（课标通用）安徽省2019年中考数学总复习 第一篇 知识 方法 固基 第三单元 函数 第11讲 反比

第11讲反比例函数及其应用考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考点必备梳理考点一考点二考点三考点四考点一反比例函数的图象和性质(高频)1.定义如果两个变量y与x的关系可以表示成(k为常数,k≠0)的形式,那么称y是x的反比例函数,其中x是自变量,常数k(k≠0)称为反比例函数的比例系数.2.表达式的确定待定系数法求表达式的步骤:(1)设出反比例函数表达式(2)找出满足反比例函数表达式的点P(a,b);(3)将P(a,b)代入表达式得k=ab;(4)确定反比例函数表达式为y=kxy=𝑘𝑥;y=𝑎𝑏𝑥.考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考点必备梳理考点一考点二考点三考点四3.图象性质(1)反比例函数(k≠0,k为常数)的图象是双曲线,且关于原点对称.(2)反比例函数的图象性质y=𝑘𝑥表达式y=kx(k≠0,k为常数)kk0k0图象所在象限第一、三象限(x,y同号)第二、四象限(x,y异号增减性在每一象限内,y随x的增大而减小在每一象限内,y随x的增大而增大考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考点必备梳理考点一考点二考点三考点四(3)反比例函数值比较大小的方法①直接代入求解:将各自对应的横坐标值代入反比例函数表达式求出y值,直接比较;②增减性判断:先根据反比例函数的k值确定反比例函数的增减性,再看两点是否在同一分支上,若不在同一分支上,则可直接判断,若在同一分支上,利用增减性判断.考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考点必备梳理考点一考点二考点三考点四考点二反比例函数k的几何意义1.如图,过双曲线上任意一点P分别作x轴、y轴的垂线PM,PN,所得的矩形PMON的面积S=PM·PN=|y|·|x|=|xy|.∵y=,∴xy=k.∴S=|k|,即过双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线,所得的矩形面积为|k|.2.如上图,过双曲线上的任意一点E作EF垂直于其中一坐标轴,垂足为F,连接EO,则S△EOF=,即过双曲线上的任意一点作一坐标轴的垂线,连接该点与原点,所得三角形的面积为.|k|2𝑘𝑥|𝑘|2考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考点必备梳理考点一考点二考点三考点四3.计算与双曲线y=上点有关的图形面积𝑘𝑥S△AOP=|k|2S△APB=|k|2S△APP'=2|k|S△AOB=S△AOE+S△OEF+S△BOF考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考点必备梳理考点一考点二考点三考点四考点三反比例函数与一次函数结合(高频)利用函数图象确定不等式ax+b𝑘𝑥或ax+b𝑘𝑥的方法:如图,过交点A(xa,ya),B(xb,yb)分别作x轴的垂线,它们连同y轴把平面分为四部分,相应标为Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ.1.在Ⅰ,Ⅲ部分,反比例函数图象位于一次函数图象上方,则不等式ax+b的解集为xxb或0xxa.2.在Ⅱ,Ⅳ部分,反比例函数图象位于一次函数图象下方,则不等式ax+b的解集为xbx0或xxa.𝑘𝑥𝑘𝑥考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考点必备梳理考点一考点二考点三考点四考点四反比例函数的实际应用1.利用反比例函数的性质解决实际问题的步骤(1)分析问题中的数量关系,列出函数关系式.(2)研究自变量的取值范围.(3)研究所得的函数.(4)检验x的取值是否在自变量的取值范围内,并求相关的值.(5)解决提出的实际问题.2.实际问题中的反比例函数,往往自变量的取值受到限制,这时对应的函数图象应是双曲线的一部分.考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考题初做诊断命题点1命题点2命题点3命题点1反比例与一次函数综合1.(2018·安徽,13,5分)如图,正比例函数y=kx与反比例函数y=6𝑥的图象有一个交点A(2,m),AB⊥x轴于点B,平移直线y=kx,使其经过点B,得到直线l,则直线l对应的函数表达式是y=32x-3.考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考题初做诊断命题点1命题点2命题点3解析:将点A(2,m)代入反比例函数y=6𝑥,得m=62=3,所以交点A(2,3),正比例函数为y=32x.又AB⊥x轴于点B,所以点B(2,0),而平移直线y=kx,使其经过点B,得到直线l,所以直线l的斜率为32,所以可设直线l的函数表达式为y=32x+b,点B(2,0)代入可得b=-3,所以直线l对应的函数表达式是y=32x-3.考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考题初做诊断命题点1命题点2命题点32.(2015·安徽,21,12分)如图,已知反比例函数y=与一次函数y=k2x+b的图象交于点A(1,8),B(-4,m).(1)求k1,k2,b的值;(2)求△AOB的面积;(3)若M(x1,y1),N(x2,y2)是反比例函数y=图象上的两点,且x1x2,y1y2,指出点M,N各位于哪个象限,并简要说明理由.𝑘1𝑥𝑘1𝑥命题点2反比例函数图象和性质考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考题初做诊断命题点1命题点2命题点3解(1)∵点A(1,8)在反比例函数y=k1x图象上,∴8=k11,k1=8.∵点B(-4,m)在反比例函数y=8x图象上,∴m=8-4=-2.根据题意,得k2+b=8,-4k2+b=-2.解得k2=2,b=6.4分(2)由(1)得一次函数解析式为y=2x+6,其图象与x轴的交点为(-3,0),故S△AOB=12×3×2+12×3×8=15.7分(3)点M在第三象限,点N在第一象限.8分理由:当x1x20时,此时y1y2,不合题意,舍去;当x10x2时,此时y10,y20,y1y2;当0x1x2时,此时y1y2,不合题意,舍去.综上所述,点M在第三象限,点N在第一象限.12分考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考题初做诊断命题点1命题点2命题点3命题点3反比例函数的应用提示见第8讲[考题·初做诊断]第5题考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考法必研突破考法1考法2考法3考法4考法1反比例函数表达式例1(2018·山东聊城)如图,已知反比例函数y=𝑘1𝑥(x0)的图象与反比例函数y=𝑘2𝑥(x0)的图象关于y轴对称,A(1,4),B(4,m)是函数y=𝑘1𝑥(x0)图象上的两点,连接AB,点C(-2,n)是函数y=𝑘2𝑥(x0)图象上的一点,连接AC,BC.(1)求m,n的值;(2)求AB所在直线的表达式;(3)求△ABC的面积.考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考法必研突破考法1考法2考法3考法4解:(1)∵A(1,4),B(4,m)是函数y=𝑘1𝑥(x0)图象上的两点,∴4=𝑘11,𝑚=𝑘14,解得𝑘1=4,𝑚=1.反比例函数y=𝑘1𝑥(x0)的解析式为y=4𝑥.∵反比例函数y=𝑘1𝑥(x0)的图象与反比例函数y=𝑘2𝑥(x0)的图象关于y轴对称,点C(-2,n)是函数y=𝑘2𝑥(x0)图象上的一点,∴点C关于y轴的对应点(2,n)一定在反比例函数y=4𝑥的图象上,∴n=42=2.考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考法必研突破考法1考法2考法3考法4(2)∵m=1,∴点B的坐标为(4,1).设AB的解析式为y=kx+b,k≠0,由题意得4𝑘+𝑏=1,𝑘+𝑏=4,解得𝑘=-1,𝑏=5,∴AB所在直线的表达式为y=-x+5.考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考法必研突破考法1考法2考法3考法4(3)如图所示,过点A,B,C作AD⊥x轴于点D,BE⊥x轴于点E,CF⊥x轴于点F,∵A(1,4),B(4,1),C(-2,2),∴AD=4,BE=1,CF=2,DE=3,DF=3,EF=6,∴S△ABC=S梯形ADFC+S梯形ADEB-S梯形BCFE=12×(2+4)×3+12×(1+4)×3-12×(1+2)×6=9+7.5-9=7.5.考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考法必研突破考法1考法2考法3考法4对应练1(2018·江苏淮安)若点A(-2,3)在反比例函数y=的图象上,则k的值是(A)A.-6B.-2C.2D.6𝑘𝑥考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考法必研突破考法1考法2考法3考法4对应练2(2018·重庆B卷)如图,菱形ABCD的边AD⊥y轴,垂足为点E,顶点A在第二象限,顶点B在y轴的正半轴上,反比例函数y=(k≠0,x0)的图象同时经过顶点C,D.若点C的横坐标为5,点D的横坐标为1,BE=3DE,则k的值为(C)A.52B.3C.154D.5𝑘𝑥考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考法必研突破考法1考法2考法3考法4解析:∵菱形ABCD的边AD⊥y轴,点C的横坐标为5,∴BC=5,DE=1.∵BE=3DE,∴BE=3.令OB=m,则OE=m+3,C(5,m),D(1,m+3),由C,D两点均在双曲线y=𝑘𝑥上,得5m=m+3,解得m=34,从而k=5m=154,故选C.考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考法必研突破考法1考法2考法3考法4对应练3(2018·浙江宁波)如图,平行于x轴的直线与函数y=𝑘1𝑥(k10,x0),y=𝑘2𝑥(k20,x0)的图象分别相交于A,B两点,点A在点B的右侧,C为x轴上的一个动点.若△ABC的面积为4,则k1-k2的值为(A)A.8B.-8C.4D.-4考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考法必研突破考法1考法2考法3考法4解析:设点A的坐标为(xA,yA),点B的坐标为(xB,yB),点C的坐标为(xC,0),过点C作CD⊥AB,交AB的延长线于点D.∵AB=xA-xB;CD=yD-yC=yA-yC,∴S△ABC=12AB·CD=12(xA-xB)(yA-yC)=12(xA-xB)yA=12(xAyA-xByB)=12(|k1|-|k2|)=12(k1-k2),即4=12(k1-k2),所以k1-k2=8.考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考法必研突破考法1考法2考法3考法4考法2反比例函数的图象和性质例2(2016·山西)已知点(m-1,y1),(m-3,y2)是反比例函数y=(m0)图象上的两点,则y1y2(填“”“=”或“”).答案解析∵m0,∴m-3m-10,即点(m-1,y1)和(m-3,y2)在反比例函数y=的图象位于第二象限的双曲线上.∵反比例函数y=(m0)的图象在第二象限y随x的增大而增大,∴y1y2.𝑚𝑥mxmx考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考法必研突破考法1考法2考法3考法4方法总结本题考查了反比例函数的图象和性质;在利用反比例函数的性质比较大小时,一定要注意已知的点是否在同一个象限,若在同一个象限内,则根据函数增减性比较,如本题;若不在同一个象限内,则要根据函数值的范围进行比较,如点(-2,y1),(3,y2)在反比例函数y=-的图象上,由于k=-1,则图象位于第二、四象限,又点(-2,y1)在第二象限,y10,点(3,y2)在第四象限,y20,故y10y2.1𝑥考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考法必研突破考法1考法2考法3考法4对应练4(2018·湖南衡阳)对于反比例函数y=-,下列说法不正确的是(D)A.图象分布在第二、四象限B.当x0时,y随x的增大而增大C.图象经过点(1,-2)D.若点A(x1,y1),B(x2,y2)都在图象上,且x1x2,则y1y22𝑥解析:A项中,∵k=-20,∴它的图象在第二、四象限,故本选项正确;B项中,k=-20,当x0时,y随x的增大而增大,故本选项正确;C项中,把x=1代入y=-2𝑥中,得y=-21=-2,∴点(1,-2)在它的图象上,故本选项正确;D项中,点A(x1,y1)、B(x2、y2)都在反比例函数y=-2𝑥的图象上,若x10x2,则y1y2,故本选项错误.考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考法必研突破考法1考法2考法3考法4对应练5(2018·合肥五十中模拟)正比例函数y=2x和反比例函数y=的一个交点为(1,2),则另一个