（全国）2019版中考数学复习 第五单元 四边形 第26课时 正方形及中点四边形课件

第26课时正方形及中点四边形考点一正方形课前双基巩固考点聚焦正方形的定义有一组邻边相等,且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形正方形的性质(1)正方形对边平行(2)正方形四边①(3)正方形四个角都是②(4)正方形对角线相等且互相③,每条对角线平分一组对角(5)正方形既是轴对称图形又是中心对称图形,对称轴有四条,对称中心是对角线的交点正方形的判定(1)有一组邻边相等的④是正方形(2)有一个角是直角的⑤是正方形相等直角垂直平分矩形菱形课前双基巩固判定正方形的思路图:考点二中点四边形课前双基巩固定义顺次连接四边形各边中点所得的四边形,我们称之为中点四边形常见结论顺次连接四边形各边中点所得到的四边形是平行四边形顺次连接矩形各边中点所得到的四边形是①顺次连接菱形各边中点所得到的四边形是②顺次连接正方形各边中点所得到的四边形是③常见结论顺次连接对角线相等的四边形各边中点所得到的四边形是④顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点所得到的四边形是⑤菱形矩形正方形菱形矩形课前双基巩固对点演练题组一教材题1.[八下P62习题18.2第13题]如图26-1,E,F,M,N分别是正方形ABCD四条边上的点,且AE=BF=CM=DN,试判断四边形EFMN是什么图形,并证明你的结论.图26-1解:四边形EFMN是正方形.证明:∵AE=BF=CM=DN,∴N=DM=CF=BE.∵∠A=∠B=∠C=∠D=90°,∴△ANE≌△DMN≌△CFM≌△BEF.∴EF=EN=NM=MF,∠ENA=∠DMN.∴四边形EFMN是菱形.∵∠ENA=∠DMN,∠DMN+∠DNM=90°,∴∠ENA+∠DNM=90°,∴∠ENM=90°,∴四边形EFMN是正方形.课前双基巩固2.[八下P62习题18.2第15题]如图26-2,四边形ABCD是正方形.G是BC上的任意一点,DE⊥AG于点E,BF∥DE,且交AG于点F.求证:AF-BF=EF.图26-2证明:∵四边形ABCD是正方形,∴AD=AB,∠BAD=90°.∵DE⊥AG,∴∠AED=90°,∴∠ADE+∠DAE=90°.又∵∠BAF+∠DAE=∠BAD=90°,∴∠ADE=∠BAF.∵BF∥DE,∴∠AFB=∠DEG=∠AED,∴△ABF≌△DAE(AAS),∴BF=AE.∵AF-AE=EF,∴AF-BF=EF.课前双基巩固题组二易错题3.下列命题,其中是真命题的为()A.对角线相等的平行四边形是正方形B.对角线互相垂直的菱形是正方形C.对角线相等的矩形是正方形D.一组邻边相等的矩形是正方形【失分点】在原四边形的基础上增加条件判定正方形知识混乱;对各类四边形各自的中点四边形的判定出现错误.[答案]D课前双基巩固4.[2018·湘潭]如图26-3,已知点E,F,G,H分别是菱形ABCD各边的中点,则四边形EFGH是()图26-3A.正方形B.矩形C.菱形D.平行四边形[答案]B课堂考点探究探究一正方形的性质例1[2018·潍坊]如图26-4,点M是正方形ABCD边CD上一点,连接AM,作DE⊥AM于点E,BF⊥AM于点F,连接BE.(1)求证:AE=BF;(2)已知AF=2,四边形ABED的面积为24,求∠EBF的正弦值.【命题角度】(1)正方形结合等腰三角形的性质求角度或线段的长;(2)应用正方形的对称性解决线段求值或线段和(差)的最值问题.图26-4解:(1)证明:∵四边形ABCD为正方形,∴AB=AD,∠BAD=90°.∴∠BAE+∠EAD=90°.∵BF⊥AM,DE⊥AM,∴∠DEA=∠AFB=90°,∴∠EAD+∠EDA=90°.∴∠BAE=∠EDA.∴△ABF≌△DAE.∴AE=BF.课堂考点探究例1[2018·潍坊]如图26-4,点M是正方形ABCD边CD上一点,连接AM,作DE⊥AM于点E,BF⊥AM于点F,连接BE.(2)已知AF=2,四边形ABED的面积为24,求∠EBF的正弦值.图26-4(2)设EF=x,则AE=x+2,BF=AE=x+2.∵△ABF≌△DAE,∴S四边形ABED=S△BEF+S△ABF+S△ADE=S△BEF+2S△ABF=24.即12x(x+2)+12×2(x+2)×2=24.解得:x1=4,x2=-10(舍去).∴EF=4,BF=6,∴BE=42+62=213.∴sin∠EBF=𝐸𝐹𝐵𝐸=4213=21313.课堂考点探究针对训练[2018·聊城]如图26-5,正方形ABCD中,E是BC上的一点,连接AE,过点B作BH⊥AE,垂足为点H,延长BH交CD于点F,连接AF.(1)求证:AE=BF;(2)若正方形边长是5,BE=2,求AF的长.图26-5解:(1)证明:∵四边形ABCD是正方形,∴AB=BC,∠ABC=∠C=90°,∵BH⊥AE,垂足为点H,∴∠BAE+∠ABH=90°,∵∠CBF+∠ABH=90°,∴∠BAE=∠CBF.在△ABE和△BCF中,∠𝐴𝐵𝐶=∠𝐶=90°,𝐴𝐵=𝐵𝐶,∠𝐵𝐴𝐸=∠𝐶𝐵𝐹,∴△ABE≌△BCF(ASA),∴AE=BF.课堂考点探究(2)∵△ABE≌△BCF,∴CF=BE=2,∵正方形的边长为5,∴AD=CD=5,∴DF=CD-CF=5-2=3.在Rt△ADF中,AF=𝐴𝐷2+𝐷𝐹2=52+32=34.[2018·聊城]如图26-5,正方形ABCD中,E是BC上的一点,连接AE,过点B作BH⊥AE,垂足为点H,延长BH交CD于点F,连接AF.(2)若正方形边长是5,BE=2,求AF的长.图26-5课堂考点探究探究二正方形的判定【命题角度】证明一个四边形是正方形.例2[2017·兰州]在平行四边形ABCD中,对角线AC与DB相交于点O.要使四边形ABCD是正方形,还需添加一组条件.下面给出了四组条件:①AB⊥AD,且AB=AD;②AB=BD,且AB⊥BD;③OB=OC,且OB⊥OC;④AB=AD,且AO=BO.其中正确的序号是:.课堂考点探究[答案]①③④[解析]①有一个角是直角的平行四边形是矩形;有一组邻边相等的矩形是正方形,即①正确;②BD为平行四边形的对角线,AB为平行四边形的其中一条边,所以AB=BD时,平行四边形不可能是正方形,即②错误;③对角线相等且垂直的平行四边形是正方形.由题意OB=OC,得AC=BD,由OB⊥OC得AC⊥BD,即平行四边形ABCD为正方形,即③正确;④有一组邻边相等的平行四边形是菱形;对角线相等的菱形是正方形.依题意,在平行四边形ABCD中,由AB=AD,得四边形ABCD为菱形,又∵AO=BO,∴四边形ABCD为正方形.即④正确.课堂考点探究探究三中点四边形【命题角度】(1)判断并证明中点四边形的形状是平行四边形;(2)证明对角线互相垂直的四边形的中点四边形是矩形.例3[2018·临沂]如图26-6,点E,F,G,H分别是四边形ABCD边AB,BC,CD,DA的中点.则下列说法中正确的个数是()①若AC=BD,则四边形EFGH为矩形;②若AC⊥BD,则四边形EFGH为菱形;③若四边形EFGH是平行四边形,则AC与BD互相平分;④若四边形EFGH是正方形,则AC与BD互相垂直且相等.A.1B.2C.3D.4图26-6[答案]A[解析]∵点E,F,G,H分别是四边形ABCD边AB,BC,CD,DA的中点,∴EH=12BD=FG,EH∥BD∥FG,∴四边形EFGH是平行四边形.由AC=BD可得EH=EF,∴四边形EFGH为菱形,①错误;由AC⊥BD,可得EH⊥EF,∴四边形EFGH为矩形,②错误;由四边形EFGH是平行四边形,无法得到AC与BD互相平分,③错误;由四边形EFGH是正方形,可得到AC与BD互相垂直且相等,④正确.故选A.课堂考点探究[方法模型]依次连接四边形各边中点所得到的新四边形的形状与原四边形对角线的关系(相等、垂直、相等且垂直)有关.课堂考点探究针对训练1.[2017·株洲]如图26-7,点E,F,G,H分别为四边形ABCD的四边AB,BC,CD,DA的中点,则关于四边形EFGH,下列说法正确的是()A.一定不是平行四边形B.一定不是中心对称图形C.可能是轴对称图形D.当AC=BD时它是矩形图26-7[答案]C[解析]连接AC,BD,∵点E,F,G,H分别为四边形ABCD的四边AB,BC,CD,DA的中点,∴EF=HG=12AC,EH=FG=12BD,∴四边形EFGH是平行四边形,∴四边形EFGH一定是中心对称图形,当AC⊥BD时,∠EFG=90°,此时四边形EFGH是矩形,当AC=BD时,EF=FG=GH=HE,此时四边形EFGH是菱形,∴四边形EFGH可能是轴对称图形.课堂考点探究2.[2018·陕西]如图26-8,在菱形ABCD中,点E,F,G,H分别是边AB,BC,CD和DA的中点,连接EF,FG,GH和HE.若EH=2EF,则下列结论正确的是()A.AB=2EFB.AB=2EFC.AB=3EFD.AB=5EF[答案]D[解析]连接AC,BD交于点O.∵E,F分别为AB,BC的中点,∴EF=12AC.∵四边形ABCD为菱形,∴AO=12AC,AC⊥BD.∴EF=AO.同理:EH=BO.∵EH=2EF,∴BO=2AO.在Rt△ABO中,设AO=x,则BO=2x.∴AB=𝑥2+(2𝑥)2=5x=5AO.∴AB=5EF.故选择D.图26-8课堂考点探究探究四四边形的折叠问题【命题角度】(1)求四边形折叠问题中的角度;(2)求四边形折叠问题中的线段长;(3)探究四边形折叠问题中的最值问题.例4如图26-9,矩形ABCD中,AB=6,BC=8,将矩形折叠,使点C与点A重合,则折痕EF的长为.图26-9课堂考点探究[答案]152[解析]连接AF,如图,∵矩形折叠后点C与点A重合,∴EF垂直平分AC,即OA=OC,∠AOF=90°,∴FA=FC,设AF=x,则FC=x,BF=BC-x=8-x,在Rt△ABF中,AB2+BF2=AF2,即62+(8-x)2=x2,解得x=254,在Rt△ABC中,AC=10,∴OA=5,在Rt△AOF中,OF=𝐴𝐹2-𝑂𝐴2=(254)2-52=154,∵AD∥BC,∴∠DAC=∠BCA,在△AOE和△COF中,∠𝐸𝐴𝑂=∠𝐹𝐶𝑂,𝑂𝐴=𝑂𝐶,∠𝐴𝑂𝐸=∠𝐶𝑂𝐹,∴△AOE≌△COF(ASA),∴OE=OF,∴EF=2OF=152.[方法模型]折叠的实质是轴对称,折叠前后对应部分重合,即对应角相等,对应边相等,对应图形全等.课堂考点探究针对训练1.[2017·衢州]如图26-10,矩形纸片ABCD中,AB=4,BC=6,将△ABC沿AC折叠,使点B落在点E处,CE交AD于点F,则DF的长等于()图26-10A.35B.53C.73D.54[答案]B[解析]设DF=x,则CF=AF=6-x,在Rt△CDF中,由勾股定理有x2+42=(6-x)2,解得x=53.课堂考点探究2.[2018·荆州]如图26-11,对折矩形纸片ABCD,使AB与DC重合,得到折痕MN,将纸片展平;再一次折叠,使点D落到MN上的点F处,折痕AP交MN于E;延长PF交AB于G.求证:(1)△AFG≌△AFP;图26-11证明:(1)∵对折矩形纸片ABCD,使AB与CD重合,得到折痕MN,∴MN∥AB且M,N分别为AD,BC中点,∴EF∥AG且E,F分别为PA,PG的中点,∴PF=GF.由折叠的性质得∠PFA=∠D=∠GFA=90°,又AF=AF,∴△AFG≌△AFP(SAS).(2)△APG为等边三角形.(2)∵△AFG≌△AFP,∴AP=AG,∠2=∠3,又∵∠2=∠1,∴∠1=∠2=∠3,又∵∠1+∠2+∠3=90°,∴3∠2=90°,∴∠2=30°,∠PAG=2∠2=60°,∴△APG为等边三角形.