（全国）2019版中考数学复习 第四单元 三角形 第19课时 等腰三角形课件

第19课时等腰三角形考点一等腰三角形的概念与性质课前双基巩固考点聚焦定义有①相等的三角形是等腰三角形.相等的两边叫做腰,第三边为底性质轴对称性等腰三角形是轴对称图形,有②条对称轴定理1等腰三角形的两个底角相等,简称③定理2等腰三角形的顶角平分线、底边上的④、底边上的高互相重合,简称“三线合一”两边1等边对等角中线课前双基巩固拓展(1)等腰三角形两腰上的高相等(2)等腰三角形两腰上的中线相等(3)等腰三角形两底角的平分线相等(4)等腰三角形一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半(5)等腰三角形顶角的外角平分线与底边平行(6)等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高(7)等腰三角形底边延长线上任意一点到两腰的距离之差等于一腰上的高课前双基巩固定理如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等,简称拓展(1)一边上的高与这边上的中线重合的三角形是等腰三角形(2)一边上的高与这边所对角的平分线重合的三角形是等腰三角形(3)一边上的中线与这边所对角的平分线重合的三角形是等腰三角形考点二等腰三角形的判定等角对等边考点三等边三角形课前双基巩固定义三边相等的三角形是等边三角形性质等边三角形的各角都①,并且每一个角都等于②等边三角形是轴对称图形,有③条对称轴判定(1)三个角都相等的三角形是等边三角形(2)有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形相等60°3考点四线段的垂直平分线课前双基巩固定义经过线段中点并且垂直于这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线性质线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离①判定与一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的②上相等垂直平分线课前双基巩固对点演练题组一教材题1.[八上P8习题11.1第6题改编]若一个等腰三角形的一边长为6cm,周长为20cm,则其他两边的长为.[答案]8cm,6cm或7cm,7cm[解析]①若底边长为6cm,则腰长为(20-6)÷2=7(cm),所以另两边的长为7cm,7cm,能构成三角形;②若腰长为6cm,则底边长为20-6×2=8(cm),所以另两边的长为8cm,6cm,能构成三角形.因此另两边长为8cm,6cm或7cm,7cm.课前双基巩固2.[八上P77练习第3题改编]如图19-1,在△ABC中,AB=AD=DC,∠BAD=26°,则∠B=,∠C=.图19-1[答案]77°38.5°[解析]由题意,在△ABC中,AB=AD=DC,∠BAD=26°,根据等腰三角形的性质可以求出∠B,再根据三角形内角与外角的关系即可求出∠C.∵AB=AD,∠BAD=26°,∴在△ABD中,∠B=∠ADB=(180°-26°)×12=77°.又∵AD=DC,∴在△ADC中,∠C=12∠ADB=77°×12=38.5°.课前双基巩固3.[八上P78例2改编]如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边,那么这个三角形是.[答案]等腰三角形[解析]如图,DC平分∠ACE,且AB∥CD,∴∠ACD=∠DCE,∠A=∠ACD,∠ABC=∠DCE,∴∠ABC=∠A,∴△ABC为等腰三角形.课前双基巩固4.[八上P82习题13.3第7题改编]如图19-2,AB=AC,∠A=40°,AB的垂直平分线MN交AC于点D,则∠DBC=.图19-2[答案]30°[解析]∵AB=AC,∴∠ABC=∠C=70°.∵MN垂直平分AB,∴DA=DB,∴∠A=∠ABD=40°,∴∠DBC=∠ABC-∠ABD=70°-40°=30°.课前双基巩固5.[八上P83习题13.3第10题改编]如图19-3,△ABC中,BO平分∠ABC,CO平分∠ACB,MN经过点O,与AB,AC相交于点M,N,且MN∥BC.则△AMN的周长等于.图19-3[答案]AB+AC课前双基巩固题组二易错题6.等腰三角形一边长等于5,另一边长等于10,则它的周长是()A.20B.25C.20或25D.157.如果等腰三角形的一个外角为140°,那么底角为()A.40°B.60°C.70°D.40°或70°【失分点】当腰与底不确定时,顶角与底角不确定忽视分类讨论造成漏解.[答案]6.B[解析]当5为腰,10为底时,∵5+5=10,∴不能构成三角形;当腰为10时,∵5+1010,∴能构成三角形,∴等腰三角形的周长为:10+10+5=25.7.D课堂考点探究探究一等腰三角形性质的运用【命题角度】(1)利用“等边对等角”进行角度计算;(2)利用“三线合一”进行角度、线段位置或数量关系的转化或证明;(3)利用等腰三角形两腰上的高(中线)、两底角的平分线的性质结合全等计算或证明.课堂考点探究例1[2019·原创]如图19-4,△ABC中,D为AB上一点,E为BC上一点,且AC=CD=BD=BE,∠A=50°,则∠CDE的度数为()A.50°B.51°C.51.5°D.52.5°[答案]D[解析]∵AC=CD=BD=BE,∠A=50°,∴∠A=∠CDA=50°,∠B=∠DCB,∠BDE=∠BED,∵∠B+∠DCB=∠CDA=50°,∴∠B=25°,∵∠B+∠EDB+∠DEB=180°,∴∠BDE=∠BED=12(180°-25°)=77.5°,∴∠CDE=180°-∠CDA-∠EDB=180°-50°-77.5°=52.5°.图19-4[方法模型](1)等腰三角形的性质揭示了三角形中边与角的转化关系,由两边相等转化为两角相等是证明两角相等的常用方法.(2)等腰三角形“三线合一”是证明两条线段相等、两个角相等以及两条直线互相垂直的重要依据.课堂考点探究针对训练00000000000[答案]2a+3b[解析]∵AB=AC,BE=a,AE=b,∴AC=AB=a+b,∵DE是线段AC的垂直平分线,∴AE=CE=b,∴∠ECA=∠BAC=36°,∵∠BAC=36°,∴∠ABC=∠ACB=72°,∴∠BCE=∠ACB-∠ECA=36°,∴∠BEC=180°-∠ABC-∠ECB=72°,∴CE=BC=b,∴△ABC的周长为:AB+AC+BC=2a+3b.1.[2017·益阳]如图19-5,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=36°,DE是线段AC的垂直平分线,若BE=a,AE=b,则用含a,b的代数式表示△ABC的周长为.图19-5课堂考点探究[答案]37[解析]因为AD=AC,E为CD的中点,所以∠DAC=2∠CAE=32°,所以∠ADC=12(180°-∠DAC)=74°,因为BD=AD,所以∠B=12∠ADC=37°.2.[2018·遵义]如图19-6,△ABC中,点D在BC边上,BD=AD=AC,E为CD的中点,若∠CAE=16°,则∠B为度.图19-6课堂考点探究[答案]154[解析]在Rt△ABC中,AC=8cm,BC=6cm,根据勾股定理,得AB=10cm.设CE=xcm,由折叠的性质得:BD=AD=5cm,BE=AE=(8-x)cm,在Rt△BCE中,根据勾股定理可知:BC2+CE2=BE2,即62+x2=(8-x)2,解方程得x=74.∴BE=8-74=254.在Rt△BDE中,DE=𝐵𝐸2-𝐵𝐷2=154.故答案为154.3.[2017·白银、张掖]如图19-7,一张三角形纸片ABC,∠C=90°,AC=8cm,BC=6cm,现将纸片折叠,使点A与点B重合,那么折痕长等于cm.图19-7课堂考点探究4.如图19-8,在△ABC中,AB=AC,过点C作CN∥AB且CN=AC,连接AN交BC于点M.求证:BM=CM.图19-8证明:∵CN=AC,∴∠N=∠CAN.又∵AB∥CN,∴∠BAM=∠N,∴∠BAM=∠CAM,∴AM为∠BAC的平分线,又∵AB=AC,∴AM为△ABC的边BC上的中线,∴BM=CM.课堂考点探究探究二等腰三角形的判定例2如图19-9,在△ABC中,点D,E分别在边AC,AB上,BD与CE交于点O,给出下列三个条件:①∠EBO=∠DCO;②BE=CD;③OB=OC.(1)上述三个条件中,由哪两个条件可以判定△ABC是等腰三角形?(用序号写出所有成立的情形)【命题角度】(1)等腰三角形的判定;(2)等腰三角形性质与判定的综合.图19-9解:(1)①②;①③.(2)请选择(1)中的一种情形,写出证明过程.(2)选①②,证明如下:在△BOE和△COD中,∠𝐸𝐵𝑂=∠𝐷𝐶𝑂,∠𝐸𝑂𝐵=∠𝐷𝑂𝐶,𝐵𝐸=𝐶𝐷,∴△BOE≌△COD,∴BO=CO,∴∠OBC=∠OCB,∴∠EBO+∠OBC=∠DCO+∠OCB,即∠ABC=∠ACB,∴AB=AC,即△ABC是等腰三角形.[2017·连云港]如图19-10,已知等腰三角形ABC中,AB=AC,点D,E分别在边AB,AC上,且AD=AE,连接BE,CD,交于点F.(1)判断∠ABE与∠ACD的数量关系,并说明理由;(2)求证:过点A,F的直线垂直平分线段BC.课堂考点探究针对训练解:(1)∠ABE=∠ACD.理由如下.因为AB=AC,∠BAE=∠CAD,AE=AD,所以△ABE≌△ACD.所以∠ABE=∠ACD.图19-10[2017·连云港]如图19-10,已知等腰三角形ABC中,AB=AC,点D,E分别在边AB,AC上,且AD=AE,连接BE,CD,交于点F.(2)求证:过点A,F的直线垂直平分线段BC.课堂考点探究(2)证明:因为AB=AC,所以∠ABC=∠ACB.由(1)可知∠ABE=∠ACD,所以∠FBC=∠FCB,所以FB=FC.又因为AB=AC,所以点A,F均在线段BC的垂直平分线上,即直线AF垂直平分线段BC.图19-10课堂考点探究探究三等腰三角形的多解问题例3[2018·绍兴]数学课上,张老师举了下面的例题:例1等腰三角形ABC中,∠A=110°,求∠B的度数.(答案:35°)例2等腰三角形ABC中,∠A=40°,求∠B的度数.(答案:40°或70°或100°)张老师启发同学们进行变式,小敏编了如下一题:变式等腰三角形ABC中,∠A=80°,求∠B的度数.(1)请你解答以上的变式题.解:(1)当∠A为顶角时,∠B=50°,当∠A为底角时,若∠B为顶角,则∠B=20°,若∠B为底角,则∠B=80°,∴∠B=50°或20°或80°.课堂考点探究例3[2018·绍兴]数学课上,张老师举了下面的例题:例1等腰三角形ABC中,∠A=110°,求∠B的度数.(答案:35°)例2等腰三角形ABC中,∠A=40°,求∠B的度数.(答案:40°或70°或100°)张老师启发同学们进行变式,小敏编了如下一题:变式等腰三角形ABC中,∠A=80°,求∠B的度数.(2)解(1)后,小敏发现,∠A的度数不同,得到∠B的度数的个数也可能不同.如果在等腰三角形ABC中,设∠A=x°,当∠B有三个不同的度数时,请你探索x的取值范围.(2)分两种情况:①当90≤x180时,∠A只能为顶角,∴∠B的度数只有一个.②当0x90时,若∠A为顶角,则∠B=180-𝑥2°,若∠A为底角,则∠B=x°或∠B=(180-2x)°,当180-𝑥2≠180-2x且180-𝑥2≠x且180-2x≠x,即x≠60时,∠B有三个不同的度数.综上①②,当0x90且x≠60时,∠B有三个不同的度数.课堂考点探究[方法模型](1)当遇到等腰三角形的问题时,注意边有腰与底之分,角有底角和顶角之分;(2)当遇到高线的问题时,要考虑高在形内和形外两种情况.课堂考点探究1.一个等腰三角形一边长为4cm,另一边长为5cm,那么这个等腰三角形的周长是()A.13cmB.14cmC.13cm或14cmD.以上都不对[答案]C[解析]分4cm为等腰三角形的腰和5cm为等腰三角形的腰两种情况进行讨论,先判断符合不符合三边关系,再求出周长.当4cm为等腰三角形的腰时,三角形的三边分别是4cm,4cm,5cm,符合三角形的三边关系,∴周长为13cm;当5cm为等腰三角形的腰时,三边分别是5cm,5cm,4cm,符合三角形的三边关系,∴周长为14cm.针对训练课堂考点探究[答案]115°或65°