高考模拟试卷(三)

高考模拟试卷(三)(时间：120分钟满分：150分)第Ⅰ卷(选择题共40分)一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知∁RM＝{x|ln|x|1}，N＝yy＝1x，x0，则M∪N等于()A．(0，e]B．[－e，＋∞)C．(－∞，－e]∪(0，＋∞)D．[－e，e]答案B解析由ln|x|1，得|x|e，∴M＝[－e，e]，N＝(0，＋∞)，∴M∪N＝[－e，＋∞)．故选B.2．已知a＝20.3，b＝0.32，c＝log0.32，则()A．bcaB．bacC．cabD．cba答案D解析因为a＝20.31，b＝0.32∈(0,1)，c＝log0.320，所以cba，故选D.3．已知5x2－1xn的二项展开式的系数和为1024，则展开式中含x项的系数是()A．－250B．250C．－25D．25答案A解析令x＝1，得5x2－1xn的二项展开式的系数和为(5－1)n＝1024，∴n＝5，∴5x2－1x5的展开式中，通项公式为Tk＋1＝Ck5(5x2)5－k－1xk＝(－1)k·55－k·Ck5·x10－3k，令10－3k＝1，解得k＝3，∴展开式中含x项的系数是(－1)3·52·C35＝－250.故选A.4．已知平面α与两条不重合的直线a，b，则“a⊥α且b⊥α”是“a∥b”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案A解析由垂直于同一平面的两条直线平行得充分性成立；当a∥b时，直线a，b不一定与平面α垂直，如a∥b且a⊂α，b⊂α时，必要性不成立，所以“a⊥α且b⊥α”是“a∥b”的充分不必要条件，故选A.5．已知函数y＝cosax＋b(a0)的图象如图所示，则函数y＝ax＋b的图象可能是()答案A解析由图象可得34Tπ，即34×2πaπ，解得a32，0b1，故函数y＝ax＋b＝ab·ax的图象单调递增，当x＝0时，y＝ab1，与y轴的交点在(0,1)的上方，故选A.6．从1,2,3,4,5,6,7,8,9,10这10个数中任取3个不同的数，每个数被取到的可能性相同，则这3个数的和恰好能被3整除的概率是()A.120B.110C.310D.720答案D解析从10个数中任取3个，共有C310＝120(种)取法，若所取的3个数的和恰能被3整除，则第一类：这3个数从1,4,7,10中取，共有C34＝4(种)取法；第二类：这3个数从2,5,8中取，共有C33＝1(种)取法；第三类：这3个数从3,6,9中取，共有C33＝1(种)取法；第四类：这3个数从1,4,7,10中取1个数，从2,5,8中取1个数，从3,6,9中取1个数，共有4×3×3＝36(种)取法，所以所取的3个数的和恰好能被3整除的概率是4＋1＋1＋36120＝720，故选D.7．已知实数x，y满足0≤x≤1，0≤y≤1，y≥x＋b，若z＝x－y的最大值为1，则实数b的取值范围是()A．[1，＋∞)B．(－∞，1]C．[－1，＋∞)D．(－∞，－1]答案D解析作出不等式组所表示的平面区域如图(阴影部分含边界)所示，观察可知目标函数在点(1，0)处取到最大值为1，因此y＝x＋b在不等式组0≤x≤1，0≤y≤1，y≥x＋b表示的可行域外，故0≥1＋b，解得b≤－1，故选D.8．已知在△ABC中，CA＝2，O为△ABC的外心，OC→＝OA→＋OB→，CD→＝mCA→＋nCB→(m∈R，m≠0，n∈R)，则|CD→||m|的最小值为()A.33B.13C.3D．3答案C解析由题意可知四边形OACB为菱形，∠ACB＝2π3，CB＝CA＝2.所以|CD→|2|m|2＝4m2－mn＋n2m2＝4nm2－nm＋1≥3，当nm＝12时，等号成立，所以|CD→||m|的最小值为3，故选C.9．过双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)上任意一点P，作与y轴平行的直线，交两渐近线于A，B两点，若PA→·PB→＝－a24，则该双曲线的离心率为()A.103B.3C.62D.52答案D解析设P(x0，y0)，则由双曲线的对称性，不妨令Ax0，bax0，Bx0，－bax0，从而PA→＝0，bax0－y0，PB→＝0，－bax0－y0，则PA→·PB→＝y20－b2a2x20＝－a24.又点P在双曲线上，所以x20a2－y20b2＝1，故有－a24＝y20－b2a2·x20＝－b2，即有4b2＝a2，又c2＝a2＋b2，得4c2＝5a2，即e＝52，故选D.10．已知函数f(x)＝ax2＋(b－a)x＋c－b(其中abc)，且a＋b＋c＝0，x1，x2为f(x)的两个零点，则|x1－x2|的取值范围为()A.32，23B．(2,23)C．(1,2)D．(1,23)答案A解析由abc，a＋b＋c＝0，知a0c.由题意得x1，x2是方程ax2＋(b－a)x＋c－b＝0的两个根，故x1＋x2＝－b－aa，x1x2＝c－ba，则|x1－x2|＝x1＋x22－4x1x2＝b－aa2－4·c－ba＝b－a2－4ac－ba＝b＋a2－4aca＝－c2－4aca＝c2－4aca＝ca2－4·ca＝ca－22－4.因为abc，a＋b＋c＝0，所以a－(a＋c)c，所以－2ca－12.所以|x1－x2|的取值范围是32，23，故选A.第Ⅱ卷(非选择题共110分)二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．把答案填在题中横线上)11．已知复数z满足z·(－3＋4i)＝1－2i，则z＝________，|z|＝________.答案－1125＋225i55解析由题意知，z＝1－2i－3＋4i＝1－2i－3－4i25＝－11＋2i25，∴|z|＝|z|＝－11252＋2252＝55.12．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为______；体积为______．答案16＋23＋25203解析由三视图可得该几何体的直观图如图所示．该几何体是一个四棱锥A—CDEF和一个三棱锥F—ABC构成的组合体，底面直角梯形ABCD的面积为6，侧面CDEF的面积为4，侧面ABF的面积为23，侧面BCF的面积为2，侧面ADE的面积为4，侧面AEF的面积为25，所以这个几何体的表面积为16＋23＋25，四棱锥的体积V＝13×2×2×4＋13×2×12×2×2＝203.13．已知正项数列{an}满足a2n＋1－6a2n＝an＋1an.若a1＝2，则数列{an}的前n项和为_____．答案3n－1解析∵a2n＋1－6a2n＝an＋1an，∴(an＋1－3an)·(an＋1＋2an)＝0，∵an＞0，∴an＋1＝3an.又a1＝2，∴{an}是首项为2，公比为3的等比数列，∴Sn＝21－3n1－3＝3n－1.14．设实数x，y满足x＋y≥1，2x－y≥－2，2x－3y≤3，则2x＋y的最小值为______．若4x2＋y2≥a恒成立，则实数a的最大值为________．答案2345解析设s＝2x，t＝y，则问题等价为“实数s，t满足s＋2t≥2，s－t≥－2，s－3t≤3，求s＋t的最小值，若s2＋t2≥a恒成立，求实数a的最大值”．作出可行域如图所示，易求A－23，43，易知当(s，t)＝－23，43时，目标函数z＝s＋t取得最小值，且最小值为23.s2＋t2的几何意义为可行域内的点到坐标原点的距离的平方，显然O到直线s＋2t＝2的距离为可行域内的点到坐标原点的最短距离，且最短距离为212＋22＝25，故s2＋t2的最小值为45，所以a≤45，故实数a的最大值为45.15．在平面直角坐标系中，已知点F(3,0)在圆C：(x－m)2＋(y－2)2＝40内，动直线AB过点F且交圆于A，B两点，若△ABC的面积的最大值为20，则实数m的取值范围是______________．答案(－3，－1]∪[7,9)解析由题意可得C(m,2)，点F在圆内，所以有(3－m)2＋440，解得－3m9.因为△ABC的面积的最大值为20，所以S＝12|CA||CB|·sin∠ACB＝20sin∠ACB≤20，当∠ACB＝π2时，△ABC的面积取得最大值20，所以|CF|≥22×40＝25，所以(m－3)2＋4≥20，解得m≤－1或m≥7.所以满足条件的实数m的取值范围是(－3，－1]∪[7,9)．16．已知直线l：mx－y＝1，若直线l与直线x＋m(m－1)y＝2垂直，则实数m的值为______；动直线l：mx－y＝1被圆C：x2－2x＋y2－8＝0截得的最短弦长为________.答案0或227解析由两直线垂直的充要条件得m×1＋(－1)×m(m－1)＝0，∴m＝0或m＝2；圆的半径为3，当圆心(1,0)到直线的距离最长，即d＝1－02＋[0－－1]2＝2时，弦长最短，此时弦长为232－22＝27.17．若正数a，b，c满足b＋ca＋a＋cb＝a＋bc＋1，则a＋bc的最小值是________．答案1＋172解析由a，b，c为正数，且b＋ca＋a＋cb＝a＋bc＋1，得bc＋1ac＋ac＋1bc＝ac＋bc＋1，设m＝ac，n＝bc，则有m0，n0，上式转化为n＋1m＋m＋1n＝m＋n＋1，即m2＋n2＋m＋nmn＝m＋n＋1，又由基本不等式得m2＋n2≥m＋n22，mn≤m＋n24，所以有m＋n＋1＝m2＋n2＋m＋nmn≥m＋n22＋m＋nm＋n24，令t＝m＋n，则t0，上式转化为t＋1≥t22＋tt24，即t2－t－4≥0，解得t≥1＋172，所以t＝m＋n＝ac＋bc＝a＋bc的最小值为1＋172(当且仅当a＝b时，等号成立)．三、解答题(本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)18．(14分)已知函数f(x)＝2sin(2x＋φ)－π2φ0，且fπ4＝1.(1)求φ的值；(2)若函数F(x)＝f(x)·fx＋π6－m在－π12，π6上存在零点，求实数m的取值范围．解(1)由fπ4＝2sinπ2＋φ＝1，得cosφ＝12，又－π2φ0，所以φ＝－π3.(2)F(x)＝f(x)·fx＋π6－m＝2sin2x－π3·2sin2x－m＝4sin2x12sin2x－32cos2x－m＝2sin22x－23sin2xcos2x－m＝1－cos4x－3sin4x－m＝1－m－2sin4x＋π6，由F(x)在－π12，π6上有零点，得m＝1－2sin4x＋π6在－π12，π6上有解，因为x∈－π12，π6，则－π64x＋π65π6，则－12sin4x＋π6≤1，则－1≤1－2sin4x＋π62，所以实数m的取值范围为[－1,2)．19．(15分)如图，已知四棱锥P—ABCD的底面ABCD是菱形，∠ADC＝120°，AD的中点M是顶点P在底面ABCD的投影，N是PC的中点．(1)求证：平面MPB⊥平面PBC；(2)若MP＝MC，求直线BN与平面PMC所成角的正弦值．(1)证明∵四边形ABCD是菱形，∠ADC＝120°，且M是AD的中点，∴MB⊥AD，∴MB⊥BC.又∵P在底面ABCD内的投影M是AD的中点，∴PM⊥平面ABCD，又∵BC⊂平面ABCD，∴PM⊥BC，又PM∩MB＝M，PM，MB⊂平面PMB，∴BC⊥平面PMB，又BC⊂平面PBC，∴平面MPB⊥平面PBC.(2)解方法一过点B作BH⊥MC，连接HN，∵PM⊥平面ABCD，BH⊂平面ABCD，∴BH⊥PM，又∵PM，MC⊂平面PMC，PM∩MC＝M，∴BH