【备战2013】高考数学-5年高考真题精选与最新模拟-专题07-平面向量-理

【备战2013】高考数学5年高考真题精选与最新模拟专题07平面向量理【2012高考真题精选】1．（2012·浙江卷设a，b是两个非零向量()A．若|a＋b|＝|a|－|b|，则a⊥bB．若a⊥b，则|a＋b|＝|a|－|b|C．若|a＋b|＝|a|－|b|，则存在实数λ，使得b＝λaD．若存在实数λ，使得b＝λa，则|a＋b|＝|a|－|b|2．（2012·陕西卷）已知椭圆C1：x24＋y2＝1，椭圆C2以C1的长轴为短轴，且与C1有相同的离心率．(1)求椭圆C2的方程；(2)设O为坐标原点，点A，B分别在椭圆C1和C2上，OB→＝2OA→，求直线AB的方程．3．（2012·广东卷）若向量BA→＝(2,3)，CA→＝(4,7)，则BC→＝()A．(－2，－4)B．(2,4)C．(6,10)D．(－6，－10)【答案】A【解析】∵BC→＝BA→－CA→，∴BC→＝(2,3)－(4,7)＝(－2，－4)，所以选择A.4．（2012·全国卷）△ABC中，AB边的高为CD，若CB→＝a，CA→＝b，a·b＝0，|a|＝1，|b|＝2，则AD→＝()A.13a－13bB.23a－23bC.35a－35bD.45a－45b【答案】D【解析】本小题主要考查平面向量的基本定理，解题的突破口为设法用a和b作为基底去表示向量AD→.易知a⊥b，|AB|＝5，用等面积法求得|CD|＝255，∵AD＝AC2－CD2＝455，AB＝5，∴AD→＝45AB→＝45(a－b)，故选D.5．（2012·安徽卷）在平面直角坐标系中，点O(0,0)，P(6,8)，将向量OP→绕点O按逆时针方向旋转3π4后得向量OQ→，则点Q的坐标是()A．(－72，－2)B．(－72，2)C．(－46，－2)D．(－46，2)【答案】A【解析】设∠POx＝α，因为P()6，8，所以OP→＝(10cosα，10sinα)⇒cosα＝35，sinα＝45，则OQ→＝10cosθ＋3π4，10cosθ＋3π4＝(－72，－2)．故答案为A.6．（2012·江西卷）在直角三角形ABC中，点D是斜边AB的中点，点P为线段CD的中点，则|PA|2＋|PB|2|PC|2＝()A．2B．4C．5D．107．（2012·重庆卷）设x，y∈R，向量a＝(x,1)，b＝(1，y)，c＝(2，－4)，且a⊥c，b∥c，则|a＋b|＝()A.5B.10C．25D．10【答案】B【解析】因为a⊥c，所以a·c＝0，即2x－4＝0，解得x＝2，由b∥c，得－4＝2y，解得y＝－2，所以a＝(2,1)，b＝(1，－2)，所以a＋b＝(3，－1)，所以|a＋b|＝32＋－＝10.8．（2012·上海卷）在平行四边形ABCD中，∠A＝π3，边AB、AD的长分别为2、1.若M、N分别是边BC、CD上的点，且满足|BM→||BC→|＝|CN→||CD→|，则AM→·AN→的取值范围是________．9．（2012·辽宁卷）已知两个非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|，则下面结论正确的是()A．a∥bB．a⊥bC．|a|＝|b|D．a＋b＝a－b10．（2012·课标全国卷）已知向量a，b夹角为45°，且|a|＝1，|2a－b|＝10，则|b|＝________.11．（2012·安徽卷）若平面向量a，b满足|2a－b|≤3，则a·b的最小值是________．【答案】－98【解析】本题考查平面向量的数量积，模的有关运算．12．（2012·广东卷）对任意两个非零的平面向量α和β，定义α∘β＝α·ββ·β.若平面向量a，b满足|a|≥|b|0，a与b的夹角θ∈0，π4，且a∘b和b∘a都在集合n2n∈Z中，则a∘b＝()A.12B．1C.32D.5213．（2012·北京卷）已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则DE→·CB→的值为________.DE→·DC→的最大值为________．14．（2012·重庆卷）设x，y∈R，向量a＝(x,1)，b＝(1，y)，c＝(2，－4)，且a⊥c，b∥c，则|a＋b|＝()A.5B.10C．25D．1015．（2012·浙江卷）在△ABC中，M是BC的中点，AM＝3，BC＝10，则AB→·AC→＝________.AM＝3，BC＝10，AB＝AC＝34，cos∠BAC＝34＋34－1002×34＝－817，AB→·AC→＝|AB→|·|AC→|·cos∠BAC＝－16.16．（2012·湖南卷）在△ABC中，AB＝2，AC＝3，AB→·BC→＝1，则BC＝()A.3B.7C．22D.2317．（2012·福建卷）如图1－4，椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左焦点为F1，右焦点为F2，离心率e＝12，过F1的直线交椭圆于A、B两点，且△ABF2的周长为8.(1)求椭圆E的方程；(2)设动直线l：y＝kx＋m与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线x＝4相交于点Q.试探究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．图1－4【答案】解：解法一：(1)因为|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝8，即|AF1|＋|F1B|＋|AF2|＋|BF2|＝8，又|AF1|＋|AF2|＝|BF1|＋|BF2|＝2a，所以4a＝8，a＝2.又因为e＝12，即ca＝12，所以c＝1，所以b＝a2－c2＝3.故椭圆E的方程是x24＋y23＝1.18．（2012·山东卷）已知向量m＝(sinx,1)，n＝3Acosx，A2cos2x(A0)，函数f(x)＝m·n的最大值为6.(1)求A；(2)将函数y＝f(x)的图象向左平移π12个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，求g(x)在0，5π24上的值域．因此，g(x)＝6sin4x＋π3.因为x∈0，5π24，所以4x＋π3∈π3，7π6.故g(x)在0，5π24上的值域为（－3,6）．19．（2012·天津卷）已知△ABC为等边三角形，AB＝2，设点P，Q满足AP→＝λAB→，AQ→＝(1－λ)AC→，λ∈R.若BQ→·CP→＝－32，则λ＝()A.12B.1±22C.1±102D.－3±222【答案】A【解析】本题考查平面向量基本定理及向量的数量积的运算，考查数据处理能力，中档题．BQ→·CP→＝(AQ→－AB→)·(AP→－AC→)＝（(1－λ)AC→－AB→）·(λAB→－AC→)＝－(1－λ)AC→2－λAB→2＋[]－＋1AB→·AC→＝－2λ2＋2λ－2＝－32，解之得λ＝12.20．（2012·浙江卷）设a，b是两个非零向量()A．若|a＋b|＝|a|－|b|，则a⊥bB．若a⊥b，则|a＋b|＝|a|－|b|C．若|a＋b|＝|a|－|b|，则存在实数λ，使得b＝λaD．若存在实数λ，使得b＝λa，则|a＋b|＝|a|－|b|垂直，故A错；再取a＝()2，0，b＝()1，0，满足a＝λb，但不满足||a＋b＝||a－||b，故D错；取a＝()2，0，b＝()0，－1，满足a⊥b，但不满足||a＋b＝||a－||b，故B错，所以答案为C.21．（2012·四川卷）设a，b都是非零向量，下列四个条件中，使a|a|＝b|b|成立的充分条件是()A．a＝－bB．a∥bC．a＝2bD．a∥b且|a|＝|b|【答案】C【解析】要使得a|a|＝b|b|，在a，b都为非零向量的前提下，必须且只需a、b同向即可，对照四个选项，只有C满足这一条件．22．（2012·山东卷）如图1－4所示，在平面直角坐标系xOy中，一单位圆的圆心的初始位置在(0,1)，此时圆上一点P的位置在(0,0)，圆在x轴上沿正向滚动，当圆滚动到圆心位于(2,1)时，OP→的坐标为________．【2011高考真题精选】1.(2011年高考四川卷理科4)如图，正六边形ABCDEF中，BACDEF=()(A)0(B)BE(C)AD(D)CF【答案】D【解析】BACDEFDECDEFCDDEEFCF.2.(2011年高考全国卷理科12)设向量abc、、满足|a|=|b|=1,ab1=2,，,acbc=060，则c的最大值等于(A)2(B)3(c)2(D)1【答案】A【解析】如图，构造ABa,ADb,ACc,120,60BADBCD，所以,,,ABCD四点共圆，可知当线段AC为直径时，c最大，最大值为2.ABDC3.(2011年高考浙江卷理科14)若平面向量，满足1，1，且以向量，为邻边的平行四边形的面积为12，则与的夹角的取值范围是。【答案】5[,]66【解析】1112sin,1,1,sin222又，又[0,],5[,]664.(2011年高考安徽卷理科13)已知向量a，b满足（a+2b）·（a-b）=－6，且a，2b，则a与b的夹角为.【答案】3【解析】26abab，则2226aabb，即221226ab，1ab，所以1cos,2ababab，所以,3ab.5.(2011年高考重庆卷理科12)已知单位向量,ijcc的夹角为60，则2ijcc【答案】3【解析】2222244414cos603ijijijijcccccccc6.(2011年高考安徽卷江苏10)已知21,ee是夹角为32的两个单位向量，,,22121eekbeea若0ba，则k的值为.【答案】54【解析】ab1212(2)()eekee221122(12)2kekeee2(12)cos23kk0,解得54k.【2010高考真题精选】1.（2010全国卷2理数）（8）ABCV中，点D在AB上，CD平方ACB．若CBauur，CAbuur，1a，2b，则CDuuur（A）1233ab（B）2133ab（C）3455ab（D）4355ab【答案】B【解析】因为CD平分ACB，由角平分线定理得ADCA2=DBCB1，所以D为AB的三等分点，且22ADAB(CBCA)33，所以2121CDCA+ADCBCAab3333，故选B.2.（2010辽宁理数）(8)平面上O,A,B三点不共线，设,OA=aOBb，则△OAB的面积等于(A)222|||()|abab(B)222|||()|abab(C)2221|||()2|abab(D)2221|||()2|abab【答案】C【解析】三角形的面积S=12|a||b|sina,b，而222222211||||()||||()cos,22ababababab211||||1cos,||||sin,22abababab3.（2010重庆理数）(2)已知向量a，b满足0,1,2,abab，则2abA.0B.22C.4D.8【答案】B【解析】2ab22844)2(222bbaaba4.（2010四川理数）（5）设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，216,BCABACABAC则AM（A）8（B）4（C）2（D）1【答案】C【解析】由2BC＝16，得|BC|＝4ABACABACBC＝4而ABACAM故AM25.（2010山东理数）(12)定义平面向量之间的一种运算“”如下，对任意的a=(m,n)，bp,q)（，令ab=mq-np，下面说法错误的是（）A.若a与b共线，则ab=0B.ab=baC.对任意的R，有a)b=(（ab)D.2222(ab)+(ab)=|a||b|【答案】