（课标通用）甘肃省2019年中考数学总复习优化设计 第6讲 一元二次方程及其应用课件

第6讲一元二次方程及其应用考点必备梳理考法必研突破考题初做诊断考点必备梳理一元二次方程及其解法定义:只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是二的整式方程,叫做一元二次方程一般形式:ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式(1)b2-4ac0时,方程有两个不相等的实数根(2)b2-4ac=0时,方程有两个相等的实数根(3)b2-4ac0时,方程无实数根解法(1)直接开平方法:形如(x±m)2=n(n≥0)的方程,可直接开方求解(2)因式分解法:可化为(ax+m)(bx+n)=0的方程,用因式分解法求解(3)公式法:求根公式为x=-b±b2-4ac2a(b2-4ac≥0)(4)配方法:若ax2+bx+c=0不易于分解因式,可考虑配方为a(x+h)2=k,再直接开方求解根与系数的关系:若x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根,则x1+x2=-ba,x1x2=ca一元二次方程的实际应用解应用题步骤:列一元二次方程解应用题的步骤和列一元一次方程解应用题的步骤一样,即审、设、列、解、验、答六步常考类型增长率(下降率)问题(1)增长率=增长量÷基础量×100%(2)设a为原来量,b为变化后的量,当m为平均增长率,n为增长次数时,a(1+m)n=b;当m为平均下降率,n为下降次数时,a(1-m)n=b利润问题(1)利润=售价-成本(2)利润率=利润成本×100%几何图形的面积问题:根据面积计算公式列方程考点必备梳理考法必研突破考题初做诊断考法必研突破考法1考法2考法3考法4考法5一元二次方程的有关概念一元二次方程的概念必须满足三个条件:①是整式方程;②只含有一个未知数;③未知数的最高次数是2.例1下列方程一定是一元二次方程的是()A.3x2+4-=0B.5x2-6y-3=0C.ax2-x+2=0D.3x2-2x-1=0答案:D方法点拨解决此类问题的关键是牢记并理解一元二次方程的定义,特别是二次项系数应为非零数,即a≠0这一隐含条件.1𝑥考点必备梳理考法必研突破考题初做诊断考法必研突破考法1考法2考法3考法4考法5一元二次方程的解法一元二次方程的基本解法有四种:(1)直接开方法;(2)因式分解法;(3)配方法;(4)公式法.在解一元二次方程时首先看是否能运用直接开平方法,再看能否运用因式分解法,公式法适用于所有的一元二次方程的求解.考点必备梳理考法必研突破考题初做诊断考法必研突破考法1考法2考法3考法4考法5例2解方程:(x-3)2+4x(x-3)=0.分析:本题可以采用因式分解法或公式法解.解法一把方程左边因式分解,得(x-3)(x-3+4x)=0,即(x-3)(5x-3)=0,∴x-3=0或5x-3=0.∴x1=3,x2=35.解法二原方程整理,得5x2-18x+9=0.∵Δ=(-18)2-4×5×9=1440,∴x=18±1442×5=18±1210.∴x1=3,x2=35.方法点拨此类题目主要考查一元二次方程的解法及优化选择,常常涉及配方法、公式法、因式分解法.选择解法时要根据方程的结构特点、系数(或常数)之间的关系灵活进行,解题时要讲究技巧,保证准确、迅速.考点必备梳理考法必研突破考题初做诊断考法必研突破考法1考法2考法3考法4考法5一元二次方程根的判别式的应用一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式为Δ=b2-4ac,其意义在于不解方程可以直接根据Δ判别根的情况,(1)当Δ0时,方程有两个不相等的实数根;(2)当Δ=0时,方程有两个相等的实数根;(3)当Δ0时,方程无实数根.还可以根据根的情况确定未知系数的取值范围.考点必备梳理考法必研突破考题初做诊断考法必研突破考法1考法2考法3考法4考法5例3(2018内蒙古包头)已知关于x的一元二次方程x2+2x+m-2=0有两个实数根,m为正整数,且该方程的根都是整数,则符合条件的所有正整数m的和为()A.6B.5C.4D.3答案:B解析:∵a=1,b=2,c=m-2,关于x的一元二次方程x2+2x+m-2=0有实数根,∴Δ=b2-4ac=22-4(m-2)=12-4m≥0,∴m≤3.∵m为正整数,∴m=1,2或3.又当m=1时,Δ=8该方程的根不是整数,∴m≠1.∴m=2或3.∴2+3=5.故选B.考点必备梳理考法必研突破考题初做诊断考法必研突破考法1考法2考法3考法4考法5方法点拨一元二次方程根的判别式的应用主要有以下三种情况:(1)不解方程,判定根的情况;(2)根据方程根的情况,确定方程系数中字母的取值范围;(3)应用判别式证明方程根的情况.本题根据方程的系数结合根的判别式Δ≥0,得出m≤3,由m为正整数结合该方程的根都是整数,求出m的值,将其相加即可.考点必备梳理考法必研突破考题初做诊断考法必研突破考法1考法2考法3考法4考法5一元二次方程根与系数的关系一元二次方程根与系数的关系的应用:(1)已知一根,求另一根及求未知系数;(2)不解方程,求与方程两根有关的代数式的值;(3)已知两数,求以这两数为根的方程;(4)已知两数的和与积,求这两个数;(5)确定根的符号.考点必备梳理考法必研突破考题初做诊断考法必研突破考法1考法2考法3考法4考法5例4(2018江苏泰州)已知x1,x2是关于x的方程x2-ax-2=0的两根,则下列结论一定正确的是()A.x1≠x2B.x1+x20C.x1·x20D.x10,x20答案:A解析:∵Δ=(-a)2-4×1×(-2)=a2+80,∴x1≠x2,结论A正确;∵x1,x2是关于x的方程x2-ax-2=0的两根,∴x1+x2=a,∵a的值不确定,∴结论B不一定正确;∵x1,x2是关于x的方程x2-ax-2=0的两根,∴x1·x2=-2,结论C错误;∵x1·x2=-2,∴x1,x2异号,结论D错误.故选A.考点必备梳理考法必研突破考题初做诊断考法必研突破考法1考法2考法3考法4考法5方法点拨一元二次方程根与系数的关系包含Δ=b2-4ac和x1+x2=-𝑏𝑎,x1·x2=𝑐𝑎.利用一元二次方程根与系数的关系求方程的系数中所含字母的值或取值范围时,必须要考虑:(1)a≠0,(2)b2-4ac≥0.考点必备梳理考法必研突破考题初做诊断考法必研突破考法1考法2考法3考法4考法5用一元二次方程解决实际问题列一元二次方程解应用题的关键是在充分理解题意的基础上,寻求题中的等量关系,从而建立方程.增长率问题和利润问题是最常见的类型.考点必备梳理考法必研突破考题初做诊断考法必研突破考法1考法2考法3考法4考法5例5(2018江苏盐城)一商店销售某种商品,平均每天可售出20件,每件盈利40元.为了扩大销售、增加盈利,该店采取了降价措施,在每件盈利不少于25元的前提下,经过一段时间销售,发现销售单价每降低1元,平均每天可多售出2件.(1)若降价3元,则平均每天销售数量为件;(2)当每件商品降价多少元时,该商店每天销售利润为1200元?分析:(1)根据销售单价每降低1元,平均每天可多售出2件,可得若降价3元,则平均每天可多售出2×3=6(件),即平均每天销售数量为20+6=26(件);(2)利用商品平均每天售出的件数×每件盈利=每天销售这种商品利润,列出方程解答即可.考点必备梳理考法必研突破考题初做诊断考法必研突破考法1考法2考法3考法4考法5解:(1)若降价3元,则平均每天销售数量为20+2×3=26(件),故答案为26.(2)设每件商品降价x元时,该商店每天销售利润为1200元.根据题意,得(40-x)(20+2x)=1200,整理,得x2-30x+200=0,解得x1=10,x2=20.∵要求每件盈利不少于25元,∴x2=20应舍去,解得x=10.答:每件商品降价10元时,该商店每天销售利润为1200元.方法点拨此题是利润问题,列方程的等量关系是:总利润等于每一件商品的利润乘以销售件数,根据等量关系列方程,解方程.最后还要注意求出的未知数的值是否符合实际要求,不符合的要舍去.考题初做诊断1.(2018甘肃)关于x的一元二次方程x2+4x+k=0有两个实数根,则k的取值范围是(C)A.k≤-4B.k-4C.k≤4D.k42.(2017甘肃兰州)如果一元二次方程2x2+3x+m=0有两个相等的实数根,那么实数m的取值范围为(C)A.m98B.m89C.m=98D.m=89解析:根据题意得Δ=42-4k≥0,解得k≤4.故选C.考题初做诊断3.(2016甘肃兰州)公园有一块正方形的空地,后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花(如图),原空地一边减少了1m,另一边减少了2m,剩余空地的面积为18m2,求原正方形空地的边长.设原正方形的空地的边长为xm,则可列方程为(C)A.(x+1)(x+2)=18B.x2-3x+16=0C.(x-1)(x-2)=18D.x2+3x+16=0考题初做诊断4.(2017甘肃白银)如图,某小区计划在一块长为32m,宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路,剩余的空地上种植草坪,使草坪的面积为570m2.若设道路的宽为xm,则下面所列方程正确的是(A)A.(32-2x)(20-x)=570B.32x+2×20x=32×32-570C.(32-x)(20-x)=32×20-570D.32x+2×20x-2x2=570考题初做诊断5.(2017甘肃兰州)王叔叔从市场上买了一块长为80cm,宽为70cm的矩形铁皮,准备制作一个工具箱.如图,他将矩形铁皮的四个角各剪掉一个边长为xcm的正方形后,剩余的部分刚好能围成一个底面积为3000cm2的无盖长方形工具箱,根据题意列方程为(C)A.(80-x)(70-x)=3000B.80×70-4x2=3000C.(80-2x)(70-2x)=3000D.80×70-4x2-(70+80)x=3000考题初做诊断6.(2015甘肃兰州)股票每天的涨、跌幅均不能超过10%,即当涨了原价的10%后,便不能再涨,叫做涨停;当跌了原价的10%后,便不能再跌,叫做跌停.已知一支股票某天跌停,之后两天时间又涨回到原价,若这两天此股票股价的平均增长率为x,则x满足的方程是(B)A.(1+x)2=1110B.(1+x)2=109C.1+2x=1110D.1+2x=1097.(2016甘肃兰州)一元二次方程x2+2x+1=0的根的情况是(B)A.有一个实数根B.有两个相等的实数根C.有两个不相等的实数根D.没有实数根8.(2016甘肃平凉)三角形的两边长分别是3和4,第三边长是方程x2-13x+40=0的根,则该三角形的周长为12.考题初做诊断9.(2017甘肃武威)若关于x的一元二次方程(k-1)x2+4x+1=0有实数根,则k的取值范围是k5且k≠1.解析:∵关于x的一元二次方程方程(k-1)x2+4x+1=0有两个不相等的实数根,∴𝑘-1≠0,𝛥0,即𝑘-1≠0,42-4(𝑘-1)0,解得k5且k≠1.10.(2016甘肃兰州)解方程2y2+4y=y+2.解:2y2+4y=y+2,2y2+3y-2=0,(2y-1)(y+2)=0,2y-1=0或y+2=0,所以y1=,y2=-2.12考题初做诊断11.(2016甘肃定西)已知关于x的方程x2+mx+m-2=0.(1)若此方程的一个根为1,求m的值;(2)求证:不论m取何实数,此方程都有两个不相等的实数根.(1)解:根据题意,将x=1代入方程x2+mx+m-2=0,得1+m+m-2=0,解得m=.(2)证明:∵Δ=m2-4×1×(m-2)=m2-4m+8=(m-2)2+40,∴不论m取何实数,该方程都有两个不相等的实数根.12