专题10.3-抛物线-3年高考2年模拟1年原创备战2018高考精品系列之数学(理)(原卷版)

第十章圆锥曲线专题3抛物线（理科）【三年高考】1.【2017课标1，理10】已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为A．16B．14C．12D．102.【2017课标II，理16】已知F是抛物线C:28yx的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N。若M为FN的中点，则FN。3.【2017北京，理18】已知抛物线C：y2=2px过点P（1，1）.过点（0，12）作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP，ON交于点A，B，其中O为原点.（Ⅰ）求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；（Ⅱ）求证：A为线段BM的中点.4.【2017浙江，21】如图，已知抛物线2xy，点A11()24，，39()24B，，抛物线上的点)2321)(,(xyxP．过点B作直线AP的垂线，垂足为Q．（Ⅰ）求直线AP斜率的取值范围；（Ⅱ）求||||PQPA的最大值．5.【2016高考新课标1卷】以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点,交C的准线于D、E两点.已知|AB|=42,|DE|=25,则C的焦点到准线的距离为(A)2(B)4(C)6(D)86.【2016高考浙江理数】若抛物线y2=4x上的点M到焦点的距离为10，则M到y轴的距离是_______．7.【2016高考天津理数】设抛物线222xptypt，（t为参数，p＞0）的焦点为F，准线为l.过抛物线上一点A作l的垂线，垂足为B.设C（72p,0），AF与BC相交于点E.若|CF|=2|AF|，且△ACE的面积为32，则p的值为_________.8.【2016高考新课标3理数】已知抛物线C：22yx的焦点为F，平行于x轴的两条直线12,ll分别交C于,AB两点，交C的准线于PQ，两点．（I）若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明ARFQ；（II）若PQF的面积是ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程.9.【2015高考浙江，理5】如图，设抛物线24yx的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，其中点A，B在抛物线上，点C在y轴上，则BCF与ACF的面积之比是（）A.11BFAFB.2211BFAFC.11BFAFD.2211BFAF10.【2015高考上海，理5】抛物线22ypx（0p）上的动点Q到焦点的距离的最小值为1，则p．11.【2015高考新课标1，理20】在直角坐标系xoy中，曲线C：y=24x与直线ykxa(a＞0)交与M,N两点，（Ⅰ）当k=0时，分别求C在点M和N处的切线方程；（Ⅱ）y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有∠OPM=∠OPN？说明理由.【2017考试大纲】抛物线(1)了解抛物线的实际背景,了解性质求在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.(2)掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质.(3)了解抛物线的简单应用.(4)理解数形结合的思想.【三年高考命题回顾】纵观前三年各地高考试题,一方面以选择题、填空题的形式考查抛物线的定义、标准方程及简单几何性质等基础知识，另一方面以解答题的形式考查抛物线的概念和性质、直线与抛物线的位置关系的综合问题，着力于数学思想方法及数学语言的考查，题目的运算量一般不是很大，属于中档题，分值为5-12分．【2018年高考复习建议与高考命题预测】由前三年的高考命题形式可以看出，抛物线的的定义、标准方程及简单几何性质是高考考试的重点，每年必考，考查方面其它利用性质求抛物线方程，求弦长，求抛物线的最值或范围问题，过定点问题，定值问题等．预测2018年高考，对本节内容的考查仍将以求抛物线的方程和研究抛物线的性质为主，仍以选择题、填空、解答题的第一小题的形式考查抛物线的定义、标准方程及抛物线的几何性质，难度仍为容易题或中档题，以解答题的第二问的形式考查直线与抛物线的位置关系，难度仍难题，分值保持在5-12分.在备战2018年高考中，要熟记抛物线的定义，会根据题中的条件用待定系数法、定义法等方法求抛物线的标准方程，会根据条件研究抛物线的几何性质，会用设而不求思想处理直线与抛物线的位置关系，重点掌握与抛物线有关的最值问题、定点与定值问题、范围问题的处理方法，注意题中向量条件的转化与向量方法应用.【2018年高考考点定位】高考对抛物线的考查有三种主要形式：一是考查抛物线的定义；二是考查抛物线的标准方程与几何性质；三是考查直线与抛物线的位置关系，从涉及的知识上讲，常平面向量、函数、方程、不等式等知识相联系，试题多为容易题和中档题.【考点1】抛物线的定义【备考知识梳理】[来源:学科网]1.抛物线定义：平面内与一个定点F和一条定直线l(定点F不在定直线l上)的距离的比等于1的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线.【规律方法技巧】[来源:学+科+网]1.抛物线的定义的实质可归结为“一动三定”：一个动点M；一个定点F(抛物线的焦点)；一条定直线l(抛物线的准线)；一个定值1(点M与定点F的距离和它到定直线l的距离之比等于1)．2.常常利用抛物线的定义将抛物线上一点到焦点的焦半径问题与焦点到准线的距离问题互相转化.【考点针对训练】1.【2017届河南省郑州一中高三百校联盟】已知点1F，2F关于原点对称，2F恰为抛物线E：22ypx(0)p的焦点，点C在抛物线E上，且线段1CF的中点恰在y轴上，221CFF的面积为8.若抛物线E上存在点P使得2POmPF，则实数m的最大值为（）A.63B.33C.233D.263[来源:学+科+网Z+X+X+K]2.【2017届江西省南昌市高三第一次模拟】抛物线28yx的焦点为F，设11,Axy，22,Bxy是抛物线上的两个动点，122343xxAB，则AFB的最大值为（）A.3B.34C.56D.23【考点2】抛物线的标准方程与几何性质【备考知识梳理】1.抛物线的标准方程与几何性质焦点在x正半轴上焦点在x负半轴上焦点在y正半轴上[来源:学*科*网]焦点在y正半轴上标准方程22ypx（0p）22ypx（0p）22xpy（0p）22xpy（0p）图形性质顶点（0,0）对称轴x轴y轴焦点（2p，0）（-2p，0）（0，2p）（0，-2p）准线x=-2px=2py=-2py=2p范围x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R离心率e=1【规律方法技巧】1.p的几何意义：p是焦点到准线的距离，故p恒为正.2.焦点在x轴上的抛物线的标准方程可以统一写成2(0)yaxa；焦点在y轴上的抛物线的标准方程可以统一写成2(0)xaya.3.焦点的非零坐标是一次项系数的14，准线方程中的常数为一次项系数的-14.4.求抛物线的标准方程（1）定义法：若某曲线（或轨迹）上任意一点到定点的距离与到定直线的距离相等，符合抛物线的定义，该曲线是以定点为焦点，定直线为准线的抛物线，从而求出定点到定直线的距离即为p，写出抛物线的标准方程，（2）待定系数法，用待定系数法求抛物线标准方程分三步：①判定是否在原点；②确定焦点在哪个半轴上，确定标准方程类型；③根据条件列出关于p的方程，解出p值，即可写出标准方程.5.抛物线22ypx（0p）上点的坐标可设为（200,2yyp），在计算时，可以降低计算量.【考点针对训练】1.【2017届上海市普陀区高三二模】动点P在抛物线221yx上移动，若P与点0,1Q连线的中点为M，则动点M的轨迹方程为A.22yxB.24yxC.26yxD.28yx2.【河北省定州中学2017届高三5月质检】已知过抛物线22(0)ypxp的焦点F的直线与抛物线交于A,B两点,且3AFFB,抛物线的准线l与x轴交于点C,1AAl于点1A,若四边形1AACF的面积为123,则准线l的方程为()A.2xB.22xC.2xD.1x【考点3】直线与抛物线的位置关系【备考知识梳理】设双曲线的方程为22ypx（0p），直线0AxByC，将直线方程与抛物线方程联立，消去y得到关于x的方程20mxnxp.(1)若m≠0，当△＞0时，直线与抛物线有两个交点.当△=0时，直线与抛物线有且只有一个公共点，此时直线与抛物线相切.当△＜0时，直线与抛物线无公共点.（2）当m=0时，直线与抛物线只有一个交点，此时直线与抛物线的对称轴平行.【规律方法技巧】1.已知抛物线y2＝2px(p0)，过其焦点的直线交抛物线于A、B两点(如右图所示)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)．则有以下结论：(1)|AB|＝x1＋x2＋p，或|AB|＝2psin2α(α为AB所在直线的倾斜角)；(2)x1x2＝p24；(3)y1y2＝－p2.（4）以AB为直径的圆与抛物线的准线相切.2.过抛物线焦点且与对称轴垂直的弦称为抛物线的通径，抛物线的通径长为2p.3.直线方程与椭圆方程联立，消元后得到一元二次方程，则一元二次方程的根是直线和椭圆交点的横坐标或纵坐标，常设出交点坐标，用根与系数关系将横坐标之和与之积表示出来，这是进一步解题的基础．4．直线y＝kx＋b(k≠0)与圆锥曲线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则弦长|AB|＝1＋k2|x1－x2|＝1＋k2·x1＋x22－4x1x2＝1＋1k2·|y1－y2|＝1＋1k2·y1＋y22－4y1y2.5．对中点弦问题常用点差法和参数法.【考点针对训练】1.【湖南省长沙市2017届高三5月模拟】已知24yx抛物线，焦点记为F，过点F作直线l交抛物线于,AB两点，则2AFBF的最小值为（）A.222B.56C.3322D.2322.【湖南省长沙市2018届高三实验班选拔考试】已知P是抛物线2:20Eypxp上一点，P到直线40xy的距离为1d，P到E的准线的距离为2d，且12dd的最小值为32．（Ⅰ）求抛物线E的方程；（Ⅱ）直线11:1lykx交E于点,AB，直线22:1lykx交E于点,CD，线段,ABCD的中点分别为,MN，若122kk，直线MN的斜率为k，求证：直线12:0lkxykkkk恒过定点．【应试技巧点拨】1.如何利用抛物线的定义解题（1）求轨迹问题：主要抓住到定点的距离和到定直线距离的几何特征，并验证其满足抛物线的定义，然后直接利用定义便可确定抛物线的方程；（2）求最值问题：主要把握两个转化：一是把抛物线上的点到焦点的距离可以转化为到准线的距离；二是把点到抛物线的距离转化为到焦点的距离.在解题时要准确把握题设的条件，进行有效的转化，探求最值问题.2.线和抛物线若有一个公共点，并不能说明直线和抛物线相切，还有可能直线与抛物线的对称轴平行．3．有关弦的问题(1)有关弦长问题，应注意运用弦长公式及根与系数的关系，“设而不求”；有关焦点弦长问题，要重视抛物线定义的运用，以简化运算．①斜率为k的直线与圆锥曲线交于两点111(,)Pxy，222(,)Pxy，则所得弦长21212||1||PPkxx或122121||1||PPyyk，其中求12||xx与21||yy时通常使用根与系数的关系，即作如下变形：2121212||4xxxxxx，2211212||4yyyyyy.②当斜率k不存在时，可求出交点坐标，直接运算(利用两点间距离公式)．(2)弦的中点问题有关弦的中点问题，应灵活运用“点差法”，“设而不求法”来简化运算．4．解抛物线中的最值问题要注意定义的灵活运用，即抛物线上的点到焦点的距离与该点到准线的距离相等，解该题的关键就是利用此定义将问题转化为求解圆上的点到定点距离的最值问题．1.【2017届湖南省邵阳市高三第二次联考】已知抛物线2:2(0)Cypxp的焦点为F，点00,22()2pMxx是抛物线C上一点，