（鲁京津琼专用）2020版高考数学大一轮复习 第三章 导数及其应用 微专题二 导数中的函数构造问题课

微专题二导数中的函数构造问题第三章导数及其应用[解题技法]函数与方程思想、转化与化归思想是高中数学思想中比较重要的两大思想，而构造函数的解题思路恰好是这两种思想的良好体现.一、利用f(x)进行抽象函数构造(一)利用f(x)与x构造1.常用构造形式有xf(x)，fxx，这类形式是对u·v，uv型函数导数计算的推广及应用.我们对u·v，uv的导函数观察可得知，u·v型导函数中体现的是“＋”法，uv型导函数中体现的是“－”法，由此，我们可以猜测，当导函数形式出现的是“＋”法形式时，优先考虑构造u·v型，当导函数形式出现的是“－”法形式时，优先考虑构造uv.例1设f(x)是定义在R上的偶函数，当x0时，f(x)＋xf′(x)0，且f(－4)＝0，则不等式xf(x)0的解集为__________________.(－∞，－4)∪(0,4)思路点拨出现“＋”形式，优先构造F(x)＝xf(x)，然后利用函数的单调性、奇偶性和数形结合求解即可.例2设f(x)是定义在R上的偶函数，且f(1)＝0，当x0时，有xf′(x)－f(x)0恒成立，则不等式f(x)0的解集为________________________.(－∞，－1)∪(1，＋∞)思路点拨出现“－”形式，优先构造F(x)＝，然后利用函数的单调性、奇偶性和数形结合求解即可.fxx2.xf(x)，是比较简单常见的f(x)与x之间的函数关系式，如果碰见复杂的，不易想的我们该如何处理，由此我们可以思考形如此类函数的一般形式.F(x)＝xnf(x)，F′(x)＝nxn－1f(x)＋xnf′(x)＝xn－1[nf(x)＋xf′(x)]；fxxF(x)＝fxxn，F′(x)＝f′x·xn－nxn－1fxx2n＝xf′x－nfxxn＋1；(2)出现xf′(x)－nf(x)形式，构造函数F(x)＝我们根据得出的结论去解决例3.fxxn.结论：(1)出现nf(x)＋xf′(x)形式，构造函数F(x)＝xnf(x)；例3已知偶函数f(x)(x≠0)的导函数为f′(x)，且满足f(－1)＝0，当x0时，2f(x)xf′(x)，则使得f(x)0成立的x的取值范围是_______________.(－1,0)∪(0,1)思路点拨满足“xf′(x)－nf(x)”形式，优先构造F(x)＝然后利用函数的单调性、奇偶性和数形结合求解即可.fxxn，(二)利用f(x)与ex构造1.f(x)与ex构造，一方面是对u·v，uv函数形式的考察，另外一方面是对(ex)′＝ex的考察.所以对于f(x)±f′(x)类型，我们可以等同xf(x)，fxx的类型处理，“＋”法优先考虑构造F(x)＝f(x)·ex，“－”法优先考虑构造F(x)＝fxex.例4已知f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的函数，导函数f′(x)满足f′(x)f(x)对于x∈R恒成立，则A.f(2)e2f(0)，f(2019)e2019f(0)B.f(2)e2f(0)，f(2019)e2019f(0)C.f(2)e2f(0)，f(2019)e2019f(0)D.f(2)e2f(0)，f(2019)e2019f(0)思路点拨满足“f′(x)－f(x)0”形式，优先构造F(x)＝然后利用函数的单调性和数形结合求解即可.注意选项的转化.fxex，√2.同样exf(x)，是比较简单常见的f(x)与ex之间的函数关系式，如果碰见复杂的，我们是否也能找出此类函数的一般形式呢？F(x)＝enxf(x)，F′(x)＝n·enxf(x)＋enxf′(x)＝enx[f′(x)＋nf(x)]；fxexF(x)＝fxenx，F′(x)＝f′xenx－nenxfxe2nx＝f′x－nfxenx；结论：(1)出现f′(x)＋nf(x)形式，构造函数F(x)＝enxf(x)；(2)出现f′(x)－nf(x)形式，构造函数F(x)＝我们根据得出的结论去解决例5，例6.fxenx.例5若定义在R上的函数f(x)满足f′(x)－2f(x)0，f(0)＝1，则不等式f(x)e2x的解集为________.{x|x0}思路点拨满足“f′(x)－2f(x)0”形式，优先构造F(x)＝然后利用函数的单调性和数形结合求解即可.注意选项的转化.fxe2x，例6已知函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，若f(x)满足：(x－1)[f′(x)－f(x)]0，f(2－x)＝f(x)·e2－2x，则下列判断一定正确的是A.f(1)f(0)B.f(2)e2f(0)C.f(3)e3f(0)D.f(4)e4f(0)思路点拨满足“f′(x)－f(x)”形式，优先构造F(x)＝然后利用函数的单调性和数形结合求解即可.注意选项的转化.fxex，√(三)利用f(x)与sinx，cosx构造sinx，cosx因为导函数存在一定的特殊性，所以也是重点考察的范畴，我们一起看看常考的几种形式.F(x)＝f(x)sinx，F′(x)＝f′(x)sinx＋f(x)cosx；F(x)＝fxsinx，F′(x)＝f′xsinx－fxcosxsin2x；F(x)＝f(x)cosx，F′(x)＝f′(x)cosx－f(x)sinx；F(x)＝fxcosx，F′(x)＝f′xcosx＋fxsinxcos2x.根据得出的关系式，我们来看一下例7.例7已知函数y＝f(x)对于任意的x∈满足f′(x)cosx＋f(x)sinx0(其中f′(x)是函数f(x)的导函数)，则下列不等式不成立的是－π2，π2A.2fπ3fπ4B.2f－π3f－π4C.f(0)2fπ4D.f(0)2fπ3思路点拨满足“f′(x)cosx＋f(x)sinx0”形式，优先构造F(x)＝然后利用函数的单调性和数形结合求解即可.注意选项的转化.fxcosx，√二、具体函数关系式构造这类题型需要根据题意构造具体的函数关系式，通过具体的关系式去解决不等式及求值问题.例8已知α，β∈且αsinα－βsinβ0，则下列结论正确的是A.αβB.α2β2C.αβD.α＋β0－π2，π2思路点拨构造函数f(x)＝xsinx，然后利用函数的单调性和数形结合求解即可.√解析构造f(x)＝xsinx形式，则f′(x)＝sinx＋xcosx，x∈0，π2时导函数f′(x)≥0，f(x)单调递增；x∈－π2，0时导函数f′(x)0，f(x)单调递减.又∵f(x)为偶函数，根据单调性和图象可知选B.例9已知实数a，b，c满足其中e是自然对数的底数，那么(a－c)2＋(b－d)2的最小值为A.8B.10C.12D.18a－2eab＝1－cd－1＝1，思路点拨把(a－c)2＋(b－d)2看成两点距离的平方，然后利用数形结合以及点到直线的距离即可.√