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§5.4平面向量的综合应用第五章平面向量与复数ZUIXINKAOGANG最新考纲经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其他一些实际问题的过程,体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具,发展运算能力和解决实际问题的能力.NEIRONGSUOYIN内容索引基础知识自主学习题型分类深度剖析课时作业1基础知识自主学习PARTONE问题类型所用知识公式表示线平行、点共线等问题共线向量定理a∥b⇔⇔,其中a=(x1,y1),b=(x2,y2),b≠0垂直问题数量积的运算性质a⊥b⇔⇔,其中a=(x1,y1),b=(x2,y2),且a,b为非零向量知识梳理1.向量在平面几何中的应用(1)用向量解决常见平面几何问题的技巧:ZHISHISHULIx1y2-x2y1=0x1x2+y1y2=0a=λba·b=0夹角问题数量积的定义cosθ=(θ为向量a,b的夹角),其中a,b为非零向量长度问题数量积的定义|a|==,其中a=(x,y),a为非零向量a·b|a||b|a2x2+y2(2)用向量方法解决平面几何问题的步骤平面几何问题―――――→设向量向量问题――――→运算解决向量问题――――→还原解决几何问题.2.向量在解析几何中的应用向量在解析几何中的应用,是以解析几何中的坐标为背景的一种向量描述.它主要强调向量的坐标问题,进而利用直线和圆锥曲线的位置关系的相关知识来解答,坐标的运算是考查的主体.3.平面向量在物理中的应用(1)由于物理学中的力、速度、位移都是,它们的分解与合成与向量的相似,可以用向量的知识来解决.(2)物理学中的功是一个标量,是力F与位移s的数量积,即W=F·s=|F||s|cosθ(θ为F与s的夹角).4.向量与相关知识的交汇平面向量作为一种工具,常与函数(三角函数)、解析几何结合,常通过向量的线性运算与数量积,向量的共线与垂直求解相关问题.矢量加法和减法1.根据你对向量知识的理解,你认为可以利用向量方法解决哪些几何问题?【概念方法微思考】提示(1)线段的长度问题.(2)直线或线段平行问题.(3)直线或线段垂直问题.(4)角的问题等.2.如何用向量解决平面几何问题?提示用向量表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为向量问题然后通过向量运算,研究几何元素之间的关系,如距离、夹角等问题,最后把运算结果“翻译”成几何关系.(1)若AB→∥AC→,则A,B,C三点共线.()(2)在△ABC中,若AB→·BC→0,则△ABC为钝角三角形.()(3)若平面四边形ABCD满足AB→+CD→=0,(AB→-AD→)·AC→=0,则该四边形一定是菱形.()题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)√×123456√基础自测JICHUZICE(4)已知平面直角坐标系内有三个定点A(-2,-1),B(0,10),C(8,0),若动点P满足:OP→=OA→+t(AB→+AC→),t∈R,则点P的轨迹方程是x-y+1=0.()√123456解析AB→=(2,-2),AC→=(-4,-8),BC→=(-6,-6),∴|AB→|=22+-22=22,|AC→|=16+64=45,|BC→|=36+36=62,∴|AB→|2+|BC→|2=|AC→|2,题组二教材改编2.已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(3,4),B(5,2),C(-1,-4),则该三角形为A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰直角三角形√∴△ABC为直角三角形.1234563.平面直角坐标系xOy中,若定点A(1,2)与动点P(x,y)满足OP→·OA→=4,则点P的轨迹方程是____________.x+2y-4=0123456解析由OP→·OA→=4,得(x,y)·(1,2)=4,即x+2y=4.123456题组三易错自纠4.在△ABC中,已知AB→=(2,3),AC→=(1,k),且△ABC的一个内角为直角,则实数k的值为________________.-23或113或3±1321234565.在四边形ABCD中,AC→=(1,2),BD→=(-4,2),则该四边形的面积为_____.5所以四边形ABCD的面积为12|AC→|·|BD→|=12×5×20=5.解析依题意得AC→·BD→=1×(-4)+2×2=0,所以AC→⊥BD→,6.已知点P在圆x2+y2=1上,点A的坐标为(-2,0),O为坐标原点,则AO→·AP→的最大值为______.12345662题型分类深度剖析PARTTWO题型一向量在平面几何中的应用师生共研例1(1)如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,CD=2,∠BAD=π4,若AB→·AC→=2AB→·AD→,则AD→·AC→=______.12(2)(2018·广元统考)在△ABC中,AB=2AC=6,BA→·BC→=BA→2,点P是△ABC所在平面内一点,则当PA→2+PB→2+PC→2取得最小值时,AP→·BC→=______.-9向量与平面几何综合问题的解法(1)坐标法把几何图形放在适当的坐标系中,则有关点与向量就可以用坐标表示.(2)基向量法适当选取一组基底,沟通向量之间的联系,利用向量间的关系构造关于未知量的方程进行求解.思维升华A.3B.4C.5D.6√跟踪训练1(1)(2018·松原三校联考)已知△ABC外接圆的圆心为O,AB=23,AC=22,A为钝角,M是BC边的中点,则AM→·AO→等于(2)(2018·聊城模拟)在△ABC中,BC边上的中线AD的长为2,点P是△ABC所在平面上的任意一点,则PA→·PB→+PA→·PC→的最小值为A.1B.2C.-2D.-1√例2(1)已知正三角形ABC的边长为23,平面ABC内的动点P,M满足|AP→|=1,PM→=MC→,则|BM→|2的最大值是A.434B.494C.37+634D.37+2334题型二向量在解析几何中的应用√师生共研(2)(2017·江苏)在平面直角坐标系xOy中,A(-12,0),B(0,6),点P在圆O:x2+y2=50上,若PA→·PB→≤20,则点P的横坐标的取值范围是____________.[-52,1]向量在解析几何中的“两个”作用(1)载体作用:向量在解析几何问题中出现,多用于“包装”,关键是利用向量的意义、运算脱去“向量外衣”,导出曲线上点的坐标之间的关系,从而解决有关距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题.(2)工具作用:利用a⊥b⇔a·b=0(a,b为非零向量),a∥b⇔a=λb(b≠0),可解决垂直、平行问题,特别地,向量垂直、平行的坐标表示对于解决解析几何中的垂直、平行问题是一种比较简捷的方法.思维升华跟踪训练2(2018·重庆质检)已知圆C:x2+y2-2x-23y+3=0,点A(0,m)(m0),A,B两点关于x轴对称.若圆C上存在点M,使得AM→·BM→=0,则当m取得最大值时,点M的坐标是A.32,322B.322,32C.32,332D.332,32√例3已知在Rt△ABC中,∠C=90°,AB→·AC→=9,S△ABC=6,P为线段AB上的点,且CP→=x·CA→|CA→|+y·CB→|CB→|,则xy的最大值为____.题型三向量的其他应用多维探究命题点1向量在不等式中的应用3例4(2018·衡阳模拟)在△ABC中,若|AC→|=23,且AB→·cosC+BC→·cosA=AC→·sinB.(1)求角B的大小;命题点2向量在解三角形中的应用(2)求△ABC的面积.解由(1)知,A=C=π6,由正弦定理,得|AC→|sin2π3=|BC→|sinπ6,所以|BC→|=2,S△ABC=12|AC→||BC→|sinπ6=12×23×2×12=3.利用向量的载体作用,可以将向量与三角函数、不等式结合起来,解题时通过定义或坐标运算进行转化,使问题的条件结论明晰化.思维升华跟踪训练3在△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,已知向量m=cosB,2cos2C2-1,n=(c,b-2a),且m·n=0.(1)求∠C的大小;解因为m=(cosB,cosC),n=(c,b-2a),m·n=0,所以ccosB+(b-2a)cosC=0,在△ABC中,由正弦定理得,sinCcosB+(sinB-2sinA)cosC=0,sinA=2sinAcosC,又sinA≠0,所以cosC=12,而C∈(0,π),所以∠C=π3.两边平方得4|CD→|2=b2+a2+2bacos∠ACB=b2+a2+ba=28.①(2)若点D为边AB上一点,且满足AD→=DB→,|CD→|=7,c=23,求△ABC的面积.解由AD→=DB→知,CD→-CA→=CB→-CD→,所以2CD→=CA→+CB→,又c2=a2+b2-2abcos∠ACB,所以a2+b2-ab=12.②由①②得ab=8,所以S△ABC=12absin∠ACB=23.3课时作业PARTTHREE1.在△ABC中,则△ABC的形状一定是A.等边三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形(BC→+BA→)·AC→=|AC→|2,基础保分练√解析由(BC→+BA→)·AC→=|AC→|2,得AC→·(BC→+BA→-AC→)=0,即AC→·(BC→+BA→+CA→)=0,2AC→·BA→=0,∴AC→⊥BA→,∴A=90°.又根据已知条件不能得到|AB→|=|AC→|,故△ABC一定是直角三角形.12345678910111213141516解析AM→·NM→=(AB→+BM→)·(NC→+CM→)=AB→+23AD→·12AB→-13AD→=12AB→2-29AD→2=12×82-29×62=24,故选C.2.在▱ABCD中,|AB→|=8,|AD→|=6,N为DC的中点,BM→=2MC→,则AM→·NM→等于A.48B.36C.24D.12√123456789101112131415163.已知△ABC满足AB→|AB→|-AC→|AC→|=kBC→(其中k是常数),则△ABC的形状一定是A.正三角形B.钝角三角形C.等腰三角形D.直角三角形√12345678910111213141516即cosθ12,所以θ∈π3,π.4.(2018·东北育才中学模拟)已知非零向量a,b满足|a|=2|b|,若函数f(x)=13x3+12|a|x2+a·bx+1在R上存在极值,则a和b夹角的取值范围为A.0,π6B.π3,πC.π3,2π3D.π3,π√12345678910111213141516解析f′(x)=x2+|a|x+a·b,设a和b的夹角为θ,因为f(x)有极值,所以Δ=|a|2-4a·b0,即Δ=|a|2-4|a|·|b|·cosθ0,则|AC|=4,∴由中位线的性质,有p=12|AC|=2,解析如图所示,由AF→=FB→,得F为线段AB的中点,由BA→·BC→=48,得|BC|=43.5.过抛物线y2=2px(p0)的焦点F的直线l与抛物线在第一象限的交点为A,与抛物线的准线的交点为B,点A在抛物线的准线上的射影为C,若则抛物线的方程为A.y2=8xB.y2=4xC.y2=16xD.y2=√12345678910111213141516AF→=FB→,BA→·BC→=48,42x∵|AF|=|AC|,∴∠ABC=30°,故抛物线的方程为y2=4x.故选B.6.(2018·南昌测试)在梯形ABCD中,AB∥CD,CD=1,AB=BC=2,∠BCD=120°,动点P和Q分别在线段BC和CD上,且BP→=λBC→,DQ→=18λDC→,则AP→·BQ→的最大值为A.-2B.-32C.34D.98√123456789101112131415167.在菱形ABCD中,若AC=4,则CA→·AB→=______.解析设∠CAB=
本文标题:(鲁京津琼专用)2020版高考数学大一轮复习 第五章 平面向量与复数 5.4 平面向量的综合应用课件
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