（全国通用）2020高考数学 艺考生文化课 第一章 专题三 平面向量课件

专题三平面向量【考试内容】向量的概念;向量的表示法;向量的运算及运用【近6年新课标卷考点统计】年份试卷类型201420152016201720182019新课标Ⅰ卷5555105新课标Ⅱ卷555555新课标Ⅲ卷5555重要考点回顾一、向量的概念1.向量:既有大小又有方向的量,向量不能比较大小,但向量的模可以比较大小.2.零向量:长度为0的向量,记为,其方向是任意的,与任意向量平行.3.单位向量:模为1个单位长度的向量.4.平行向量(共线向量):方向相同或相反的非零向量.5.相等向量:长度相等且方向相同的向量.00二、向量的表示1.几何表示:用一条有向线段表示向量.如或a,b等.2.坐标表示:在平面直角坐标系中,设向量的起点O为坐标原点,终点A坐标为(x,y),则(x,y)称为的坐标,记为=(x,y).当向量起点不在原点时,向量坐标为终点坐标减去起点坐标,即若A(x1,y1),B(x2,y2),则=(x2-x1,y2-y1).注:向量既有代数特征,又有几何特征,它是数形兼备的好工具.,ABCDOAOAOAABAB三、向量的运算1.每一种运算都可以有三种表现形式:图形、符号、坐标语言.主要内容列表如下:运算图形语言符号语言坐标语言加法与减法实数与向量的乘积=λaλ∈R记a=(x,y)则λa=(λx,λy)两个向量的数量积a·b=|a|·|b|cosa,b记a=(x1,y1),b=(x2,y2)则a·b=x1x2+y1y2OAOBOCOBOAABOAABOBAB112212122121()()()(),,,,,OAxyOBxyOAOBxxyyOBOAxxyy记则2.向量的运算律加法:①a+b=b+a(交换律);②(a+b)+c=a+(b+c)(结合律)实数与向量的乘积:①λ(a+b)=λa+λb;②(λ+μ)a=λa+μa;③λ(μa)=(λμ)a两个向量的数量积:①a·b=b·a;②(λa)·b=a·(λb)=λ(a·b);③(a+b)·c=a·c+b·c注意:根据向量运算律可知,两个向量之间的线性运算满足实数多项式乘积的运算法则,正确迁移实数的运算性质可以简化向量的运算,例如(a±b)2=a2±2a·b+b23.两个向量数量积的重要性质:①a2=|a|2即|a|=(求线段的长度);②求向量的夹角:已知两个非零向量a与b,作则∠AOB=θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a与b的夹角,cosθ=cosa,b=特别注意:当且仅当两个非零向量a与b同方向时,θ=0°,当且仅当a与b反方向时θ=180°,同时与其他任何非零向量之间不谈夹角这一问题.2a,,OAaOBb121222221122||||xxyyababxyxy0四、向量的应用1.两个向量平行的充要条件符号语言:a∥b⇔a=λb(b≠)坐标语言为:设非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b⇔(x1,y1)=λ(x2,y2)⇔x1y2-x2y1=02.两个向量垂直的充要条件符号语言:a⊥b⇔a·b=0坐标语言:设非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a⊥b⇔x1x2+y1y2=001.已知点A(0,1),B(3,2),向量=(-4,-3),则向量=()A.(-7,-4)B.(7,4)C.(-1,4)D.(1,4)2.若向量a,b满足|a|=|b|=1,a与b的夹角为60°,则a·a+a·b=()考点训练A3,1,7,4,A.()()ABOBOABCACAB　【解析】　故选213Bcos60|1.B.2|2aaabaab　【解析】　故选AC133A.B.C.1D.2222BC3.若向量a=(1,1),b=(2,5),c=(3,x)满足条件(8a-b)·c=30,则x=()A.6B.5C.4D.34.如图,设P是△ABC所在平面内的一点,,则()()()(C830,83081323530,2486530,312,4,.)Cabcacbcxxxxxx　【解析】　即故选B,,0.0,B.BCBPBPBAPCAPPCAPPCPA　【解析】　即故选2BCBABPA.0B.0C.0D.0PAPBPCPAPBPCPAPBPC5.如图,△ABC中,AB边的高为CD,若,a·b=0,|a|=1,|b|=2,则()22D,0,.,1,2,5,244,4,555(44444,,55)555D.abCBCACBCAABCDADCACDADADABababAB　【解析】　如图在直角三角形中则所以所以即故选,CBaCAbAD11223344A.B.C.D.33335555abababab6.已知向量a=(1,0),b=(0,1),c=ka+b(k∈R),d=a-b,如果c∥d那么()A.k=1且c与d同向B.k=1且c与d反向C.k=-1且c与d同向D.k=-1且c与d反向7.设x∈R,向量a=(x,1),b=(1,-2),且a⊥b,则|a+b|=()D1,0,0,1,1,1,1,1,1,,,AB.1,1,1,1,1,//,C,D.()()()()()()abkcabdababkcabdabcdcd　【解析】　若则显然与不平行排除、若则即且与反向排除故选A.5B.10C.25D.1022B,20,2,3,1,3()(1)1|.|0,Bababxxabab　【解析】　因为所以有故故选8.若向量a、b满足|a|=1,|b|=2,且a与b的夹角为,则|a+b|=.9.已知|a|=3,|b|=2.若a·b=-3,则a与b夹角的大小为.22227214212||()cos7,7|||||.3|ababababab　【解析】　因为故2,:3312cos,0,.||||3223ababab　【解析】　设与的夹角为则有又所以310.已知向量a=(2,1),a·b=10,|a+b|=,则|b|=()A.B.C.5D.2511.平面向量a与b的夹角为60°,a=(2,0),|b|=1,则|a+2b|=()A.B.2C.4D.122222C502520||||||||||,5,C.abaabbbb　【解析】　故选22222B2(2)442421cos604123,B.||ababaabb　【解析】　因为故选525103312.已知向量a=(1,2),b=(-2,m),且a∥b,则2a+3b=()A.(-5,-10)B.(-4,-8)C.(-3,-6)D.(-2,-4)13.已知向量,则∠ABC=()A.30°B.45°C.60°D.120°B1,2,2,,//,1()()()()(220,4,2321,232,44,8,B.)()abmabmmab　【解析】　因为向量且所以所以于是故选13312222Acos11||||3,30,A.2BABCABCBABCABC　【解析】　由题意得所以故选1331(,),(,)2222BABC14.向量a=(1,2),b=(1,0),c=(3,4).若λ为实数,(a+λb)∥c则λ=()A.B.C.1D.2()()()(B1,21)//(,01,2,1,32410,.).B2ababc　【解析】　因为又于是所以故选141215.已知向量a=(1,0),b=(1,1),则与2a+b同向的单位向量的坐标表示为.2231010()()()()1010()3103101010()1010101031010(,1,0,1,1,23,1.12?,),,0,30,.2,.1010ababxyabcxyxyyxxcyab　【解析】　由得设与同向的单位向量为则且解得故即与同向的单位向量的坐标为16.设a、b都是非零向量,下列四个条件中,使成立的充分条件是()A.|a|=|b|且a∥bB.a=-bC.a∥bD.a=2bD,,,||||.D.||||abababababab　【解析】　分别是与同向的单位向量的充要条件是与同向故选||||abab17.已知向量a=(1,2),b=(2,-3).若向量c满足(c+a)∥b,c⊥(a+b),则c=()()()//()()D1,2,12,233,1,,3077,,D.93caxyxycababcabxyxy　【解析】　因为所以　①因为所以　②由①②得故选77777777A.(,)B.(,)C.(,)D.(,)9339399318.已知平面向量a=(1,-3),b=(4,-2),λa+b与a垂直,则λ=()A.-1B.1C.-2D.219.设向量a=(1,cosθ)与b=(-1,2cosθ)垂直,则cos2θ等于()A.B.C.0D.-1A,3,4,32,,()()()()()0,413230,A()1,.aababaaba　【解析】　因为与垂直所以故选222()()()C1,cos1,2cos,11cos2cos0,2cos10,cos20,C.ab　【解析】　因为向量与垂直所以故选1220.已知△ABC是边长为1的等边三角形,点D,E分别是边AB,BC的中点,连接DE并延长到点F,使得DE=2EF,则的值为()2B,,1133,,22241353,244453531,()()(B.4448)8BAaBCbDEACbaDFDEbaAFADDFabaabAFBCabb　【解析】　设故选51111A.B.C.D.8848AFBC21.已知向量a=(1,),b=(3,m).若向量a,b的夹角为,则实数m=()2222B333c|||os,13939233,|93.abmabababmmmmm　【解析】　36A.23B.3C.0D.3