必做05-数学归纳法-3年高考2年模拟1年原创备战2018高考精品系列之数学(江苏版)(原卷版)

理科必做题专题5数学归纳法【三年高考】1．【2015江苏高考，23】已知集合3,2,1X，)(,,3,2,1*NnnYn，,),(abbabaSn整除或整除nYbXa,，令()fn表示集合nS所含元素的个数.（1）写出(6)f的值；（2）当6n时，写出()fn的表达式，并用数学归纳法证明.2.【2014江苏，理23】已知函数0sin()(0)xfxxx，设()nfx为1()nfx的导数，*nN（1）求122()()222ff的值；（2）证明：对任意*nN，等式12()()4442nnnff都成立.3．【2016山东文12】观察下列等式：22π2π4(sin)(sin)12333；2222π2π3π4π4(sin)(sin)(sin)(sin)2355553；2222π2π3π6π4(sin)(sin)(sin)(sin)3477773；2222π2π3π8π4(sin)(sin)(sin)(sin)4599993；……照此规律，2222π2π3π2π(sin)(sin)(sin)(sin)21212121nnnnn_________．4．【2015高考山东，理11】观察下列各式：0014C011334CC01225554;CCC0123377774CCCC……照此规律，当nN时，012121212121nnnnnCCCC.【2018年高考命题预测】纵观近几年各地高考试题，江苏高考对数学归纳法的考查主要在方法的运用的考查．其应用几乎涉及数学的方方面面的知识，代表研究性命题的发展趋势，该部分命题的方向主要会在函数、三角、数列、立体几何、解析几何等方面，在新的高考中都会涉及和渗透；预计2018年高考也将会有题目用到推理证明的方法。推理与证明是数学的基础思维过程，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式，推理一般包括合情推理与演绎推理，在解决问题的过程中，合情推理具有猜测结论和发现结论、探索和提供思路的作用，有利于创新意识的培养．数学归纳法是将无穷的归纳过程，根据归纳原理转化为有限的特殊（直接验证和演绎推理相结合）的过程，要很好地掌握其原理并灵活运用．复习建议：数学归纳法证明关键是解题的步骤，必须符合数学归纳法的要求，解决此类题目时要建立合理的解题思路；【2018年高考考点定位】高考的考查：数学归纳法（理科附加）内容，由于推理中的合情推理、演绎推理几乎涉及数学的方方面面的知识，代表研究性命题的发展趋势，选择题、填空题、解答题都可能涉及到，该部分命题的方向主要会在函数、三角、数列、立体几何、解析几何等方面，因此数学归纳法的应用是方方面面的，在高考中会涉及和渗透，但不可能单独出题，一般可能在附加综合题中在涉及到无穷的过程时考查数学归纳法．【考点1】数学归纳法【备考知识梳理】1.一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法，通常叫做归纳法．根据推理过程中考查的对象是涉及事物的全体或部分可分为完全归纳法和不完全归纳法．2．数学归纳法：设np是一个与正整数相关的命题集合，如果：①证明起始命题1p(或0p)成立；②在假设kp成立的前提下，推出1kp也成立，那么可以断定np对一切正整数成立．3.用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题时，其步骤为：①归纳奠基：证明当取第一个自然数0n时命题成立；②归纳递推：假设nk，(kN，0kn)时，命题成立，证明当1nk时，命题成立；③由①②得出结论．【规律方法技巧】1.明确数学归纳法的两步证明数学归纳法是一种只适用于与正整数有关的命题的证明方法，它们的表述严格而且规范，两个步骤缺一不可．第一步是递推的基础，第二步是递推的依据，第二步中，归纳假设起着“已知条件”的作用，在n＝k＋1时一定要运用它，否则就不是数学归纳法．第二步的关键是“一凑假设，二凑结论”．2.用数学归纳法证明等式应注意的问题(1)用数学归纳法证明等式问题是常见题型，其关键点在于弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，以及初始值0n的值．(2)由nk到1nk时，除考虑等式两边变化的项外还要充分利用nk时的式子，即充分利用假设，正确写出归纳证明的步骤，从而使问题得以证明．弄清左端应增加的项，明确等式左端变形目标，掌握恒等式变形常用的方法：乘法公式、因式分解、添拆项、配方等．简言之：两个步骤、一个结论；递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉．[来3.数学归纳法证明不等式的注意问题(1)当遇到与正整数n有关的不等式证明时，应用其他办法不容易证，则可考虑应用数学归纳法．(2)用数学归纳法证明不等式的关键是由nk成立，推证1nk时也成立，证明时用上归纳假设后，可采用分析法、综合法、作差(作商)比较法、放缩法等证明．4.“归纳——猜想——证明”的模式，是不完全归纳法与数学归纳法综合应用的解题模式．其一般思路是：通过观察有限个特例，猜想出一般性的结论，然后用数学归纳法证明．这种方法在解决探索性问题、存在性问题或与正整数有关的命题中有着广泛的应用．其关键是观察、分析、归纳、猜想，探索出一般规律．5.使用数学归纳法需要注意的三个问题在使用数学归纳法时还要明确：(1)数学归纳法是一种完全归纳法，其中前两步在推理中的作用是：第一步是递推的基础，第二步是递推的依据，二者缺一不可；(2)在运用数学归纳法时，要注意起点0n，并非一定取1，也可能取0,2等值，要看清题目；(3)第二步证明的关键是要运用归纳假设，特别要弄清楚由nk到1nk时命题变化的情况．6.数学归纳法常用于与正整数有关命题的证明可用数学归纳法．例如根据递推公式写出数列的前几项，通过观察项与项数的关系，猜想出数列的通项公式，再用数学归纳法进行证明，初步形成“观察—归纳—猜想—证明”的思维模式；利用数学归纳法证明不等式时，要注意放缩法的应用，放缩的方向应朝着结论的方向进行，可通过变化分子或分母，通过裂项相消等方法达到证明的目的．【考点针对训练】1.用数学归纳法证明不等式“2,12131211*nNnnn”时，由2kkn不等式成立，推证1kn时，左边应增加的项数是．2.设n个正数12,,,naaa满足12naaa≤≤≤（*Nn且3n≥）．（1）当3n时，证明：233112123312aaaaaaaaaaaa≥；（2）当4n时，不等式2334124112343412aaaaaaaaaaaaaaaa≥也成立，请你将其推广到n（*Nn且3n≥）个正数12,,,naaa的情形，归纳出一般性的结论并用数学归纳法证明．【两年模拟详解析】1.【2016-2017学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）】已知011nnnnnfxCxCx1knknCxkL1nnmnCxnL，其中Rx，*Nn，Nk，kn.（1）试求1fx，2fx，3fx的值；（2）试猜测nfx关于n的表达式，并证明你的结论.2.【2017年第三次全国大联考江苏卷】已知每一项都是正数的数列{}na满足11a，*11()12nnnaanaN．（1）用数学归纳法证明：2121nnaa；（2）记nS为数列1{||}nnaa的前n项和，证明：*6().nSnN3.【2017年高考原创押题预测卷03（江苏卷）】设,()mFmN表示2logm的整数部分．（Ⅰ）求(1),(2),(3)FFF；（Ⅱ）求满足()3Fm的m的值；（Ⅲ）求证：(1)(2)(3)(2)(2)22nnFFFFnn．4.【2017年高考原创押题预测卷01（江苏卷）】（本小题满分10分）设i为虚数单位，n为正整数，[0,2)．（1）用数学归纳法证明：(cosisin)cosisinnnn；（2）已知3iz，试利用（1）的结论计算10z.5.【2017年高考原创押题预测卷02（江苏卷）】已知数列}{na的通项公式为),1(133Nnnnannn.（Ⅰ）求321,,aaa的值；（Ⅱ）求证：对任意的自然数Nn，不等式!221naaan成立.6.【扬州市2016—2017学年度第一学期期末检测】（本小题满分10分）已知010011(1)C()(1)C()(1)C(),()nnnnnnnFxfxfxfxnN()(0)x，其中i()fx(i0,1,2,,)n是关于x的函数.（1）若ii()=fxx(i)N，求21F()，20172F()的值；（2）若i()=(i)ixfxx+N，求证：!=(1)(2)()nnFxxxxn()()nN.7.【2017南通扬州泰州苏北四市高三二模】（本小题满分10分）设*2nnN≥，．有序数组12naaa，，，经m次变换后得到数组12mmmnbbb，，，，，，，其中11iiibaa，，111mimimibbb，，，（i1，2，，n），11naa，1111mnmbb，，(2)m≥．例如：有序数组123，，经1次变换后得到数组122331，，，即354，，；经第2次变换后得到数组897，，．（1）若(12)iaiin，，，，求35b，的值；（2）求证：0Cmjmiijmjba，，其中i1，2，，n．（注：当ijknt时，*kN，t1，2，，n，则ijtaa．）8.【苏锡常镇四市2016届高三教学情况调研（二）】设实数12naaa，，，满足120naaa，且12||||||1naaa≤(*nN且2)n≥，令(*)nnabnnN．求证：1211||22nbbbn≤(*)nN．9．【江苏省苏中三市2016届高三第二次调研测试】设4124kkSaaa（*Nk），其中0,1ia（1,2,,4ik）．当4kS除以4的余数是b（0,1,2,3b）时，数列124,,,kaaa的个数记为mb．（1）当2k时，求1m的值；（2）求3m关于k的表达式，并化简．10.【2016届山东省潍坊中学高三上学期开学】观察下列等式11第一个式子9432第二个式子2576543第三个式子4910987654第四个式子照此规律下去（Ⅰ）写出第5个等式；（Ⅱ）你能做出什么一般性的猜想？请用数学归纳法证明猜想．11．求证：1－12＋13－14＋…＋12n－1－12n＝1n＋1＋1n＋2＋…＋12n(n∈N*)．12．设f(n)＝1＋12＋13＋…＋1n(n∈N*)．求证：f(1)＋f(2)＋…＋f(n－1)＝n[f(n)－1](n≥2，n∈N*)．【一年原创真预测】1．用数学归纳法证明：12＋122＋123＋…＋12n＝1－12n(n∈N*)．2．数列{an}满足Sn＝2n－an(n∈N*)．(1)计算a1，a2，a3，a4，并由此猜想通项公式an；(2)用数学归纳法证明(1)中的猜想．