（课标通用）安徽省2019年中考数学总复习 专题5 规律探索题课件

专题五规律探索题题型分类突破素养训练提高解题知识解读题型概述方法指导规律探索型问题也是归纳猜想型问题,是指根据已知条件或题干所提供的若干特例,通过观察、类比、归纳,发现问题中的数学对象所具有的规律性的一类问题.规律探索型问题体现了“由特殊到一般”的数学思想方法,规律探索型问题大致可分为数式类规律探索问题、图形类规律探索问题和直角坐标系下的点坐标变化规律类,是中考的热点题型,考查同学们创新能力.考查的题型既有选择题、填空题,也有解答题,安徽中考连续6年都有考查,预计这类题仍然是2019年中考的热点.题型分类突破素养训练提高解题知识解读题型概述方法指导解决这类问题的一般思路是通过对所给的具体的结论进行全面、细致的观察、分析、比较,从中发现其变化的规律,并猜想出一般性的结论,然后再给出合理的证明或加以运用.1.解决这类问题的关键是发现和把握规律.题目中呈现规律一般有三种主要途径:(1)式与数的特征观察.(2)图形的结构观察.(3)通过对简单、特殊情况的观察,再推广到一般情况.2.规律探究的基本原则:(1)遵循类推原则,项找项的规律,和找和的规律,差找差的规律,积找积的规律.(2)遵循有序原则,从特殊开始,从简单开始,先找3个,发现规律,再验证运用规律.题型分类突破素养训练提高题型分类突破类型一类型二考查类型年份、题号考查点1.数式的规律2018,182017,192015,132014,16根据所给一列数或式子所反映的特征进行归纳猜想,得出规律,并对规律进行验证,利用规律解题2.图形的规律2016,182012,17分析图形特征和图形变换规律进行合理的猜想假设,得出规律,并对规律进行验证,利用规律解题3.直角坐标系下的点坐标变化规律2013,18借助正六边形考查了坐标的变化规律.题型分类突破素养训练提高题型分类突破类型一类型二类型一数式的变化规律例1(2018·安徽,18)见正文P9第3题类型三题型分类突破素养训练提高题型分类突破类型一类型二例2(2017·安徽,19)【阅读理解】我们知道,1+2+3+…+n=,那么12+22+32+…+n2结果等于多少呢?n(n+1)2图1在图1所示的三角形数阵中,第1行圆圈中的数为1,即12;第2行两个圆圈中数的和为2+2,即22;……;第n行n个圆圈中数的和为n+n+…+nn个n,即n2.这样,该三角形数阵中共有n(n+1)2个圆圈,所有圆圈中的数的和为12+22+32+…+n2.类型三题型分类突破素养训练提高题型分类突破类型一类型二【规律探究】将三角形数阵型经过两次旋转可得如图2所示的三角形数阵型,观察这三个三角形数阵各行同一位置圆圈中的数(如第n-1行的第1个圆圈中的数分别为n-1,2,n),发现每个位置上三个圆圈中数的和均为.由此可得,这三个三角形数阵所有圆圈中数的总和为:3(12+22+32+…+n2)=.因此12+22+32+…+n2=.图2【解决问题】根据以上发现,计算12+22+32+…+201721+2+3+…+2017的结果.类型三题型分类突破素养训练提高题型分类突破类型一类型二分析:【规律探究】将同一位置圆圈中的数相加即可,所有圈中的数的和应等于同一位置圆圈中的数的和乘以圆圈个数,据此可得,每个三角形数阵和即为三个三角形数阵和的,从而得出答案;【解决问题】运用以上结论,将原式变形为1316×2017×(2017+1)×(2×2017+1)12×2017×(2017+1),化简计算即可得.类型三题型分类突破素养训练提高题型分类突破类型一类型二解:【规律探究】由题意知,每个位置上三个圆圈中数的和均为n-1+2+n=2n+1,由此可得,这三个三角形数阵所有圆圈中数的总和为:3(12+22+32+…+n2)=(2n+1)·(1+2+3+…+n)=(2n+1)·n(n+1)2,因此,12+22+32+…+n2=n(2n+1)(n+1)6;故答案为:2n+1,n(n+1)(2n+1)2,n(n+1)(2n+1)6.【解决问题】原式=16×2017×(2017+1)×(2×2017+1)12×2017×(2017+1)=13×(2017×2+1)=1345.类型三题型分类突破素养训练提高题型分类突破类型一类型二类型二图形的变化规律例3(2016·安徽,18)(1)观察下列图形与等式的关系,并填空:类型三题型分类突破素养训练提高题型分类突破类型一类型二(2)观察下图,根据(1)中结论,计算图中黑球的个数,用含n的代数式填空:1+3+5+…+(2n-1)+()+(2n-1)+…+5+3+1=.分析:(1)根据1+3+5+7=16可得出16=42;设第n幅图中球的个数为an,列出部分an的值,根据数据的变化找出变化规律“an-1=1+3+5+…+(2n-1)=n2”,依此规律即可解决问题;(2)观察(1)可将(2)图中的黑球分三部分,1到n行,第n+1行,n+2行到2n+1行,再结合(1)的规律即可得出结论.类型三题型分类突破素养训练提高题型分类突破类型一类型二解析:(1)1+3+5+7=16=42,设第n幅图中球的个数为an,观察,发现规律:a1=1+3=22,a2=1+3+5=32,a3=1+3+5+7=42,…,故an-1=1+3+5+…+(2n-1)=n2.(2)观察图形发现:图中黑球可分三部分,1到n行,第n+1行,n+2行到2n+1行,即1+3+5+…+(2n-1)+[2(n+1)-1]+(2n-1)+…+5+3+1=1+3+5+…+(2n-1)+(2n+1)+(2n-1)+…+5+3+1=an-1+(2n+1)+an-1=n2+2n+1+n2=2n2+2n+1.答案:(1)4n2(2)2n+12n2+2n+1类型三题型分类突破素养训练提高题型分类突破类型一类型二例4(2012·安徽,17)在由m×n(m×n1)个小正方形组成的矩形网格中,研究它的一条对角线所穿过的小正方形个数f,(1)当m,n互质(m,n除1外无其他公因数)时,观察下列图形并完成下表:类型三题型分类突破素养训练提高题型分类突破类型一类型二mnm+nf123213432354247357猜想:当m,n互质时,在m×n的矩形网格中,一条对角线所穿过的小正方形的个数f与m,n的关系式是(不需要证明);(2)当m,n不互质时,请画图验证你猜想的关系式是否依然成立.分析:(1)通过题中所给网格图形,先计算出2×5,3×4,对角线所穿过的小正方形个数f,再对照表中数值归纳f与m,n的关系式.(2)根据题意,画出当m,n不互质时,结论不成立的反例即可.类型三题型分类突破素养训练提高题型分类突破类型一类型二解:(1)如表:f=m+n-1(2)当m,n不互质时,上述结论不成立,如图.mnm+nf123213432354347625762×4类型三题型分类突破素养训练提高题型分类突破类型一类型二类型三类型三直角坐标系下点的坐标变化规律例5(2013·安徽,18)我们把正六边形的顶点及其对称中心称作如图1所示基本图的特征点,显然这样的基本图共有7个特征点,将此基本图不断复制并平移,使得相邻两个基本图的一边重合,这样得到图2,图3,…题型分类突破素养训练提高题型分类突破类型一类型二类型三(1)观察以上图形并完成下表:猜想:在图(n)中,特征点的个数为(用n表示);(2)如图,将图(n)放在直角坐标系中,设其中第一个基本图的对称中心O1的坐标为(x1,2),则x1=;图2013的对称中心的横坐标为.图形的名称基本图的个数特征点的个数图117图2212图3317图44………题型分类突破素养训练提高题型分类突破类型一类型二类型三分析:(1)观察图形,结合已知条件,得出将基本图每复制并平移一次,特征点增加5个,由此得出图4中特征点的个数为17+5=22个,进一步猜想出:在图n中,特征点的个数为:7+5(n-1)=5n+2.(2)过点O1作O1M⊥y轴于点M,根据正六边形、等腰三角形的性质得出∠BO1M=30°,再由余弦函数的定义求出O1M=3,即x1=3;然后结合图形分别得出图2、图3、图4的对称中心的横坐标,找到规律,进而得出图2013的对称中心的横坐标.题型分类突破素养训练提高题型分类突破类型一类型二类型三解析:(1)由题意,可知图1中特征点有7个;图2中特征点有12个,12=7+5×1;图3中特征点有17个,17=7+5×2;所以图4中特征点有7+5×3=22个;由以上猜想:在图n中,特征点的个数为:7+5(n-1)=5n+2.(2)如图,过点O1作O1M⊥y轴于点M,题型分类突破素养训练提高题型分类突破类型一类型二类型三∵正六边形的中心角360°6=60°,O1C=O1B=O1A=2,∴∠BO1M=30°.∴O1M=O1B·cos∠BO1M=2×32=3.∴x1=3.由题意,可得题图2的对称中心的横坐标为3+3=23,图3的对称中心的横坐标为3+2×3=33,图4的对称中心的横坐标为3+3×3=43,…∴图2013的对称中心的横坐标为3+2012×3=20133.答案:(1)225n+2(2)320133题型分类突破素养训练提高素养训练提高123456781.(2018·四川成都)已知a0,S1=1𝑎,S2=-S1-1,S3=1𝑆2,S4=-S3-1,S5=1𝑆4,…(即当n为大于1的奇数时,Sn=1𝑆𝑛-1;当n为大于1的偶数时,Sn=-𝑆𝑛-1-1),按此规律S2018=-1+𝑎𝑎.(用含a的代数式表示)题型分类突破素养训练提高素养训练提高12345678解析:∵S1=1𝑎,∴S2=-S1-1=-1𝑎-1=-1+𝑎𝑎.∴S3=1𝑆2=-𝑎1+𝑎,∴S4=-S3-1=𝑎1+𝑎-1=-11+𝑎.∴S5=1𝑆4=-1-a,∴S6=-S5-1=a.∴S7=1𝑆6=1𝑎=S1,故此规律为6个一循环,∵2018÷6=336余2,∴S2018=-1+𝑎𝑎.题型分类突破素养训练提高素养训练提高123456782.(2018·湖北武汉)将正整数1至2018按一定规律排列如下表:平移表中带阴影的方框,方框中三个数的和可能是(D)A.2019B.2018C.2016D.20131234567891011121314151617181920212223242526272829303132……题型分类突破素养训练提高素养训练提高12345678解析:相邻三个整数的和是3的倍数,所给出的选项不是3的倍数的不符合题意;表格中每一行8个数,用所给选项除以3,再除以8,根据余数判断平移后的三个数是否在一行,在一行的符合题意,得出答案.设中间的数为x,则这三个数分别为x-1,x,x+1.∴这三个数的和为3x,所以和是3的倍数,又2019÷3=673,673除以8的余数为1,∴x在第1列(舍去);2108÷3=672且余2,故排除;2016÷3=672,672除以8的余数为0,∴x在第8列(舍去);2013÷3=671,671除以8的余数为7,∴x在第7列,所以这三数的和是2013,故选答案D.题型分类突破素养训练提高素养训练提高123456783.(2018·重庆B卷)下列图形都是由同样大小的黑色正方形纸片组成,其中第①个图形中有3张黑色正方形纸片,第②个图形中有5张黑色正方形纸片,第③个图形中有7张黑色正方形纸片,…,按此规律排列下去,第⑥个图形中黑色正方形纸片的张数为(B)A.11B.13C.15D.17解析:根据第①个图形中小正方形的个数为2×1+1,第②个图形中小正方形的个数为2×2+1,第③个图形中小正方形的个数为2×3+1,……,第n个图形中小正方形的个数为2n+1,故第⑥个图形中小正方形的个数为2×6+1=13,故选B.题型分类突破素养训练提高素养训练提高123456784.(2015·安徽)按一定规律排列的一列数:21,22,23,25,28,213,…,若x,y,z表示这列数中的连续三个数,猜测x,y,z满足的关系式是xy=z.解析:首项判断出这列数中,2的指数各项依次为1,2,3