（全国版）2020年中考数学复习 第三单元 函数及其图象 第12课时 反比例函数及其应用课件

第12课时反比例函数及其应用考点一反比例函数的概念考点聚焦【温馨提示】(1)反比例函数中,自变量的取值范围是①;(2)解析式的变式:y=kx-1或xy=k(k≠0).一般地,形如y=𝑘𝑥(k为常数,k≠0)的函数,叫做反比例函数,其中x是自变量,y是函数.x≠0考点二反比例函数的图象与性质一般形式k的符号k②0k③0图象所在象限第一、三象限第二、四象限y=kx(k为常数,k≠0),其图象上点的横、纵坐标之积为定值k(续表)增减性同一支上,y随x的增大而④;在两支上,第一象限y值大于第三象限y值同一支上,y随x的增大而⑤;在两支上,第二象限y值大于第四象限y值对称性关于直线y=x,y=-x成轴对称关于⑥成中心对称小结(1)反比例函数的图象是双曲线,反比例函数的增减性由系数k决定;(2)反比例函数图象的两支在两个象限内,根据自变量的值比较相应函数值的大小时,应注意象限问题增大减小原点考点三反比例函数比例系数k的几何意义2.常见的与反比例函数有关的图形面积1.几何意义:过反比例函数y=𝑘𝑥(k≠0)图象上任意一点向两坐标轴作垂线,两条垂线与两坐标轴所围成的矩形的面积为|k|.S矩形OAPB=|k|S△AOP=⑦S△ABC=⑧=⑨S△APP1|𝒌|𝟐|k|2|k|考点四反比例函数解析式的确定待定系数法几何法题中涉及面积时,考虑用k的几何意义求解(1)设出反比例函数的解析式y=kx(k≠0);(2)找出图象上一点的坐标P(x0,y0);(3)将P(x0,y0)的坐标代入y=kx(k≠0),求出k的值;(4)写出解析式考点五反比例函数的实际应用利用反比例函数解决实际问题,关键是建立函数模型.建立函数模型的思路主要有两种:(1)已知函数类型,直接设出函数的解析式,根据题目提供的信息求得k的值;(2)题目本身未明确表明变量间的函数关系,此时需通过分析,先确定变量间的关系,再求解析式.题组一教材题对点演练1.[九下P8习题26.1第3(3)题]若点(1,3)在反比例函数y=𝑘𝑥的图象上,则k=,在图象的每一支上,y随x的增大而.3减小2.[九下P9习题26.1第5题改编]正比例函数y=x的图象与反比例函数y=𝑘𝑥的图象有一个交点的纵坐标是2.(1)当x=-3时,反比例函数y=𝑘𝑥的值为;(2)当-3x-1时,反比例函数y=𝑘𝑥的取值范围是.[答案](1)-43(2)-4y-43[解析](1)把纵坐标2代入y=x求出横坐标为2,即交点坐标为(2,2).把(2,2)代入y=𝑘𝑥,得k=4,故反比例函数的解析式为y=4𝑥,当x=-3时,代入得y=-43;(2)当x=-3时,y=-43,当x=-1时,y=-4.又知反比例函数y=4𝑥在-3x-1时,y随x的增大而减小,即当-3x-1时,-4y-43.3.[九下P16习题26.2第6题改编]密闭容器内有一定质量的二氧化碳,当容器的体积V(单位:m3)变化时,气体的密度ρ(单位:kg/m3)随之变化.已知密度ρ与体积V是反比例函数关系,它的图象如图12-1所示.(1)ρ与V之间的函数解析式是;(2)当V=9m3时,二氧化碳的密度ρ=kg/m3.[答案](1)ρ=9.9𝑉(V0)(2)1.1[解析](1)设ρ=𝑘𝑉,∵图象过点A(5,1.98),∴1.98=𝑘5,解得k=9.9,∴ρ与V之间的函数解析式为ρ=9.9𝑉(V0).(2)当V=9m3时,ρ=9.99=1.1(kg/m3).图12-1题组二易错题【失分点】在利用反比例函数的增减性比较函数值的大小时,忽略分析两点是否在同一象限内;根据图象写不等式的解集时,易漏解;利用反比例函数比例系数k的几何意义求反比例函数的解析式时,忽略图象所在的象限导致k的符号错误.4.[2019·天津]若点A(-3,y1),B(-2,y2),C(1,y3)都在反比例函数y=-12𝑥的图象上,则y1,y2,y3的大小关系是()A.y2y1y3B.y3y1y2C.y1y2y3D.y3y2y1B图12-25.[2019·泸州]如图12-2,一次函数y1=ax+b和反比例函数y2=𝑘𝑥的图象相交于A,B两点,则使y1y2成立的x的取值范围是()A.-2x0或0x4B.x-2或0x4C.x-2或x4D.-2x0或x46.如图12-3,反比例函数y=𝑘𝑥在第二象限的图象上有一点A,过点A作AB⊥x轴于B,且S△AOB=2,则k的值为.图12-3B-4考向一反比例函数的图象与性质例1[2019·海南]如果反比例函数y=𝑎-2𝑥(a是常数)的图象在第一、三象限,那么a的取值范围是()A.a0B.a0C.a2D.a2[答案]D[解析]反比例函数的图象在第一、三象限,那么a-20,∴a2,故选D.|考向精练|1.[2019·仙桃]对于反比例函数y=-3𝑥,下列说法不正确的是()A.图象经过点(1,-3)B.图象位于第二、四象限C.图象关于直线y=x对称D.y随x的增大而增大[答案]D[解析]本题考查了反比例函数的图象和性质,当x=1时,y=-3,故A正确;k=-30,所以图象位于第二、四象限,故B正确;反比例函数图象是轴对称图形,既关于直线y=x对称,也关于直线y=-x对称,故C正确;反比例函数的增减性前提条件是在同一象限内,故D不正确.因此本题选D.图12-42.[2019·贺州]已知ab0,一次函数y=ax-b与反比例函数y=𝑎𝑥在同一直角坐标系中的图象可能是()[答案]A[解析]若反比例函数y=𝑎𝑥的图象位于第一、三象限,则a0,所以b0,则一次函数y=ax-b的图象经过第一、二、三象限;若反比例函数y=𝑎𝑥的图象位于第二、四象限,则a0,所以b0,则一次函数y=ax-b的图象经过第二、三、四象限.故选项A正确.故选A.图12-5C3.[2019·衡阳]如图12-5,一次函数y1=kx+b(k≠0)的图象与反比例函数y2=𝑚𝑥(m为常数且m≠0)的图象,都经过A(-1,2),B(2,-1),结合图象,则不等式kx+b𝑚𝑥的解集是()A.x-1B.-1x0C.x-1或0x2D.-1x0或x2图12-64.如图12-6,正比例函数y=ax的图象与反比例函数y=𝑘𝑥的图象相交于点A,B,若点A的坐标为(-2,3),则点B的坐标为.[答案](2,-3)[解析]根据题意,知点A与B关于原点对称,∵点A的坐标是(-2,3),∴点B的坐标为(2,-3).考向二反比例函数比例系数k的几何意义例2(1)如图12-7,过反比例函数y=𝑘𝑥(x0)的图象上一点A作AB⊥x轴于点B,连接AO,若S△AOB=2,则k的值为.图12-7[答案](1)4[解析](1)∵点A是反比例函数y=𝑘𝑥图象上一点,且AB⊥x轴于点B,∴S△AOB=12|k|=2,解得k=±4.∵反比例函数在第一象限有图象,∴k=4.图12-8(2)如图12-8,A是反比例函数y=𝑘𝑥(x0)图象上的一点,AB垂直于x轴,垂足为B,AC垂直于y轴,垂足为C.若矩形ABOC的面积为5,则k的值为.[答案](2)5[解析](2)∵AB垂直于x轴,垂足为B,AC垂直于y轴,垂足为C,∴矩形ABOC的面积=|k|,即|k|=5,而k0,∴k=5.图12-9(3)如图12-9,A,B是双曲线y=6𝑥上的两点,分别过点A,B作x轴和y轴的垂线段,若图中阴影部分的面积为2,则两个空白矩形面积的和为.[答案](3)8[解析](3)由A,B为双曲线上的两点,利用比例系数k的几何意义,求出矩形ACOG与矩形BEOF的面积,又已知阴影部分矩形DGOF的面积,故可求出两个空白矩形的面积之和.∵点A,B是双曲线y=6𝑥上的点,∴S矩形ACOG=S矩形BEOF=6.∵S矩形DGOF=2,∴S矩形ACFD+S矩形BDGE=6+6-2-2=8.【方法点析】求解反比例函数与图形面积有关的问题时,要善于把点的横、纵坐标转化为图形的边长.对于不易直接求出图形面积的问题,常常采用割补法——把所求图形的面积分成几个三角形或四边形面积的和或差.|考向精练|图12-101.[2019·株洲]如图12-10所示,在直角坐标系xOy中,点A,B,C为反比例函数y=𝑘𝑥(k0)图象上不同的三点,连接OA,OB,OC,过点A作AD⊥y轴于点D,过点B,C分别作BE,CF垂直x轴于点E,F,OC与BE相交于点M,记△AOD,△BOM,四边形CMEF的面积分别为S1,S2,S3,则()A.S1=S2+S3B.S2=S3C.S3S2S1D.S1S2𝑆32[答案]B[解析]∵点A,B,C为反比例函数y=𝑘𝑥(k0)图象上不同的三点,AD⊥y轴,BE,CF垂直x轴于点E,F,∴S1=12k,S△BOE=S△COF=12k.∴S△BOE-S△OME=S△COF-S△OME,∴S2=S3,故选B.图12-112.[2019·黄冈]如图12-11,一直线经过原点O,且与反比例函数y=𝑘𝑥(k0)的图象相交于点A,点B,过点A作AC⊥y轴,垂足为C.连接BC.若△ABC的面积为8,则k=.[答案]8[解析]因为反比例函数与正比例函数的图象相交于A,B两点,∴A,B两点关于原点对称,∴OA=OB,∴△BOC的面积=△AOC的面积=8÷2=4.又∵A是反比例函数y=𝑘𝑥的图象上的点,且AC⊥y轴于点C,∴△AOC的面积=12|k|,∴12|k|=4,∵k0,∴k=8.03.[2019·北京]在平面直角坐标系xOy中,点A(a,b)(a0,b0)在双曲线y=𝑘1𝑥上.点A关于x轴的对称点B在双曲线y=𝑘2𝑥上,则k1+k2的值为.图12-124.[2019·安顺]如图12-12,直线l⊥x轴于点P,且与反比例函数y1=𝑘1𝑥(x0)及y2=𝑘2𝑥(x0)的图象分别交于A,B两点,连接OA,OB,已知△OAB的面积为4,则k1-k2=.[答案]8[解析]∵反比例函数y1=𝑘1𝑥(x0)及y2=𝑘2𝑥(x0)的图象均在第一象限内,∴k10,k20.∵AP⊥x轴,∴S△OAP=12k1,S△OBP=12k2.∴S△OAB=S△OAP-S△OBP=12(k1-k2)=4,解得𝑘1-𝑘2=8.考向三反比例函数与一次函数的结合例3如图12-13,已知A(-4,n),B(2,-4)是一次函数y1=kx+b和反比例函数y2=𝑚𝑥的图象的两个交点.(1)m=,n=,并求一次函数和反比例函数的解析式;图12-13(2)观察图象,直接写出方程kx+b-𝑚𝑥=0的解为;(3)求△AOB的面积;(4)观察图象,直接写出不等式kx+b-𝑚𝑥0的解集为;(5)当y1y2时,请直接写出x的取值范围:.解:(1)∵B(2,-4)在反比例函数y2=𝑚𝑥的图象上,∴m=-8.∴反比例函数的解析式为y2=-8𝑥.∵点A(-4,n)在反比例函数y2=-8𝑥的图象上,∴n=2.∴A(-4,2).∵直线y1=kx+b经过A(-4,2),B(2,-4),∴-4𝑘+𝑏=2,2𝑘+𝑏=-4.解得𝑘=-1,𝑏=-2.∴一次函数的解析式为y1=-x-2.例3如图12-13,已知A(-4,n),B(2,-4)是一次函数y1=kx+b和反比例函数y2=𝑚𝑥的图象的两个交点.图12-13(2)观察图象,直接写出方程kx+b-𝑚𝑥=0的解为;(2)∵A(-4,n),B(2,-4)是一次函数y1=kx+b的图象和反比例函数y2=𝑚𝑥的图象的两个交点,∴方程kx+b-𝑚𝑥=0的解是x1=-4,x2=2.例3如图12-13,已知A(-4,n),B(2,-4)是一次函数y1=kx+b和反比例函数y2=𝑚𝑥的图象的两个交点.图12-13(3)求△AOB的面积;(3)∵当y1=0时,x=-2.∴点C(-2,0).∴OC=2.∴S△AO