（江苏专用）2020版高考数学总复习 第十三章 第三节 复合函数的导数课件 苏教版

第三节复合函数的导数复合函数教材研读考点一复合函数导数的综合应用考点突破 由函数y=f(u)与u=g(x)复合所得的函数y=f[g(x)]即为复合函数,它的导数可通过公式y'x=y'u·u'x来求.特别地,若u=ax+b,则有f'(ax+b)=a·f'(x). 教材研读解析设f(x)=sin2x,则f'(x)=2cos2x,曲线在点P(π,0)处的切线的斜率为f'(π)=2cos2π=2,故切线方程为y=2(x-π).1.(教材习题改编)求曲线y=sin2x在点P(π,0)处的切线方程.2.已知函数f(x)=ln(ex+1)-ax(a0).(1)若函数y=f(x)的导函数是奇函数,求a的值;(2)求函数y=f(x)的单调区间.解析(1)函数f(x)的定义域为R.由题意得f'(x)= -a.∵函数y=f(x)的导函数是奇函数,∴f'(-x)=-f'(x),即 -a=- +a,解得a= .(2)由(1)知f'(x)= -a=1- -a.ee1xxee1xxee1xx12ee1xx1e1x当a≥1时,f'(x)0恒成立,∴a∈[1,+∞)时,函数y=f(x)在R上单调递减.当0a1时,由f'(x)0得(1-a)(ex+1)1,即ex-1+ ,解得xln .由f'(x)0得(1-a)(ex+1)1,即ex-1+ ,解得xln .∴a∈(0,1)时,函数y=f(x)在 上单调递增,在 上单调递减.11a1aa11a1aaln,1aa,ln1aa考点一复合函数导数的综合应用典例1设b0,函数f(x)= (ax+1)2- x+ lnbx,记F(x)=f'(x)(f'(x)是函数f(x)的导函数),且当x=1时,F(x)取得极小值2.(1)求函数F(x)的单调增区间;(2)证明:|[F(x)]n|-|F(xn)|≥2n-2(n∈N*).12ab1b1b考点突破解析(1)由题意知F(x)=f'(x)= ·2(ax+1)·a- + =  ,x0.则F'(x)=  .若a0,则F'(x)0,与F(x)有极小值矛盾,所以a0.令F'(x)=0,因为x0,所以当且仅当x= 时,F(x)取得极小值2.则 解得 12ab1b1bx1b1axx1b21ax1a11,1(1)2,aab1,1.ab故F(x)=x+ ,F'(x)=1- (x0).由F'(x)0,得x1,所以函数F(x)的单调增区间为(1,+∞).(2)证明:记g(x)=|[F(x)]n|-|F(xn)|.因为x0,所以g(x)=[F(x)]n-F(xn)= - = xn-1· + xn-2· + xn-3· +…+ x· .因为 xn-r· + xr· ≥2 (r=1,2,…,n-1),所以2g(x)≥2( + + +…+ )=2(2n-2),即g(x)≥2n-2.1x21x1nxx1nnxx1Cn1x2Cn21x3Cn31x1Cnn11nxCrn1rxCnrn1nrxCrn1Cn2Cn3Cn1Cnn故|[F(x)]n|-|F(xn)|≥2n-2(n∈N*).典例2(2019江苏三校模拟)设函数f(x)=(ax+1)e-x(a∈R).(1)当a0时,求函数f(x)的单调递增区间;(2)对任意的x∈[0,+∞),f(x)≤x+1恒成立,求实数a的取值范围.解析(1)当a0时,f'(x)=a·e-x-(ax+1)·e-x=a·e-x· ,由于e-x0,a0,所以令f'(x)≥0,得x≤ .所以当a0时,f(x)的单调递增区间是 .(2)令h(x)=(ax+1)e-x-x-1,则f(x)≤x+1对于任意的x∈[0,+∞)恒成立等价于h(x)≤0在x∈[0,+∞)恒成立.(i)若a≤0,则当x≥0时,ax+1≤1,0e-x≤1⇒f(x)≤1,而x+1≥1,即f(x)≤x+1恒成立.1axa1aa1,aa(ii)若0a≤2,则h'(x)=e-x(a-1-ax)-1.当x≥0时,令t(x)=a-1-ax,由t(x)是减函数,知t(x)max=t(0)=a-1≤1,又e-x≤1,所以h'(x)≤0,h(x)在[0,+∞)上是减函数,所以当x≥0时,h(x)≤h(0)=0.(iii)若a2,则h'(0)=e-0(a-1-a×0)-1=a-20,h'(1)=e-1(a-1-a)-1=-e-1-10.所以h'(x)=0在(0,1)上有零点.当x∈(0,1)时,设g(x)=h'(x),则g'(x)=e-x(ax+1-2a)e-x(1-a)0,所以h'(x)在x∈(0,1)上是减函数,即h'(x)=0在(0,1)上有唯一的零点x0,且在(0,x0)上,h'(x)0,h(x)在(0,x0)上为增函数,则x∈(0,x0)时,h(x)h(0)=0,所以f(x)x+1,不符合题意.综上可得,符合题意的a的取值范围是(-∞,2].方法技巧复合函数导数的综合应用问题和一般函数导数的综合应用问题的解题方法大致相同.1-1已知函数f(x)=ln(ax+1)+ ,x≥0,其中a0.(1)若f(x)在x=1处取得极值,求a的值;(2)若f(x)的最小值为1,求a的取值范围.11xx解析(1)f'(x)= - = .因为f(x)在x=1处取得极值,故f'(1)=0,解得a=1.(2)由(1)知f'(x)= .因为x≥0,a0,故ax+10,1+x0.当a≥2时,在[0,+∞)上f'(x)≥0,故f(x)在[0,+∞)上单调递增,1aax22(1)x222(1)(1)axaaxx222(1)(1)axaaxx则f(x)的最小值为f(0)=1;当0a2时,由f'(x)0,解得x ,由f'(x)0,解得x ,则f(x)的单调减区间为 ,单调增区间为 .故f(x)在x= 处取得最小值.2aa2aa20,aa2,aa2aa又f f(0)=1,故与f(x)的最小值为1矛盾.综上可知,a的取值范围是[2,+∞).2aa考点突破