（课标专用）天津市2020高考数学二轮复习 专题四 数列 4.2 数列的通项与求和课件

专题四4.2数列的通项与求和高频考点•探究突破核心归纳•预测演练4.2数列的通项与求和专题四4.2数列的通项与求和高频考点•探究突破核心归纳•预测演练高频考点•探究突破-2-突破点一突破点二突破点三由数列的递推关系求通项【例1】根据下列条件,确定数列{an}的通项公式:(1)数列{an}满足a1+3a2+…+(2n-1)an=2n;(2)a1=2,an+1=an+ln1+1𝑛;(3)a1=1,ax+1=3an+2.分析推理(1)根据式子结构特征,把(2n-1)an看作一个整体,则该问题就看作已知和Sn求通项的问题,根据项与和的关系式求解即可;(2)根据递推关系以及对数运算,可以利用累加法求其通项;(3)因为递推关系中两项的系数不同,所以应该通过变形构造等比数列求解通项.专题四4.2数列的通项与求和高频考点•探究突破核心归纳•预测演练高频考点•探究突破-3-突破点一突破点二突破点三解:(1)∵a1+3a2+…+(2n-1)an=2n,故当n≥2时,a1+3a2+…+(2n-3)𝑎𝑛−1=2(n-1),两式相减得(2n-1)an=2,∴an=22𝑛-1(n≥2).又由题设可得a1=2,满足上式,从而{an}的通项公式为an=22𝑛-1(n∈N*).专题四4.2数列的通项与求和高频考点•探究突破核心归纳•预测演练高频考点•探究突破-4-突破点一突破点二突破点三(2)∵an+1=an+ln1+1𝑛,∴an-an-1=ln1+1𝑛-1=ln𝑛𝑛-1(n≥2),∴an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=ln𝑛𝑛-1+ln𝑛-1𝑛-2+…+ln32+ln2+2=2+ln𝑛𝑛-1·𝑛-1𝑛-2·…·32·2=2+lnn(n≥2).又a1=2适合上式,故an=2+lnn(n∈N*).专题四4.2数列的通项与求和高频考点•探究突破核心归纳•预测演练高频考点•探究突破-5-突破点一突破点二突破点三(3)方法一(直接变形)由an+1=3an+2,得an+1+1=3(an+1).∵a1=1,知a1+1=2,an+1≠0,∴𝑎𝑛+1+1𝑎𝑛+1=3.∴数列{an+1}是以2为首项,以3为公比的等比数列.则an+1=2·3n-1,故an=2·3n-1-1.方法二(待定系数法)由已知,设an+1+t=3(an+t),则整理得an+1=3an+2t.由已知可得2t=2,解得t=1.∴an+1+1=3(an+1).下同方法一.专题四4.2数列的通项与求和高频考点•探究突破核心归纳•预测演练高频考点•探究突破-6-突破点一突破点二突破点三【例1】(3)中,若已知an+1=3an+2n-1呢?解法一(直接变形)由an+1=3an+2n-1,得an+1+(n+1)=3(an+n).令bn=an+n,则有bn+1=3bn.又b1=a1+1=12+1=32,所以数列𝑏𝑛是一个首项为b1=32,公比为q=3的等比数列,所以bn=b1qn-1=32×3n-1=12×3n.即an+n=12×3n,所以an=12×3n-n.专题四4.2数列的通项与求和高频考点•探究突破核心归纳•预测演练高频考点•探究突破-7-突破点一突破点二突破点三解法二(待定系数法)因为an+1与an的系数不相等,故可构造等比数列.设an+1+[k(n+1)+t]=3(an+kn+t),整理得an+1=3an+2kn+2t-k.由已知an+1=3an+2n-1,所以2𝑘=2,2𝑡-𝑘=-1,解得𝑘=1,𝑡=0.所以an+1+(n+1)=3(an+n).下同解法一.专题四4.2数列的通项与求和高频考点•探究突破核心归纳•预测演练高频考点•探究突破-8-突破点一突破点二突破点三规律方法1.由递推关系求数列的通项的基本思想是转化,常用的方法:(1)an+1-an=f(n)型,采用迭加法;(2)𝑎𝑛+1𝑎𝑛=f(n)型,采用迭乘法;(3)an+1=pan+q(p≠0,p≠1)型,转化为等比数列解决;(4)an+1=(an≠0,p,q为非零常数)型,可用倒数法转化为等差数列解决.2.已知Sn求an的三个步骤:(1)先利用a1=S1求出a1;(2)用n-1替换Sn中的n得到一个新的关系,利用an=Sn-(n≥2)便可求出当n≥2时an的表达式;(3)注意检验n=1时的表达式是否可以与n≥2的表达式合并.𝑝𝑎𝑛𝑝+𝑞𝑎𝑛𝑆𝑛-1专题四4.2数列的通项与求和高频考点•探究突破核心归纳•预测演练高频考点•探究突破-9-突破点一突破点二突破点三即时巩固1根据下列条件,确定数列{an}的通项公式:(1)a1=1,𝑎𝑛+1=2𝑎𝑛2+𝑎𝑛;(2)Sn=23an+13;(3)Sn=2an+n.解:(1)∵a1=1,an+1=2𝑎𝑛2+𝑎𝑛,∴1𝑎𝑛+1=1𝑎𝑛+12.∴数列1𝑎𝑛是等差数列,其首项为1,公差为12,∴1𝑎𝑛=1+𝑛-12,∴an=2𝑛+1.专题四4.2数列的通项与求和高频考点•探究突破核心归纳•预测演练高频考点•探究突破-10-突破点一突破点二突破点三(2)∵Sn=23an+13,①∴当n≥2时,Sn-1=23an-1+13.②由①-②,得an=23an-23an-1,即𝑎𝑛𝑎𝑛-1=-2.∵a1=S1=23a1+13,∴a1=1.∴{an}是以1为首项,-2为公比的等比数列,an=(-2)𝑛-1.(3)Sn=2an+n,当n=1时,a1=S1=2a1+1,即a1=-1;当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(2an+n)-[2an-1+(n-1)]=2an-2an-1+1,即an=2an-1-1,∴an-1=2(an-1-1),即𝑎𝑛-1𝑎𝑛-1-1=2,∴数列{an-1}为首项a1-1=-2,公比q=2的等比数列,∴an-1=-2×2n-1,即an=1-2n.专题四4.2数列的通项与求和高频考点•探究突破核心归纳•预测演练高频考点•探究突破-11-突破点一突破点二突破点三裂项求和法【例2】Sn为数列{an}的前n项和.已知an0,𝑎𝑛2+2an=4Sn+3.(1)求{an}的通项公式;(2)设bn=1𝑎𝑛𝑎𝑛+1,求数列{bn}的前n项和.分析推理(1)首先令n=1,求出首项,然后根据Sn与an的关系,将已知转化为数列的项之间的关系,化简后判断数列的性质,进而求其通项;(2)根据第(1)问所求,写出bn的表达式,然后将其裂成两项之差,利用裂项相消法求和.专题四4.2数列的通项与求和高频考点•探究突破核心归纳•预测演练高频考点•探究突破-12-突破点一突破点二突破点三解:(1)由𝑎𝑛2+2an=4Sn+3,可知𝑎𝑛+12+2an+1=4Sn+1+3.可得𝑎𝑛+12−𝑎𝑛2+2(an+1-an)=4an+1,即2(an+1+an)=𝑎𝑛+12−𝑎𝑛2=(an+1+an)(an+1-an).由于an0,可得an+1-an=2.又𝑎12+2a1=4a1+3,解得a1=-1(舍去)或a1=3.所以{an}是首项为3,公差为2的等差数列,通项公式为an=2n+1.(2)由an=2n+1可知bn=1𝑎𝑛𝑎𝑛+1=1(2𝑛+1)(2𝑛+3)=1212𝑛+1-12𝑛+3.设数列{bn}的前n项和为Tn,则Tn=b1+b2+…+bn=1213-15+15-17+…+12𝑛+1-12𝑛+3=𝑛3(2𝑛+3).专题四4.2数列的通项与求和高频考点•探究突破核心归纳•预测演练高频考点•探究突破-13-突破点一突破点二突破点三规律方法裂项相消法的基本思想就是把通项an分拆成an=bn+k-bn(k∈N*)的形式,从而达到在求和时绝大多数项相消的目的,在解题时要善于根据这个基本思想变换数列{an}的通项公式,使之符合裂项相消的条件.专题四4.2数列的通项与求和高频考点•探究突破核心归纳•预测演练高频考点•探究突破-14-突破点一突破点二突破点三即时巩固2(2019湖南岳阳二模)已知数列{an},a1=3,且nan+1-an=nan,n∈N*.(1)求数列{an}的通项公式;(2)记Sn为数列{an}的前n项和,求数列的前n项和Tn.1𝑆𝑛解:(1)由nan+1-an=nan,得nan+1=(n+1)an,所以𝑎𝑛+1𝑎𝑛=𝑛+1𝑛.由累乘法,𝑎2𝑎1=21,𝑎3𝑎2=32,𝑎3𝑎3=43,…,𝑎𝑛𝑎𝑛-1=𝑛𝑛-1,得an=3n,所以数列{an}的通项公式为an=3n,n∈N*.专题四4.2数列的通项与求和高频考点•探究突破核心归纳•预测演练高频考点•探究突破-15-突破点一突破点二突破点三(2)由等差数列前n项和公式得,Sn=3𝑛(𝑛+1)2,则1𝑆𝑛=23𝑛(𝑛+1),故1𝑆𝑛=23𝑛(𝑛+1)=231𝑛−1𝑛+1,数列1𝑆𝑛的前n项和为Tn=231-12+12-13+…+1𝑛-1𝑛+1=231-1𝑛+1=23−23(𝑛+1)=2𝑛3𝑛+3.专题四4.2数列的通项与求和高频考点•探究突破核心归纳•预测演练高频考点•探究突破-16-突破点一突破点二突破点三错位相减法求和【例3】已知{an}为等差数列,前n项和为Sn(n∈N*),{bn}是首项为2的等比数列,且公比大于0,b2+b3=12,b3=a4-2a1,S11=11b4.(1)求{an}和{bn}的通项公式;(2)求数列{a2nb2n-1}的前n项和(n∈N*).分析推理(1)等比数列{bn}已知首项,故可直接利用已知“b2+b3=12”列出公比所满足的方程求解,即可得到其通项公式;然后代入已知列出方程组求出等差数列{an}的首项与公差,进而求其通项.(2)首先根据第(1)问写出数列{a2nb2n-1}的通项公式,根据等差、等比数列的性质可知,{a2n}为等差数列,{b2n-1}为等比数列,故应利用错位相减法求和.专题四4.2数列的通项与求和高频考点•探究突破核心归纳•预测演练高频考点•探究突破-17-突破点一突破点二突破点三解:(1)设等差数列{an}的公差为d,等比数列{bn}的公比为q.由已知b2+b3=12,得b1(q+q2)=12,而b1=2,所以q2+q-6=0.又因为q0,解得q=2.所以,bn=2n.由b3=a4-2a1,可得3d-a1=8.①由S11=11b4,可得a1+5d=16,②联立①②,解得a1=1,d=3,由此可得an=3n-2.所以,数列{an}的通项公式为an=3n-2,数列{bn}的通项公式为bn=2n.专题四4.2数列的通项与求和高频考点•探究突破核心归纳•预测演练高频考点•探究突破-18-突破点一突破点二突破点三(2)设数列{a2nb2n-1}的前n项和为Tn,由a2n=6n-2,b2n-1=2×4n-1,有a2nb2n-1=(3n-1)×4n,故Tn=2×4+5×42+8×43+…+(3n-1)×4n,4Tn=2×42+5×43+8×44+…+(3n-4)×4n+(3n-1)×4n+1,上述两式相减,得-3Tn=2×4+3×42+3×43+…+3×4n-(3n-1)×4n+1=12×(1-4𝑛)1-4-4-(3n-1)×4n+1=-(3n-2)×4n+1-8.得Tn=3𝑛-23×4n+1+83.所以,数列{a2nb2n-1}的前n项和为3𝑛-23×4n+1+83.专题四4.2数列的通项与求和高频考点•探究突破核心归纳•预测演练高频考点•探究突破-19-突破点一突破点二突破点三规律方法错位相减法适用于求数列{an·bn}的前n项和,其中{an}为等差数列,{bn}为等比数列;所谓“错位”,就是要找“同类项”相减.要注意的是相减后得到部分等比数列的和,此时一定要查清其项数.专题四4.2数列的通项与求和高频考点•探究突破核心归纳•预测演练高频考点•探究突破-20-突破点一突破点二突破点三即时巩固3(2019江西上饶二