（柳州专版）2020版中考数学夺分复习 第一篇 考点过关 第五单元 四边形 课时22 特殊的平行四边

第五单元四边形课时22特殊的平行四边形关键词矩形、菱形、正方形的性质矩形、菱形、正方形的判定高频考向探究考题回归教材基础知识巩固考点聚焦考点一矩形定义有一个角是①的平行四边形叫做矩形性质(1)矩形具有平行四边形的所有性质(2)矩形的四个角都是②,对角线互相平分并且③(3)矩形是轴对称图形,它有两条对称轴;又是中心对称图形,它的对称中心就是④判定(1)定义法(2)有三个角是直角的四边形是矩形(3)⑤的平行四边形是矩形直角直角相等对角线的交点对角线相等高频考向探究考题回归教材基础知识巩固（续表）有关计算(1)周长C=2(a+b)(其中a为长,b为宽);(2)面积S=ab(其中a为长,b为宽)高频考向探究考题回归教材基础知识巩固考点二菱形定义有一组⑥的平行四边形叫做菱形性质(1)菱形具有平行四边形的所有性质(2)菱形的四条边⑦,对角线互相⑧,并且每条对角线平分一组对角(3)菱形既是轴对称图形也是中心对称图形,对称轴是两条对角线所在的直线,对称中心是⑨(4)菱形的面积等于对角线乘积的⑩邻边相等相等垂直平分对角线的交点一半高频考向探究考题回归教材基础知识巩固（续表）判定(1)定义法(2)四条边⑪的四边形是菱形(3)对角线⑫的平行四边形是菱形有关计算(1)周长C=4a(其中a为边长);(2)面积S=ah=对角线乘积的一半(其中a为边长,h为此边上的高)相等互相垂直高频考向探究考题回归教材基础知识巩固考点三正方形定义四条边都相等,四个角都是直角的四边形叫做正方形性质(1)正方形四条边⑬;(2)正方形四个角都是⑭;(3)正方形的对角线相等且互相⑮,每条对角线平分一组对角;(4)正方形既是轴对称图形又是中心对称图形,对称轴有四条,对称中心是对角线的交点判定(1)有一组邻边相等的⑯是正方形;(2)有一个角是直角的⑰是正方形;(3)对角线相等的⑱是正方形;(4)对角线⑲的矩形是正方形相等直角垂直平分矩形菱形菱形互相垂直高频考向探究考题回归教材基础知识巩固考点四中点四边形顺次连接四边形各边中点所得的四边形,我们称之为中点四边形.中点四边形形状的判定依据主要是三角形的中位线定理.常见结论如下:原四边形的形状中点四边形的形状任意四边形⑳_____________平行四边形平行四边形矩形菱形菱形㉑__________正方形㉒__________平行四边形矩形正方形高频考向探究考题回归教材基础知识巩固对点演练题组一必会题1.[2019·株洲]对于任意的矩形,下列说法一定正确的是()A.对角线垂直且相等B.四边都互相垂直C.四个角都相等D.是轴对称图形,但不是中心对称图形C高频考向探究考题回归教材基础知识巩固2.[2019·攀枝花]下列说法错误的是()A.平行四边形的对边相等B.对角线相等的四边形是矩形C.对角线互相垂直的平行四边形是菱形D.正方形既是轴对称图形又是中心对称图形B高频考向探究考题回归教材基础知识巩固3.如图22-1,要使平行四边形ABCD成为菱形,需要添加的条件是()A.AC=BDB.AD=BCC.AB=CDD.AB=BCD图22-1高频考向探究考题回归教材基础知识巩固4.菱形的两条对角线长分别为6cm和8cm,则此菱形的面积为()A.14cm2B.20cm2C.24cm2D.48cm2C高频考向探究考题回归教材基础知识巩固5.已知正方形的边长为4cm,则其对角线长是()A.8cmB.16cmC.32cmD.42cmD高频考向探究考题回归教材基础知识巩固6.如图22-2,矩形ABCD的长和宽分别为6和4,E,F,G,H依次是矩形ABCD各边的中点,则四边形EFGH的周长等于()A.20B.10C.413D.213C图22-2高频考向探究考题回归教材基础知识巩固7.[2019·徐州]如图22-3,矩形ABCD中,AC,BD交于点O,M,N分别为BC,OC的中点.若MN=4,则AC的长为.16图22-3高频考向探究考题回归教材基础知识巩固8.求证:对角线相等的平行四边形是矩形.(要求:画出图形,写出已知和求证,并给予证明)解:已知:如图,在▱ABCD中,AC=BD.求证:▱ABCD是矩形.证明:方法一:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=CD,AB∥CD.∵AC=BD,BC=BC,∴△ABC≌△DCB.∴∠ABC=∠DCB.∵AB∥CD,∴∠ABC+∠DCB=180°.∴∠ABC=12×180°=90°.∴▱ABCD是矩形.高频考向探究考题回归教材基础知识巩固方法二:如图,设AC,BD交于点O.∵四边形ABCD是平行四边形,∴OA=OC,OB=OD.∵AC=BD,∴OA=OC=OB.∴∠1=∠3,∠2=∠4.∴∠ABC=∠1+∠2=12×180°=90°.∴▱ABCD是矩形.高频考向探究考题回归教材基础知识巩固【失分点】在原四边形的基础上增加条件判定正方形知识混乱;对各类四边形各自的中点四边形的判定出现错误.题组二易错题9.下列命题,其中是真命题的为()A.对角线相等的平行四边形是正方形B.对角线互相垂直的菱形是正方形C.对角线相等的矩形是正方形D.一组邻边相等的矩形是正方形D高频考向探究考题回归教材基础知识巩固10.[2018·湘潭]如图22-4,已知点E,F,G,H分别是菱形ABCD各边的中点,则四边形EFGH是()A.正方形B.矩形C.菱形D.平行四边形B图22-4高频考向探究基础知识巩固考题回归教材考向一特殊平行四边形的性质和判定例1[2019·柳州柳北第五中学模拟]已知:如图22-5,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,DE∥AC,AE∥BD.(1)求证:四边形AODE是矩形;(2)若AB=4,∠BCD=120°,求四边形AODE的面积.解:(1)证明:∵DE∥AC,AE∥BD,∴四边形AODE是平行四边形.∵在菱形ABCD中,AC⊥BD,∴平行四边形AODE是矩形.图22-5高频考向探究基础知识巩固考题回归教材例1[2019·柳州柳北第五中学模拟]已知:如图22-5,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,DE∥AC,AE∥BD.(2)若AB=4,∠BCD=120°,求四边形AODE的面积.图22-5(2)∵∠BCD=120°,AB∥CD,∴∠ABC=180°-120°=60°.∵AB=BC,∴△ABC是等边三角形,∴OA=12×4=2.∵在菱形ABCD中,AC⊥BD,∴在Rt△AOB中,由勾股定理得OB=23.∵四边形ABCD是菱形,∴OD=OB=23,∴四边形AODE的面积=OA·OD=43.高频考向探究基础知识巩固考题回归教材精练1求证:对角线互相垂直的平行四边形是菱形.已知:如图22-6,四边形ABCD是平行四边形,AC⊥BD,求证:四边形ABCD是菱形.图22-6证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AO=OC,∵BD⊥AC,∴DA=DC(线段的垂直平分线的性质),∴四边形ABCD是菱形(邻边相等的平行四边形是菱形).高频考向探究基础知识巩固考题回归教材精练2[2018·柳州]如图22-7,四边形ABCD是菱形,对角线AC,BD相交于点O,且AB=2.(1)求菱形ABCD的周长;(2)若AC=2,求BD的长.图22-7解:(1)∵四边形ABCD是菱形,∴AB=BC=CD=AD=2,∴菱形ABCD的周长为8.(2)∵四边形ABCD是菱形,∴OA=OC=12AC=1,OB=OD,且∠AOB=90°.在Rt△AOB中,OB=𝐴𝐵2-𝑂𝐴2=22-12=3.∴BD=2OB=23.高频考向探究基础知识巩固考题回归教材精练3[2017·柳州]如图22-8,在正方形ABCD中,E,F分别为AD,CD边上的点,BE,AF交于点O,且AE=DF.(1)求证:△ABE≌△DAF;(2)若BO=4,OE=2,求正方形ABCD的面积.解:(1)证明:∵四边形ABCD是正方形,∴AB=AD,∠BAE=∠D=90°.又∵AE=DF,∴△ABE≌△DAF.图22-8高频考向探究基础知识巩固考题回归教材精练3[2017·柳州]如图22-8,在正方形ABCD中,E,F分别为AD,CD边上的点,BE,AF交于点O,且AE=DF.(2)若BO=4,OE=2,求正方形ABCD的面积.(2)∵△ABE≌△DAF,∴∠FAD=∠ABE.又∵∠FAD+∠BAO=90°,∴∠ABO+∠BAO=90°.∴∠AOB=∠EAB=90°.∴△ABO∽△EBA.∴AB∶BE=BO∶AB,即AB∶6=4∶AB.∴AB2=24.∴正方形ABCD的面积是24.图22-8高频考向探究基础知识巩固考题回归教材考向二最短路线问题例2如图22-9,在周长为12的菱形ABCD中,AE=1,AF=2.若P为对角线BD上一动点,则EP+FP的最小值为()A.1B.2C.3D.4图22-9C高频考向探究基础知识巩固考题回归教材[解析]如图,作点F关于BD的对称点F',连接EF',交BD于点P.∴EP+FP=EP+F'P.由两点之间线段最短可知,当E,P,F'在一条直线上时,EP+FP的值最小,此时EP+FP=EP+F'P=EF'.∵四边形ABCD为菱形,周长为12,∴AB=BC=CD=DA=3,AB∥CD,∵AF=2,AE=1,∴DF'=DF=AE=1.∴四边形AEF'D是平行四边形.∴EF'=AD=3.∴EP+FP的最小值为3.故选C.高频考向探究基础知识巩固考题回归教材精练1如图22-10,在矩形ABCD中,AB=10,BC=5,点E,F,G,H分别在矩形ABCD各边上,且AE=CG,BF=DH,则四边形EFGH周长的最小值为()A.55B.105C.103D.153图22-10B高频考向探究基础知识巩固考题回归教材[解析]①根据平行四边形对边相等可知,当GH+GF最小时,四边形EFGH的周长最小;②作点F关于CD的对称点F',求GH+GF'的最小值;③当H,G,F'三点共线时,GH+GF'最小.作点F关于CD的对称点F',易证四边形EFGH为平行四边形,△AEH≌△CGF,∴AH=CF=CF'.当H,G,F'三点共线时,GH+GF'最小,即GH+GF最小.过点F'作F'M⊥AD,交AD延长线于点M.则HM=5,F'M=10,根据勾股定理可求得HF'=55.所以GH+GF的最小值为55,即四边形EFGH周长的最小值为105.高频考向探究基础知识巩固考题回归教材精练2如图22-11,已知正方形ABCD中,点P为对角线AC上一点.(1)如图①,Q为CD边上一点,且∠BPQ=90°,求证:PB=PQ;(2)如图②,若正方形ABCD的边长为2,E为BC的中点,求PB+PE的最小值.图22-11高频考向探究基础知识巩固考题回归教材解:(1)证明:如图①,连接PD.∵四边形ABCD是正方形,∴∠DAC=∠BAC.在△APB和△APD中,𝐴𝐵=𝐴𝐷,∠𝐵𝐴𝐶=∠𝐷𝐴𝐶,𝐴𝑃=𝐴𝑃,∴△APB≌△APD.∴PD=PB,∠ABP=∠ADP.∵∠ABC=∠ADC=90°,∴∠PBC=∠PDC.∵∠BPQ=∠BCD=90°,∴∠PBC+∠PQC=180°.∵∠PQD+∠PQC=180°,∴∠PQD=∠PBC.∴∠PDC=∠PQD.∴PD=PQ.∴PQ=PB.高频考向探究基础知识巩固考题回归教材精练2如图22-11,已知正方形ABCD中,点P为对角线AC上一点.(2)如图②,若正方形ABCD的边长为2,E为BC的中点,求PB+PE的最小值.图22-11高频考向探究基础知识巩固考题回归教材(2)如图②,连接ED,交AC于点P,连接BP,则DE的长度即为PB+PE的最小值.同(1)可证BP=PD,∴PB+PE=PD+PE=DE.∵EC=12BC=1,∠BCD=90°,∴DE=𝐶𝐷2+𝐸𝐶2=22+12=5.∴PB+PE的最小值为5.高频考向探究基础知识巩固考题回归教材考向三特殊平行四边形的相关计算例3[2019·泰安]如图22-12,在矩形ABCD中,AB=36,BC=12,E为AD中点,F为AB上一点,将△AEF沿EF折叠后,点A恰好落到CF上的点