（鲁京津琼专用）2020版高考数学大一轮复习 第十二章 概率、随机变量及其分布 12.3 离散型随机

§12.3离散型随机变量的分布列及均值、方差第十二章概率、随机变量及其分布ZUIXINKAOGANG最新考纲1.在对具体问题的分析中，理解取有限值的离散型随机变量及其分布列的概念，认识分布列对于刻画随机现象的重要性.2.通过实例(如彩票抽奖)，理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用.3.通过实例，理解取有限值的离散型随机变量的均值、方差的概念.能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题.NEIRONGSUOYIN内容索引基础知识自主学习题型分类深度剖析课时作业1基础知识自主学习PARTONE(1)随着试验结果变化而___________叫做随机变量.所有取值可以__________的随机变量叫做离散型随机变量.(2)一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，则称表为离散型随机变量X的___________，简称为X的分布列，具有如下性质：1.离散型随机变量的分布列知识梳理ZHISHISHULIXx1x2…xi…xnPp1p2…pi…Pn变化的变量一一列出概率分布列②____________.离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的_________.2.两点分布如果随机变量X的分布列为其中0p1，则称离散型随机变量X服从_________.其中p＝P(X＝1)称为成功概率.①___________________；pi≥0，i＝1,2，…，ni＝1npi＝1概率之和X01P1－pp两点分布3.离散型随机变量的均值与方差一般地，若离散型随机变量X的分布列为(1)均值称E(X)＝____________________________为随机变量X的均值或_________.它反映了离散型随机变量取值的__________.Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pnx1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn数学期望平均水平(2)方差称D(X)＝_______________为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值E(X)的____________，并称其算术平方根为随机变量X的________.∑ni＝1(xi－E(X))2pi平均偏离程度标准差DX4.均值与方差的性质(1)E(aX＋b)＝_________.(2)D(aX＋b)＝_______.(a，b为常数)aE(X)＋ba2D(X)5.超几何分布一般地，设有N件产品，其中有M(M≤N)件次品.从中任取n(n≤N)件产品，用X表示取出的n件产品中次品的件数，那么其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*.如果一个随机变量X的分布列具有上表的形式，则称随机变量X服从超几何分布.CkMCn－kN－MCnNX01…mP…C0MCn－0N－MCnNC1MCn－1N－MCnNCmMCn－mN－MCnNP(X＝k)＝_________(k＝0,1,2，…，m)，即1.离散型随机变量X的每一个可能取值为实数，其实质代表的是什么？提示代表的是“事件”，即事件是用一个反映结果的实数表示的.【概念方法微思考】2.如何判断所求离散型随机变量的分布列是否正确？提示可用pi≥0，i＝1,2，…，n及p1＋p2＋…＋pn＝1检验.3.随机变量的均值、方差与样本均值、方差的关系是怎样的？提示随机变量的均值、方差是一个常数，样本均值、方差是一个随机变量，随观测次数的增加或样本容量的增加，样本的均值、方差趋于随机变量的均值与方差.题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)抛掷均匀硬币一次，出现正面的次数是随机变量.()(2)离散型随机变量的概率分布列描述了由这个随机变量所刻画的随机现象.()(3)从4名男演员和3名女演员中选出4名，其中女演员的人数X服从超几何分布.()(4)离散型随机变量的分布列中，随机变量取各个值的概率之和可以小于1.()×基础自测JICHUZICE123456√√√(5)随机变量的均值是常数，样本的平均数是随机变量，它不确定.()(6)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离变量的平均程度越小.()123456√√题组二教材改编1234562.设随机变量X的分布列如下：则p为X12345Pp112161316A.16B.13C.14D.112√解析由分布列的性质知，112＋16＋13＋16＋p＝1，∴p＝1－34＝14.1234563.已知X的分布列为设Y＝2X＋3，则E(Y)的值为X－101P121316A.73B.4C.－1D.1√解析E(X)＝－12＋16＝－13，E(Y)＝E(2X＋3)＝2E(X)＋3＝－23＋3＝73.4.有一批产品共12件，其中次品3件，每次从中任取一件，在取到合格品之前取出的次品数X的所有可能取值是_______.解析因为次品共有3件，所以在取到合格品之前取出的次品数X的可能取值为0,1,2,3.1234560,1,2,3题组三易错自纠5.袋中有3个白球、5个黑球，从中任取2个，可以作为随机变量的是A.至少取到1个白球B.至多取到1个白球C.取到白球的个数D.取到的球的个数123456√解析选项A，B表述的都是随机事件；选项D是确定的值2，并不随机；选项C是随机变量，可能取值为0,1,2.1234566.一盒中有12个乒乓球，其中9个新的、3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X是一个随机变量，则P(X＝4)的值为____.27220解析由题意知取出的3个球必为2个旧球、1个新球，故P(X＝4)＝C23C19C312＝27220.2题型分类深度剖析PARTTWO题型一分布列的求法例1设某人有5发子弹，当他向某一目标射击时，每发子弹命中目标的概率为.若他连续两发命中或连续两发不中则停止射击，否则将子弹打完.(1)求他前两发子弹只命中一发的概率；师生共研23(2)求他所耗用的子弹数X的分布列.解X的所有可能值为2,3,4,5.P(X＝2)＝P(A1A2)＋P(A1A2)＝23×23＋13×13＝59，P(X＝3)＝P(A1A2A3)＋P(A1A2A3)＝23×132＋13×232＝29，P(X＝4)＝P(A1A2A3A4)＋P(A1A2A3A4)＝233×13＋133×23＝1081，P(X＝5)＝P(A1A2A3A4)＋P(A1A2A3A4)＝232×132＋132×232＝881.故X的分布列为X2345P59291081881求离散型随机变量X的分布列的步骤(1)理解X的意义，写出X可能取的全部值；(2)求X取每个值的概率；(3)写出X的分布列.求离散型随机变量的分布列的关键是求随机变量所取值对应的概率，在求解时，要注意应用计数原理、古典概型等知识.思维升华跟踪训练1已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束.(1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；则P(A)＝A12A13A25＝310.解记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A，(2)已知每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位：元)，求X的分布列.解X的可能取值为200,300,400.故X的分布列为P(X＝200)＝A22A25＝110，P(X＝300)＝A33＋C12C13A22A35＝310，P(X＝400)＝1－P(X＝200)－P(X＝300)＝1－110－310＝35.X200300400P11031035题型二均值与方差例2某投资公司在2019年年初准备将1000万元投资到“低碳”项目上，现有两个项目供选择：项目一：新能源汽车.据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利30%，也可能亏损15%，且这两种情况发生的概率分别为和；项目二：通信设备.据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利50%，可能损失30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为，和.针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由.师生共研79293513115离散型随机变量的均值与方差的常见类型及解题策略(1)求离散型随机变量的均值与方差.可依题设条件求出离散型随机变量的分布列，然后利用均值、方差公式直接求解.(2)由已知均值或方差求参数值.可依据条件利用均值、方差公式得出含有参数的方程(组)，解方程(组)即可求出参数值.(3)由已知条件，作出对两种方案的判断.可依据均值、方差的意义，对实际问题作出判断.思维升华跟踪训练2为迎接2022年北京冬奥会，推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销活动.该滑雪场的收费标准是：滑雪时间不超过1小时免费，超过1小时的部分每小时收费标准为40元(不足1小时的部分按1小时计算).有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过1小时离开的概率分别为，；1小时以上且不超过2小时离开的概率分别为，；两人滑雪时间都不会超过3小时.(1)求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率；14161223(2)设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列与均值E(ξ)，方差D(ξ).题型三超几何分布师生共研例3(2017·山东)在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用.现有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示.(1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率；则P(M)＝C48C510＝518.解记接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的事件为M，(2)用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的分布列与均值E(X).解由题意知X可取的值为0,1,2,3,4，则P(X＝0)＝C56C510＝142，P(X＝1)＝C46C14C510＝521，P(X＝2)＝C36C24C510＝1021，P(X＝3)＝C26C34C510＝521，P(X＝4)＝C16C44C510＝142.因此X的分布列为所以X的均值E(X)＝0×P(X＝0)＋1×P(X＝1)＋2×P(X＝2)＋3×P(X＝3)＋4×P(X＝4)X01234P1425211021521142＝0＋1×521＋2×1021＋3×521＋4×142＝2.(1)超几何分布的两个特点①超几何分布是不放回抽样问题；②随机变量为抽到的某类个体的个数.(2)超几何分布的应用条件①两类不同的物品(或人、事)；②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体.思维升华跟踪训练3PM2.5是指悬浮在空气中的空气动力学当量直径小于或等于2.5微米的可入肺颗粒物.根据现行国家标准GB3095－2012，PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米～75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标.从某自然保护区2018年全年每天的PM2.5监测数据中随机地抽取10天的数据作为样本，监测值频数如下表所示：PM2.5日均值(微克/立方米)[25,35)[35,45)[45,55)[55,65)[65,75)[75,85]频数311113解记“从这10天的PM2.5日均值监测数据中，随机抽出3天，恰有一天空气质量达到一级”为事件A，则P(A)＝C13C27C310＝2140.(1)从这10天的PM2.5日均值监测数据中，随机抽出3天，求恰有一天空气质量达到一级的概率；(2)从这10天的数据中任