（课标专用）天津市2020高考数学二轮复习 第一部分 四、转化与化归思想课件

第一部分四、转化与化归思想数学思想•聚焦诠释高频考点•探究突破核心归纳•预测演练四、转化与化归思想第一部分四、转化与化归思想数学思想•聚焦诠释高频考点•探究突破核心归纳•预测演练数学思想•聚焦诠释-2-高考命题聚焦素养思想诠释转化与化归思想在高考中占有十分重要的地位,数学问题的解决总离不开转化与化归,如未知向已知的转化、新知识向旧知识的转化、复杂问题向简单问题的转化、不同数学问题之间的互相转化、实际问题向数学问题的转化等.转化的具体解题方法都是化归的手段,将转化与化归的思想方法渗透到所有的数学解题过程中.第一部分四、转化与化归思想数学思想•聚焦诠释高频考点•探究突破核心归纳•预测演练数学思想•聚焦诠释-3-高考命题聚焦素养思想诠释1.转化与化归思想的含义转化与化归的思想方法,就是在研究和解决有关数学问题时,采用某种手段将问题通过变换使之转化,进而得到解决的一种方法.一般总是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题,将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题,将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题.第一部分四、转化与化归思想数学思想•聚焦诠释高频考点•探究突破核心归纳•预测演练数学思想•聚焦诠释-4-高考命题聚焦素养思想诠释2.转化与化归思想在解题中的应用(1)在三角函数和解三角形中,主要的转化方法有公式的“三用”(顺用、逆用、变形用)、角度的转化、函数的转化,以及通过正弦定理、余弦定理实现边角关系的相互转化等.(2)换元法是将一个复杂的或陌生的函数、方程、不等式转化为简单的或熟悉的函数、方程、不等式的一种重要的方法.(3)在解决平面向量与三角函数、平面几何、解析几何等知识的交汇题目时,常将平面向量语言与三角函数、平面几何、解析几何语言进行转化.第一部分四、转化与化归思想数学思想•聚焦诠释高频考点•探究突破核心归纳•预测演练数学思想•聚焦诠释-5-高考命题聚焦素养思想诠释(4)在解决数列问题时,常将一般数列转化为等差数列或等比数列求解.(5)在利用导数研究函数问题时,常将函数的单调性、极值(最值)、切线问题转化为其导函数f'(x)构成的方程、不等式问题求解.(6)在解决解析几何、立体几何问题时,常常在数与形之间进行转化.第一部分四、转化与化归思想数学思想•聚焦诠释高频考点•探究突破核心归纳•预测演练高频考点•探究突破-6-突破点一突破点二突破点三突破点四【例1】e416,e525,e636(其中e为自然常数)的大小关系是()A.e416e525e636B.e636e525e416C.e525e416e636D.e636e416e525分析推理首先分析三个数的共性,分母是4,5,6的平方,分子是e的幂,幂指数就是分母幂的底数,所以可以构造相应的函数,然后研究函数的单调性,最后比较这些数值的大小.A解析:由于e416=e442,e525=e552,e636=e662,故可构造函数f(x)=e𝑥𝑥2,于是f(4)=e416,f(5)=e525,f(6)=e636.而f'(x)=e𝑥𝑥2'=e𝑥·𝑥2-e𝑥·2𝑥𝑥4=e𝑥(𝑥2-2𝑥)𝑥4.令f'(x)0,得x0或x2,即函数f(x)在区间(2,+∞)内单调递增,因此有f(4)f(5)f(6),即e416e525e636.第一部分四、转化与化归思想数学思想•聚焦诠释高频考点•探究突破核心归纳•预测演练高频考点•探究突破-7-突破点一突破点二突破点三突破点四规律方法1.当问题难以入手时,应先对特殊情况或简单情形进行观察、分析,发现问题中特殊的数量或关系结构或部分元素,再推广到一般情形,以完成从特殊情形的研究到一般问题的解答的过渡,这就是特殊化的化归策略.2.数学题目有的具有一般性,有的具有特殊性,解题时,有时需要把一般问题化归为特殊问题,有时需要把特殊问题化归为一般问题.第一部分四、转化与化归思想数学思想•聚焦诠释高频考点•探究突破核心归纳•预测演练高频考点•探究突破-8-突破点一突破点二突破点三突破点四即时巩固1已知函数f(x)=(a-3)x-ax3在区间[-1,1]上的最小值为-3,则实数a的取值范围是()A.(-∞,-1]B.[12,+∞)C.[-1,12]D.-32,12D解析:当a=0时,函数f(x)=-3x,x∈[-1,1],显然满足条件,故排除选项A,B;当a=-32时,函数f(x)=32x3-92x,f'(x)=92x2-92=92(x2-1),当-1≤x≤1时,f'(x)≤0,所以f(x)在区间[-1,1]上单调递减,所以f(x)min=f(1)=32−92=-3,满足条件,故排除C.故选D.第一部分四、转化与化归思想数学思想•聚焦诠释高频考点•探究突破核心归纳•预测演练高频考点•探究突破-9-突破点一突破点二突破点三突破点四命题的等价转化【例2】(2019全国Ⅲ,理18)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,asin=bsinA.(1)求B.(2)若△ABC为锐角三角形,且c=1,求△ABC面积的取值范围.分析推理(1)首先利用三角形内角和定理及正弦定理将已知转化为角之间的关系,然后化简即可求得角B;(2)根据第(1)问和正弦定理表示出相应边,然后根据三角形面积公式表示出目标函数,再根据角的取值范围求解函数的值域即可.𝐴+𝐶2第一部分四、转化与化归思想数学思想•聚焦诠释高频考点•探究突破核心归纳•预测演练高频考点•探究突破-10-突破点一突破点二突破点三突破点四解:(1)由题设及正弦定理得sinAsin𝐴+𝐶2=sinBsinA.因为sinA≠0,所以sin𝐴+𝐶2=sinB.由A+B+C=180°,可得sin𝐴+𝐶2=cos𝐵2,故cos𝐵2=2sin𝐵2cos𝐵2.因为cos𝐵2≠0,故sin𝐵2=12,因此B=60°.(2)由题设及(1)知△ABC的面积S△ABC=34a.由正弦定理得a=𝑐sin𝐴sin𝐶=sin(120°-𝐶)sin𝐶=32tan𝐶+12.由于△ABC为锐角三角形,故0°A90°,0°C90°.由(1)知A+C=120°,所以30°C90°,故12a2,从而38S△ABC32.因此,△ABC面积的取值范围是38,32.第一部分四、转化与化归思想数学思想•聚焦诠释高频考点•探究突破核心归纳•预测演练高频考点•探究突破-11-突破点一突破点二突破点三突破点四规律方法在应用化归与转化的思想方法去解决数学问题时,没有一个统一的模式,它可以在数与数、形与形、数与形之间进行转换.在解题过程中进行化归与转化时,要遵循以下五项基本原则:(1)化繁为简的原则;(2)化生为熟的原则;(3)等价性原则;(4)正难则反的原则;(5)形象具体化原则.第一部分四、转化与化归思想数学思想•聚焦诠释高频考点•探究突破核心归纳•预测演练高频考点•探究突破-12-突破点一突破点二突破点三突破点四即时巩固2设a,b0,a+b=5,则𝑎+1+𝑏+3的最大值为.32解析:因为a,b0,a+b=5,所以(a+1)+(b+3)=9.令x=a+1,y=b+3,则x+y=9(x1,y3),于是𝑎+1+𝑏+3=𝑥+𝑦,而(𝑥+𝑦)2=x+y+2𝑥𝑦≤x+y+(x+y)=18,所以𝑥+𝑦≤32.此时x=y,即a+1=b+3,结合a+b=5,可得a=3.5,b=1.5.故当a=3.5,b=1.5时,𝑎+1+𝑏+3的最大值为32.第一部分四、转化与化归思想数学思想•聚焦诠释高频考点•探究突破核心归纳•预测演练高频考点•探究突破-13-突破点一突破点二突破点三突破点四常量与变量的转化【例3】已知函数f(x)=x2+(m-4)x+4-2m.(1)若对任意的x∈[-1,1],f(x)0,求实数m的取值范围.(2)对任意m∈[-1,1],f(x)0,求x的取值范围.分析推理(1)写出不等式,然后分离参数,将其转化为函数的最值问题求解;(2)把m看成变量,则不等式就可以看作关于m的一次函数在指定区间内函数值的大小,进而确定x所满足的条件.第一部分四、转化与化归思想数学思想•聚焦诠释高频考点•探究突破核心归纳•预测演练高频考点•探究突破-14-突破点一突破点二突破点三突破点四解:(1)由f(x)0,得x2+(m-4)x+4-2m0,即(2-x)mx2-4x+4.因为x∈[-1,1],所以2-x0.故分离参数可得m𝑥2-4𝑥+42-𝑥=𝑥2-4𝑥+42-𝑥=(2-𝑥)22-𝑥=2-x.因为-1≤x≤1,所以1≤2-x≤3.所以m1.故实数m的取值范围为(-∞,1).第一部分四、转化与化归思想数学思想•聚焦诠释高频考点•探究突破核心归纳•预测演练高频考点•探究突破-15-突破点一突破点二突破点三突破点四(2)由f(x)=x2+(m-4)x+4-2m=(x-2)m+x2-4x+4.令g(m)=(x-2)m+x2-4x+4.由题意知当m∈[-1,1]时,g(m)恒大于零,所以𝑔(-1)=(𝑥-2)×(-1)+𝑥2-4𝑥+40,𝑔(1)=(𝑥-2)+𝑥2-4𝑥+40.解得x1或x3.故当x的取值范围为(-∞,1)∪(3,+∞)时,对任意的m∈[-1,1],函数f(x)的值恒大于零.规律方法在处理多变量的数学问题时,当常量(或参数)在某一范围内取值,求变量x的取值范围时,经常进行常量与变量之间角色的转化,即可以选取其中的常数(或参数),将其看作变量,而把变量看作常量,从而达到简化运算的目的.第一部分四、转化与化归思想数学思想•聚焦诠释高频考点•探究突破核心归纳•预测演练高频考点•探究突破-16-突破点一突破点二突破点三突破点四即时巩固3已知f(x)是定义在R上的增函数.若f(1-ax-x2)≤f(2-a)对任意a∈[-1,1]恒成立,则x的取值范围为.x≤-1或x≥0解析:∵f(x)是R上的增函数,∴由f(1-ax-x2)≤f(2-a),可得1-ax-x2≤2-a.∴a(x-1)+x2+1≥0对a∈[-1,1]恒成立.令g(a)=(x-1)a+x2+1,则g(-1)=x2-x+2≥0,g(1)=x2+x≥0,解得x≥0或x≤-1.故实数x的取值范围为x≤-1或x≥0.第一部分四、转化与化归思想数学思想•聚焦诠释高频考点•探究突破核心归纳•预测演练高频考点•探究突破-17-突破点一突破点二突破点三突破点四函数、方程与不等式之间的转化【例4】已知函数f(x)=x2+bsinx-2(b∈R),F(x)=f(x)+2,且对于任意实数x,恒有F(x-5)=F(5-x).(1)求函数f(x)的解析式.(2)设函数g(x)=f(x)+2(x+1)+alnx在区间(0,1)内单调,求实数a的取值范围.(3)函数h(x)=ln(1+x2)-f(x)-k有几个零点?分析推理(1)将已知转化为F(x)的性质——偶函数,然后根据函数解析式的结构特征即可求出b值;(2)将已知转化为导函数在指定区间内的保号性,及不等式恒成立,然后分离参数构造函数,将其转化为函数最值问题;(3)将已知转化为函数y=ln(1+x2)-f(x)的图象与直线y=k的交点个数,然后利用导数研究函数y=ln(1+x2)-f(x)的图象,根据函数的极值确定零点个数.121212第一部分四、转化与化归思想数学思想•聚焦诠释高频考点•探究突破核心归纳•预测演练高频考点•探究突破-18-突破点一突破点二突破点三突破点四解:(1)由题设,得F(x)=x2+bsinx.∵F(x-5)=F(5-x),∴F(-x)=F(x),∴x2-bsinx=x2+bsinx,∴bsinx=0对于任意实数x恒成立,∴b=0,故f(x)=x2-2.(2)由(1),得g(x)=f(x)+2(x+1)+alnx=x2+2x+alnx,则g'(x)=2x+2+𝑎𝑥.∵g(x)在区间(0,1)内单调,∴只需g'(x)≥0或g'(x)≤0在区间(0,1)内恒成立,即2x2+2x+a≥