吉林省延边州2016届高考数学模拟试卷-理(含解析)

2016年吉林省延边州高考数学模拟试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填写在答题卡上．1．若M⊆{a1，a2，a3，a4，a5}，且M∩{a1，a2，a3}={a1，a2}，则满足上述要求的集合M的个数是（）A．1B．2C．3D．42．复数的共轭复数是（）A．1+iB．﹣1+iC．1﹣iD．﹣1﹣i3．若向量=（3，4），且存在实数x，y，使得=x，则可以是（）A．=（0，0），=（﹣1，2）B．=（﹣1，3），=（2，﹣6）C．=（﹣1，2），=（3，﹣1）D．=（﹣，1），=（1，﹣2）4．如图，水平放置的三棱柱的侧棱长和底边长均为2，且侧棱AA1⊥面A1B1C1，正视图是正方形，俯视图是正三角形，该三棱柱的侧视图面积为（）A．B．C．D．45．在二项式的展开式中，所有二项式系数的和是32，则展开式中各项系数的和为（）A．﹣32B．0C．32D．16．若x，y满足约束条件则z=3x+2y的取值范围（）A．[，5]B．[，5]C．[，4]D．[，4]7．执行如图所示的程序框图，如果输入P=153，Q=63，则输出的P的值是（）A．2B．3C．9D．278．在△ABC中，若a2﹣b2=bc，且=2，则角A=（）A．B．C．D．9．下列四种说法中，正确的个数有（）①命题“∀x∈R，均有x2﹣3x﹣2≥0”的否定是：“∃x0∈R，使得”；②∃m∈R，使是幂函数，且在（0，+∞）上是单调递增；③不过原点（0，0）的直线方程都可以表示成；④回归直线的斜率的估计值为1.23，样本点的中心为（4，5），则回归直线方程为=1.23x+0.08．A．3个B．2个C．1个D．0个10．如图所示，M，N是函数y=2sin（ωx+ϕ）（ω＞0）图象与x轴的交点，点P在M，N之间的图象上运动，当△MPN面积最大时，PM⊥PN，则ω=（）A．B．C．D．811．已知抛物线y2=4px（p＞0）与双曲线有相同的焦点F，点A是两曲线的交点，且AF⊥x轴，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．12．已知函数f（x）=，则方程f（x）=ax恰有两个不同实数根时，实数a的取值范围是（）（注：e为自然对数的底数）A．（0，）B．[，]C．（0，）D．[，e]二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上．13．如图所示，在一个边长为1的正方形AOBC内，曲线y=x2和曲线y=围成一个叶形图（阴影部分），向正方形AOBC内随机投一点（该点落在正方形AOBC内任何一点是等可能的），则所投的点落在叶形图内部的概率是．14．若从1，2，3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为奇数，则不同的取法共有种（用数字作答）．15．三棱锥P﹣ABC中，△ABC为等边三角形，PA=PB=PC=2，PA⊥PB，三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为．16．给出下列命题：①已知ξ服从正态分布N（0，σ2），且P（﹣2≤ξ≤2）=0.4，则P（ξ＞2）=0.3；②f（x﹣1）是偶函数，且在（0，+∞）上单调递增，则；③已知直线l1：ax+3y﹣1=0，l2：x+by+1=0，则l1⊥l2的充要条件是；④已知a＞0，b＞0，函数y=2aex+b的图象过点（0，1），则的最小值是．其中正确命题的序号是（把你认为正确的序号都填上）．三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．数列{an}是首项a1=4的等比数列，sn为其前n项和，且S3，S2，S4成等差数列．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）若bn=log2|an|，设Tn为数列{}的前n项和，求证Tn＜．18．2015年7月9日21时15分，台风“莲花”在我国广东省陆丰市甲东镇沿海登陆，造成165.17万人受灾，5.6万人紧急转移安置，288间房屋倒塌，46.5千公顷农田受灾，直接经济损失12.99亿元．距离陆丰市222千米的梅州也受到了台风的影响，适逢暑假，小明调查了梅州某小区的50户居民由于台风造成的经济损失，将收集的数据分成[0，2000]，（2000，4000]，（4000，6000]，（6000，8000]，（8000，10000]五组，并作出如下频率分布直方图：（Ⅰ）试根据频率分布直方图估计小区平均每户居民的平均损失（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（Ⅱ）小明向班级同学发出倡议，为该小区居民捐款．现从损失超过4000元的居民中随机抽出2户进行捐款援助，设抽出损失超过8000元的居民为ξ户，求ξ的分布列和数学期望；（Ⅲ）台风后区委会号召小区居民为台风重灾区捐款，小明调查的50户居民捐款情况如表，根据表格中所给数据，分别求b，c，a+b，c+d，a+c，b+d，a+b+c+d的值，并说明是否有95%以上的把握认为捐款数额多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关？经济损失不超过4000元经济损失超过4000元合计捐款超过500元a=30b捐款不超过500元cd=6合计P（K2≥k）0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828附：临界值表参考公式：，．19．如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=2，E是CD的中点，O是AE的中点，以AE为折痕向上折起，使D为D′，且D′B=D′C．（Ⅰ）求证：平面D′AE⊥平面ABCE；（Ⅱ）求CD′与平面ABD′所成角的正弦值．20．已知点P为y轴上的动点，点M为x轴上的动点，点F（1，0）为定点，且满足=，=0．（Ⅰ）求动点N的轨迹E的方程；（Ⅱ）过点F且斜率为k的直线l与曲线E交于两点A，B，试判断在x轴上是否存在点C，使得|CA|2+|CB|2=|AB|2成立，请说明理由．21．设函数f（x）=ax﹣sinx，x∈[0，π]．（1）当a=时，求f（x）的单调区间；（2）若不等式f（x）≤1﹣cosx恒成立，求实数a的取值范围．请考生在题（22）（23）（24）中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．做题时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图所示，已知ΘO1和ΘO2相交于A，B两点．过点A作ΘO1的切线交ΘO2于点C，过点B作两圆的割线，分别交ΘO1，ΘO2于点D，E，DE与AC相交于点P，（Ⅰ）求证：PE•AD=PD•CE；（Ⅱ）若AD是ΘO2的切线，且PA=6，PC=2，BD=9，求AD的长．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），若以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C的极坐标方程为ρ=4cosθ，设M是圆C上任一点，连结OM并延长到Q，使|OM|=|MQ|．（Ⅰ）求点Q轨迹的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线l与点Q轨迹相交于A，B两点，点P的直角坐标为（0，2），求|PA|+|PB|的值．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣1|．（1）解不等式f（x）+f（x+4）≥8；（2）若|a|＜1，|b|＜1，且a≠0，求证：f（ab）＞|a|f（）．2016年吉林省延边州高考数学模拟试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填写在答题卡上．1．若M⊆{a1，a2，a3，a4，a5}，且M∩{a1，a2，a3}={a1，a2}，则满足上述要求的集合M的个数是（）A．1B．2C．3D．4【考点】子集与交集、并集运算的转换．【分析】根据交集的关系判断出a1，a2是集合M中的元素，a3不是M的元素，再由子集的关系写出所有满足条件的M．【解答】解：∵M∩{a1，a2，a3}={a1，a2}，∴a1，a2∈M且a3∉M，∵M⊆{a1，a2，a3，a4，a5}，∴M={a1，a2，a4，a5}或{a1，a2，a4}或{a1，a2，a5}或{a1，a2}，故选D．【点评】本题考查了交集的性质，以及子集的定义的应用，属于基础题．2．复数的共轭复数是（）A．1+iB．﹣1+iC．1﹣iD．﹣1﹣i【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】数系的扩充和复数．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，然后求其共轭得答案．【解答】解：∵，∴，故选：D．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题．3．若向量=（3，4），且存在实数x，y，使得=x，则可以是（）A．=（0，0），=（﹣1，2）B．=（﹣1，3），=（2，﹣6）C．=（﹣1，2），=（3，﹣1）D．=（﹣，1），=（1，﹣2）【考点】平面向量的基本定理及其意义．【专题】平面向量及应用．【分析】由平面向量基本定理便知，与不共线，这样根据共面向量基本定理容易判断A，B，D中的向量与共线，而根据共线向量的坐标关系可判断C中的不共线，从而便得出正确选项为C．【解答】解：根据平面向量基本定理知：不共线；A.，共线；B.，共线；C.，∴﹣1×（﹣1）﹣2×3=﹣5≠0，∴与不共线，即该选项正确；D.，∴共线．故选：C．【点评】考查共面向量基本定理，平面向量基本定理：，其中要求不共线，以及共线向量的坐标关系．4．如图，水平放置的三棱柱的侧棱长和底边长均为2，且侧棱AA1⊥面A1B1C1，正视图是正方形，俯视图是正三角形，该三棱柱的侧视图面积为（）A．B．C．D．4【考点】由三视图求面积、体积．【专题】空间位置关系与距离．【分析】三棱柱的侧视图是一个矩形，矩形的长是三棱柱的侧棱长，宽是底面三角形的一条边上的高，在边长是2的等边三角形中做出底边上的高的长度，得到结果．【解答】解：由题意知三棱柱的侧视图是一个矩形，矩形的长是三棱柱的侧棱长，宽是底面三角形的一条边上的高，在边长是2的等边三角形中，底边上的高是2×=，∴侧视图的面积是2．故选A．【点评】本题考查简单的空间图形三视图，考查三视图的面积的计算，考查通过原图观察三视图的大小，本题是一个易错题，易错点在侧视图的宽，错成底边的边长．5．在二项式的展开式中，所有二项式系数的和是32，则展开式中各项系数的和为（）A．﹣32B．0C．32D．1【考点】二项式系数的性质．【专题】转化思想；定义法；二项式定理．【分析】由二项式系数的性质求出n的值，再令x=1求出展开式中各项系数的和．【解答】解：二项式的展开式中，所有二项式系数的和是32，∴2n=32，解得n=5；令x=1，可得展开式中各项系数的和为（3×12﹣）5=32．故选：C．【点评】本题考查了二项式系数和与展开式中各项系数的和的计算问题，是基础题．6．若x，y满足约束条件则z=3x+2y的取值范围（）A．[，5]B．[，5]C．[，4]D．[，4]【考点】简单线性规划．【专题】计算题；作图题；不等式的解法及应用．【分析】由题意作出其平面区域，令z=3x+2y，从而可化得y=﹣x+，再解出C，D两点的坐标，由的几何意义及图象求解即可．【解答】解：由题意作出其平面区域，令z=3x+2y，则y=﹣x+；由解得，x=y=；故C（，）；由解得，x=y=1；故D（1，1）；结合图象及的几何意义知，3×+2×≤3x+2y≤3×1+2×1；即≤3x+2y≤5；故选A．【点评】本题考查了线性规划的应用及学生的作图用图能力，属于中档题．7．执行如图所示的程序框图，如果输入P=153，Q=63，则输出的P的值是（）A．2B．3C．9D．27【考点】程序框图．【专题】图表型；算法和程序框图．【分析】模拟执行程序，依次写出每次循环得到的R，P，Q的值，当Q=0时，满足条件Q=0，退出循环，输出P的值为3．【解答】解：模拟执行程序，可得P=153，Q=63不满足条件Q=0，R=27，P=63，Q=27不满足条件Q=0，R=9，P=27，Q=9不满足条件Q=0，R=0，P=9，Q=0满足条件Q=0，退出循环，输出P的值为9．故选：C．【点评】本题主要考查了程序框