr.*cos(phi);Imy=Imr.*sin(phi);Imz=Imrho.*cos(theta);subplot(1,2,2);surf(Imx,Imy,Imz);light;lightingphong;axis('square');axis([-55-55-55]);axis('off');view(40,30)title('虚球谐函数');4.1特殊函数的绘制数学物理建模与计算机辅助设计球函数figuresubplot(3,1,1);surf(theta,phi,Reyy);xlabel('\theta');ylabel('\phi');subplot(3,1,2);surf(theta,phi,Imyy);xlabel('\theta');ylabel('\phi');subplot(3,1,3);surf(theta,phi,(Reyy.^2+Imyy.^2));xlabel('\theta');ylabel('\phi');4.1特殊函数的绘制数学物理建模与计算机辅助设计球函数03,Y4.1特殊函数的绘制数学物理建模与计算机辅助设计球函数13,Y4.1特殊函数的绘制数学物理建模与计算机辅助设计球函数23,Y4.1特殊函数的绘制数学物理建模与计算机辅助设计球函数33,Y4.1特殊函数的绘制数学物理建模与计算机辅助设计球函数26,Y4.1特殊函数的绘制数学物理建模与计算机辅助设计贝塞尔函数•问题来由：求解固定边界的圆膜振动作变量分离方程变成22222220,000,,0,,,0,ttxxyyxyltuauuxyllutuxytxyuxytxy,,,,,uxytutTtU22'2201100lTkaTUUUkUU4.1特殊函数的绘制数学物理建模与计算机辅助设计贝塞尔函数•分解后的这两个问题中–第一个是对时间变化规律求解–第二个是对空间变化规律求解对空间方程继续分离变量令，方程化为v阶贝塞尔方程,UR222220'0vRRkvR,kxRyx22222d