（课标通用）安徽省2019年中考数学总复习 第一篇 知识 方法 固基 第二单元 方程（组）与不等式（

第6讲一元二次方程及其应用考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考点必备梳理考点一考点二考点三考点四考点一一元二次方程及其解法1.如果一个方程通过整理可以使右边为0,而左边是只含有一个未知数的二次多项式,那么这样的方程叫一元二次方程,一般形式ax2+bx+c=0(a,b,c是常数,a≠0),其中a,b,c分别叫做二次项系数、一次项系数、常数项.考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考点必备梳理考点一考点二考点三考点四2.解法一般形式:ax2+bx+c=0(a≠0)直接开平方法形如(x+m)2=n(n≥0)的方程,可直接开方求解,则x1=-n-m,x2=n-m配方法若ax2+bx+c=0(a≠0)不易于分解因式,可考虑配方为a(x+h)2=k,再直接开方求解公式法公式法求根公式:x=-b±b2-4ac2a(b2-4ac≥0)因式分解法可化为a(x+m)(x+n)=0的方程,用因式分解法求解,则x1=-m,x2=-n考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考点必备梳理考点一考点二考点三考点四考点二一元二次方程根的判别式一元二次方程判别式根的情况ax2+bx+c=0(a≠0)b2-4ac0两个不等的实根b2-4ac=0两个相等的实根b2-4ac0没有实根考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考点必备梳理考点一考点二考点三考点四考点三一元二次方程根与系数的关系若x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根,则x1+x2=-ba,x1·x2=ca.考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考点必备梳理考点一考点二考点三考点四考点四一元二次方程的应用1.列一元二次方程解应用题的一般步骤2.一元二次方程实际问题的常见类型平均增长率(下降率)问题:(1)增长率=(增量÷基础量)×100%;(2)设a为原来量,m为平均增长率,n为增长次数,b为增长后的量,则a(1+m)n=b;当m为平均下降率,n为下降次数,b为下降后的量,则a(1-m)n=b.考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考题初做诊断命题点1命题点2命题点1解一元二次方程1.(2016·安徽,16,8分)解方程:x2-2x=4.解:方法1:x2-2x-4=0,a=1,b=-2,c=-4,Δ=(-2)2-4×1×(-4)=20,x=2±252=1±5,所以x1=1+5,x2=1-5.4分方法2:x2-2x+1=4+1,(x-1)2=5,x-1=±5,x=1±5,所以x1=1+5,x2=1-5.8分命题点3考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考题初做诊断命题点1命题点2命题点3命题点2一元二次方程根的判别式定理2.(2018·安徽,7,4分)若关于x的一元二次方程x(x+1)+ax=0有两个相等的实数根,则实数a的值为(A)A.-1B.1C.-2或2D.-3或1解析:原方程可变形为x2+(a+1)x=0.∵该方程有两个相等的实数根,∴Δ=(a+1)2-4×1×0=0,解得a=-1.考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考题初做诊断命题点1命题点2命题点3命题点3一元二次方程的应用3.(2018·安徽,6,4分)据省统计局发布,2017年我省有效发明专利数比2016年增长22.1%.假定2018年的平均增长率保持不变,2016年和2018年我省有效发明专利分别为a万件和b万件,则(B)A.b=(1+22.1%×2)aB.b=(1+22.1%)2aC.b=(1+22.1%)×2aD.b=22.1%×2a解析:在增长率问题中,若增长率设为x,在a的基础上连续两次增长后可用代数式a(1+x)2表示,故选B.4.(2017·安徽,8,4分)一种药品原价每盒25元,经过两次降价后每盒16元.设两次降价的百分率都为x,则x满足(D)A.16(1+2x)=25B.25(1-2x)=16C.16(1+x)2=25D.25(1-x)2=16考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考题初做诊断命题点1命题点2命题点35.(2015·安徽,6,4分)我省2013年的快递业务量为1.4亿件,受益于电子商务发展和法治环境改善等多重因素,快递业迅速发展,2014年增速位居全国第一.若2015年的快递业务量达到4.5亿件,设2014年与2015年这两年的平均增长率为x,则下列方程正确的是(C)A.1.4(1+x)=4.5B.1.4(1+2x)=4.5C.1.4(1+x)2=4.5D.1.4(1+x)+1.4(1+x)2=4.5解析:由于2015年的快递业务量可用1.4(1+x)2表示,又2015年的快递业务量是4.5亿件,可列方程是1.4(1+x)2=4.5,故选C.考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考法必研突破考法1考法2考法3考法4考法1一元二次方程的解法例1(2012·安徽)解方程:x2-2x=2x+1.解:原方程化为x2-4x=1.配方,得x2-4x+4=1+4.整理,得(x-2)2=5.所以x-2=±5,即x1=2+5,x2=2-5.方法总结本题考查了解一元二次方程的解法,熟练掌握一元二次方程的四种特点是解本题的关键,通常情况下,未知数全部在平方里面用直接开方法,二次项系数为1考虑用因式分解法或配方法,其他情况考虑用公式法.考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考法必研突破考法1考法2考法3考法4对应练1(2018·山东临沂)一元二次方程y2-y-=0配方后可化为(B)34A.𝑦+122=1B.𝑦-122=1C.𝑦+122=34D.𝑦-122=34解析:由y2-y-34=0得y2-y=34,配方得y2-y+14=34+14,∴𝑦-122=1,故选B.对应练2(2018·湖南益阳)规定a􀱋b=(a+b)b,如:2􀱋3=(2+3)×3=15,若2􀱋x=3,则x=-3或1.对应练3(2018·江苏淮安)一元二次方程x2-x=0的根是x1=0,x2=1.解析:∵2􀱋x=3,∴(2+x)x=3,∴x2+2x-3=0,解得:x1=-3,x2=1.考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考法必研突破考法1考法2考法3考法4考法2一元二次方程根的判别式的应用例2(2017·北京)已知关于x的一元二次方程x2-(k+3)x+2k+2=0.(1)求证:方程总有两个实数根;(2)若方程有一根小于1,求k的取值范围.(1)证明:∵Δ=[-(k+3)]2-4(2k+2)=k2-2k+1=(k-1)2≥0,∴方程总有两个实数根.(2)解:∵x2-(k+3)x+2k+2=(x-2)(x-k-1)=0,∴x1=2,x2=k+1.∵方程总有一个根小于1,∴k+11.∴k0,即k的取值范围为k0.方法总结本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式Δ=b2-4ac.(1)Δ0⇔方程有两个不相等的实数根;(2)Δ=0⇔方程有两个相等的实数根;(3)Δ0⇔方程没有实数根.另外一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有实数根⇔Δ≥0.考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考法必研突破考法1考法2考法3考法4对应练4(2018·上海)下列对一元二次方程x2+x-3=0根的情况的判断,正确的是(A)A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.有且只有一个实数根D.没有实数根解析:根据方程的系数结合根的判别式,即可得出Δ=130,进而即可得出方程x2+x-3=0有两个不相等的实数根.考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考法必研突破考法1考法2考法3考法4对应练5(2017·湖南益阳)关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为x1=1,x2=-1,那么下列结论一定成立的是(A)A.b2-4ac0B.b2-4ac=0C.b2-4ac0D.b2-4ac≤0对应练6(2018·四川泸州)已知关于x的一元一次方程x2-2x+k-1=0有两个不相等的实数根,则实数k的取值范围是(C)A.k≤2B.k≤0C.k2D.k0解析:关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为x1=1,x2=-1,说明一元二次方程有两个不相等的实数根,所以b2-4ac0,因此选A.解析:由题可知,Δ0,即(-2)2-4(k-1)0,解得k2.考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考法必研突破考法1考法2考法3考法4考法3一元二次方程中根与系数的关系例3(2018·四川眉山)若α,β是一元二次方程3x2+2x-9=0的两根,则的值是()𝛽𝛼+𝛼𝛽A.427B.-427C.-5827D.5827答案:C解析:由根与系数的关系可知:α+β=-23,αβ=-3.𝛽𝛼+𝛼𝛽=𝛼2+𝛽2𝛼𝛽=(𝛼+𝛽)2-2𝛼𝛽𝛼𝛽=-232+6-3=-5827,故本题选C.方法总结本题考查了一元二次方程根与系数的关系,求含一元二次方程根的代数式常常利用根与系数的关系,可以方便快捷的解题.x1x2=𝑐𝑎,x1+x2=-𝑏𝑎考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考法必研突破考法1考法2考法3考法4对应练7(2018·宁夏)若2-是方程x2-4x+c=0的一个根,则c的值是(A)3A.1B.3-3C.1+3D.2+3解析:由根与系数的关系知,方程的另一个根为4-(2-3)=2+3.故c=(2-3)(2+3)=1.考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考法必研突破考法1考法2考法3考法4对应练8(2018·湖北咸宁)已知一元二次方程2x2+2x-1=0的两个根为x1,x2,且x1x2,下列结论正确的是(D)A.x1+x2=1B.x1·x2=-1C.|x1||x2|D.𝑥12+x1=12解析:由根与系数的关系可得x1+x2=-22=-1,x1x2=-12=-12,故A、B错误;由x1+x20,x1x20可得x10,x20,∵x1x2,∴|x1||x2|,故C错误;∵x1是一元二次方程2x2+2x-1=0的一个根,∴2𝑥12+2x1-1=0,∴𝑥12+x1=12,故D正确.考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考法必研突破考法1考法2考法3考法4对应练9(2018·江苏南京)设x1、x2是一元二次方程x2-mx-6=0的两个根,且x1+x2=1,则x1=-2,x2=3.解析:∵x1、x2是一元二次方程x2-mx-6=0的两个根,且x1+x2=1,∴m=1.∴原方程为x2-x-6=0,即(x+2)(x-3)=0,解得:x1=-2,x2=3.故答案为:-2,3.考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考法必研突破考法1考法2考法3考法4考法4一元二次方程的应用例4(2018·贵州安顺)某地2015年为做好“精准扶贫”,投入资金1280万元用于异地安置,并规划投入资金逐年增加,2017年在2015年的基础上增加投入资金1600万元.(1)从2015年到2017年,该地投入异地安置资金的年平均增长率为多少?(2)在2017年异地安置的具体实施中,该地计划投入资金不低于500万元用于优先搬迁租房奖励,规定前1000户(含第1000户)每户每天奖励8元,1000户以后每户每天奖励5元,按租房400天计算,求2017年该地至少有多少户享受到优先搬迁租房奖励.考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考法必研突破考法1考法2考法3考法4解:(1)设该地投入异地安置资金的年平均增长率为x,根据题意得1280(1+x)2=1280+1600,解得x=0.5或x=-2.5(舍).答:从2015年到2017年,该地投入异地安置资金的年平均增长率为50%.(2)设2017年该地有a户享受到优先搬迁租房奖励,∵8×1000×400=32000005000000,∴a1000.根据题意得1000×8×400+(a-1000)×5×400≥5000000,解得a≥1900.答:2017年该地至少有1900户享受到优先搬迁租房奖励.考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考法必研突破考法1考法2考法3考法4方法总结本题考查了增长(或降低)率问题,是列一元二次方程解实际问题最常见的题型之一,对于平均增长率问题,