（课标通用）甘肃省2019年中考数学总复习优化设计 第21讲 与圆有关的位置关系课件

第21讲与圆有关的位置关系考点必备梳理考法必研突破考题初做诊断考点必备梳理考点一考点二考点三考点一点与圆的位置关系1.点与圆的位置关系有:点在圆内、点在圆上、点在圆外三种.2.数量关系:设圆的半径为r,点与圆心的距离为d,则(1)点在圆内⇔dr;(2)点在圆上⇔d=r;(3)点在圆外⇔dr.考点必备梳理考法必研突破考题初做诊断考点必备梳理考点一考点二考点三考点二直线与圆的位置关系1.直线与圆的位置关系有相离、相切、相交三种.如下图:2.数量关系:设圆的半径为r,圆心到直线的距离为d,则(1)直线与圆相离⇔dr;(2)直线与圆相切⇔d=r;(3)直线与圆相交⇔dr.考点必备梳理考法必研突破考题初做诊断考点必备梳理考点一考点二考点三考点三圆的切线1.切线的定义:直线和圆有且只有一个公共点时,称直线与圆相切,这条直线叫做圆的切线.2.切线的性质定理:圆的切线垂直于过切点的半径.推论:经过切点垂直于切线的直线必经过圆心.3.圆的切线的判定(1)根据定义来判定:当直线与圆有且只有一个公共点时,该直线与圆相切.(2)根据数量关系来判定:设圆的半径为r,圆心到直线的距离为d,则当d=r时,直线与圆相切.(3)判定定理:经过半径外端,并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.考点必备梳理考法必研突破考题初做诊断考点必备梳理考点一考点二考点三4.切线长(1)定义:经过圆外一点的圆的切线上,这点到切点之间的距离叫切线长.(2)切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线的切线长相等,并且这点与圆心的连线平分两条切线的夹角.5.三角形的内切圆、内心(1)定义:与三角形的三边都相切的圆叫做三角形的内切圆,这个三角形叫做这个圆的外切三角形.(2)三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心.(3)三角形的内心是三角形三条角平分线的交点,这点到三角形三边的距离相等.考点必备梳理考法必研突破考题初做诊断考法必研突破考法1考法2考法3考法4直线与圆的位置关系的判断判断直线与圆的位置关系常常是根据直线与圆的公共点的个数或数量关系来判断.例1在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3cm,BC=4cm,以C为圆心,r为半径作圆,若圆C与直线AB相切,则r的值为()A.2cmB.2.4cmC.3cmD.4cm答案B解析在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3cm,BC=4cm,由勾股定理,得AB2=32+42=25,即AB=5cm.∵AB是☉C的切线,切点为D,∴CD⊥AB.∴CD=r.∵S△ABC=12AC·BC=12AB·r,∴r=2.4cm,故选B.考点必备梳理考法必研突破考题初做诊断考法必研突破考法1考法2考法3考法4方法点拨斜边上的高即为圆的半径是解决本题的突破点.根据直线与圆相切的数量关系知:当圆C与直线AB相切时,圆心C到直线AB的距离与圆的半径相等,于是利用勾股定理求出斜边AB的长,再由直角三角形面积的求法求出斜边上的高即得半径r的值.考点必备梳理考法必研突破考题初做诊断考法必研突破考法1考法2考法3考法4切线性质的应用在应用切线的性质时要注意:(1)切线和圆只有一个公共点;(2)圆心到切线的距离等于半径;(3)“经过圆心”“经过切点”“垂直于切线”这三个结论中,有两个成立时,第三个一定成立.考点必备梳理考法必研突破考题初做诊断考法必研突破考法1考法2考法3考法4例2(2018山东泰安)如图,BM与☉O相切于点B,若∠MBA=140°,则∠ACB的度数为()A.40°B.50°C.60°D.70°考点必备梳理考法必研突破考题初做诊断考法必研突破考法1考法2考法3考法4答案:A解析:如图,连接OA,OB,∵BM是☉O的切线,∴∠OBM=90°,∵∠MBA=140°,∴∠ABO=50°,∵OA=OB,∴∠ABO=∠BAO=50°,∴∠AOB=80°,∴∠ACB=∠AOB=40°,故选A.12考点必备梳理考法必研突破考题初做诊断考法必研突破考法1考法2考法3考法4方法点拨连接OA,OB,由切线的性质知∠OBM=90°,从而得∠ABO=∠BAO=50°,由内角和定理知∠AOB=80°,根据圆周角定理可得答案.有关切线问题,辅助线常常是连接过切点的半径,即产生直角.于是可得到直角三角形,进而可以根据直角三角形的性质、勾股定理、锐角三角函数等进行计算和证明.考点必备梳理考法必研突破考题初做诊断考法必研突破考法1考法2考法3考法4例3(2018重庆)如图,已知AB是☉O的直径,点P在BA的延长线上,PD与☉O相切于点D,过点B作PD的垂线交PD的延长线于点C,若☉O的半径为4,BC=6,则PA的长为()A.4B.23C.3D.2.5考点必备梳理考法必研突破考题初做诊断考法必研突破考法1考法2考法3考法4答案:A解析:连接DO,∵PD与☉O相切于点D,∴∠PDO=90°,∵∠C=90°,∴DO∥BC,∴△PDO∽△PCB,∴𝐷𝑂𝐵𝐶=𝑃𝑂𝑃𝐵=46=23,设PA=x,则𝑥+4𝑥+8=23,解得x=4,故PA=4.故选A.考点必备梳理考法必研突破考题初做诊断考法必研突破考法1考法2考法3考法4方法点拨先直接利用切线的性质得出∠PDO=90°,再利用相似三角形的判定与性质分析得出答案.考点:1.切线的性质;2.相似三角形的判定与性质.考点必备梳理考法必研突破考题初做诊断考法必研突破考法1考法2考法3考法4切线的判定在应用切线的判定时要注意:切线必须满足两个条件:(1)经过半径外端;(2)垂直于这条半径.例4如图,AB为☉O直径,P点为半径OA上异于O点和A点的一个点,过P点作与直径AB垂直的弦CD,连接AD,作BE⊥AB,OE∥AD交BE于E点,连接AE,DE,AE交CD于F点.求证:DE为☉O的切线.考点必备梳理考法必研突破考题初做诊断考法必研突破考法1考法2考法3考法4证明:如图,连接OD,BD,BD交OE于点M,∵AB是☉O的直径,∴∠ADB=90°,AD⊥BD,∵OE∥AD,∴OE⊥BD,∴BM=DM,∵OB=OD,∴∠BOM=∠DOM,∵OE=OE,∴△BOE≌△DOE(SAS),∴∠ODE=∠OBE=90°,∴DE为☉O的切线.考点必备梳理考法必研突破考题初做诊断考法必研突破考法1考法2考法3考法4方法点拨判定切线常常用以下两种方法:(1)当直线与圆的公共点已知,则连接圆心和这点,证明圆心和这点的连线与该直线垂直,利用切线的判定定理解决问题.(2)当直线与圆的公共点没有明确告知时,则过圆心作该直线的垂线,证明圆心与垂足之间的距离等于圆的半径,利用直线与圆相切的数量关系来解决问题.考点必备梳理考法必研突破考题初做诊断考法必研突破考法1考法2考法3考法4切线的性质的综合应用与切线有关的问题经常与其他知识相结合,构建综合性试题.求解这类问题不仅要联想到切线的性质,同时要综合运用直角三角形的性质、相似三角形的性质、勾股定理等.例5(2018陕西)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,以斜边AB上的中线CD为直径作☉O,分别与AC,BC交于点M,N.(1)过点N作☉O的切线NE与AB相交于点E,求证:NE⊥AB;(2)连接MD,求证:MD=NB.考点必备梳理考法必研突破考题初做诊断考法必研突破考法1考法2考法3考法4证明:(1)连接ON,如图,∵CD为斜边AB上的中线,∴CD=AD=DB,∴∠1=∠B,∵OC=ON,∴∠1=∠2,∴∠2=∠B,∴ON∥DB,∵NE为切线,∴ON⊥NE,∴NE⊥AB.(2)连接DN,如图,∵CD为直径,∴∠CMD=∠CND=90°,而∠MCB=90°,∴四边形CMDN为矩形,∴DM=CN,∵DN⊥BC,∠1=∠B,∴CN=BN,∴MD=NB.考点必备梳理考法必研突破考题初做诊断考法必研突破考法1考法2考法3考法4方法点拨(1)连接ON,根据斜边上的中线等于斜边的一半得到CD=AD=DB,则∠1=∠B,再证明∠2=∠B得到ON∥DB,接着根据切线的性质得到ON⊥NE,然后利用平行线的性质得到结论;(2)连接DN,根据圆周角定理得到∠CMD=∠CND=90°,则可判断四边形CMDN为矩形,所以DM=CN,然后证明CN=BN,从而得到MD=NB.考题初做诊断1.(2014甘肃白银)已知☉O的半径是6cm,点O到同一平面内直线l的距离为5cm,则直线l与☉O的位置关系是()A.相交B.相切C.相离D.无法判断A考题初做诊断2.(2017甘肃兰州)如图,△ABD是☉O的内接三角形,E是弦BD的中点,点C是☉O外一点且∠DBC=∠A,连接OE延长与圆相交于点F,与BC相交于点C.(1)求证:BC是☉O的切线;(2)若☉O的半径为6,BC=8,求弦BD的长.考题初做诊断(1)证明:连接OB,如图所示:∵E是弦BD的中点,∴BE=DE,OE⊥BD,𝐵𝐹=𝐷𝐹=12𝐵𝐷,∴∠BOE=∠A,∠OBE+∠BOE=90°,∵∠DBC=∠A,∴∠BOE=∠DBC,∴∠OBE+∠DBC=90°,∴∠OBC=90°,即BC⊥OB,∴BC是☉O的切线.(2)解:∵OB=6,BC=8,BC⊥OB,∴OC=𝑂𝐵2+𝐵𝐶2=10,∵△OBC的面积=12OC·BE=12OB·BC,∴BE=𝑂𝐵·𝐵𝐶𝑂𝐶=6×810=4.8,∴BD=2BE=9.6,即弦BD的长为9.6.考题初做诊断3.(2017甘肃武威)如图,AN是☉M的直径,NB∥x轴,AB交☉M于点C.(1)若点A(0,6),N(0,2),∠ABN=30°,求点B的坐标;(2)若D为线段NB的中点,求证:直线CD是☉M的切线.考题初做诊断(1)解∵A的坐标为(0,6),N(0,2),∴AN=4.∵∠ABN=30°,∠ANB=90°,∴AB=2AN=8,∴由勾股定理可知NB=43,∴B(43,2).(2)证明连接MC,NC.∵AN是☉M的直径,∴∠ACN=90°,∴∠NCB=90°.在Rt△NCB中,D为NB的中点,∴CD=NB=ND,∴∠CND=∠NCD.∵MC=MN,∴∠MCN=∠MNC.∵∠MNC+∠CND=90°,∴∠MCN+∠NCD=90°,即MC⊥CD.∴直线CD是☉M的切线.12考题初做诊断4.(2016甘肃武威)如图,在△ABC中,AB=AC,点D在BC上,BD=DC,过点D作DE⊥AC,垂足为E,☉O经过A,B,D三点.(1)求证:AB是☉O的直径;(2)判断DE与☉O的位置关系,并加以证明;(3)若☉O的半径为3,∠BAC=60°,求DE的长.考题初做诊断(1)证明连接AD,∵AB=AC,BD=DC,∴AD⊥BC,∴∠ADB=90°,∴AB为圆O的直径.(2)解DE与圆O相切,证明连接OD,∵O,D分别为AB,BC的中点,∴OD为△ABC的中位线,∴OD∥AC.∵DE⊥AC,∴DE⊥OD.∵OD为圆的半径,∴DE与圆O相切.考题初做诊断(3)解∵AB=AC,∠BAC=60°,∴△ABC为等边三角形,∴AB=AC=BC=6.连接BF,∵AB为圆O的直径,∴∠AFB=∠DEC=90°,∴AF=CF=3,DE∥BF.∵D为BC中点,∴E为CF中点,即DE为△BCF的中位线.在Rt△ABF中,AB=6,AF=3,根据勾股定理得BF=62-32=33,则DE=12BF=332.