（江苏专用）2020版高考数学一轮复习 第十九章 计数原理 19.2 二项式定理课件

§19.2二项式定理高考数学(江苏省专用)五年高考A组自主命题·江苏卷题组考点二项式定理(2019江苏,22,10分)设(1+x)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn,n≥4,n∈N*,已知 =2a2a4.(1)求n的值;(2)设(1+ )n=a+b ,其中a,b∈N*,求a2-3b2的值.23a33解析本题主要考查二项式定理、组合数等基础知识,考查分析问题能力与运算求解能力.满分10分.(1)因为(1+x)n= + x+ x2+…+ xn,n≥4,所以a2= = ,a3= = ,a4= = .因为 =2a2a4,所以 =2× × .解得n=5.(2)由(1)知,n=5.(1+ )n=(1+ )5= +  + ( )2+ ( )3+ ( )4+ ( )5=a+b .解法一:因为a,b∈N*,所以a= +3 +9 =76,b= +3 +9 =44,0Cn1Cn2CnCnn2Cn(1)2nn3Cn(1)(2)6nnn4Cn(1)(2)(3)24nnnn23a2(1)(2)6nnn(1)2nn(1)(2)(3)24nnnn3305C15C325C335C345C355C3305C25C45C15C35C55C从而a2-3b2=762-3×442=-32.解法二:(1- )5= + (- )+ (- )2+ (- )3+ (- )4+ (- )5= -  + ( )2- ( )3+ ( )4- ( )5.因为a,b∈N*,所以(1- )5=a-b .因此a2-3b2=(a+b )(a-b )=(1+ )5×(1- )5=(-2)5=-32.305C15C325C335C345C355C305C15C325C335C345C355C3333333B组统一命题、省(区、市)卷题组考点二项式定理1.(2019课标全国Ⅲ理改编,4,5分)(1+2x2)(1+x)4的展开式中x3的系数为.答案12解析本题考查二项式定理的应用,通过求解二项展开式中指定项的系数考查学生对公式的运用能力,考查了数学运算的核心素养.(1+x)4的二项展开式的通项为Tk+1= xk(k=0,1,2,3,4),故(1+2x2)(1+x)4的展开式中x3的系数为 +2 =12.4Ck34C14C解题关键掌握多项式乘法的展开式,熟记二项展开式的通项是解决本题的关键.2.(2019天津理,10,5分) 的展开式中的常数项为.83128xx答案28解析本题考查二项展开式的通项,通过二项展开式中指定项的求解考查学生的运算能力,从而体现运算法则及运算对象选择的素养要素.二项展开式的通项公式为Tk+1= (2x)8-k =(-1)k· 28-k·2-3k·x8-4k=(-1)k· ·28-4k·x8-4k,令8-4k=0,得k=2,即T3=(-1)2× ×20= =28,故常数项为28.8Ck318kx8Ck8Ck28C28C解题关键熟记二项展开式的通项公式是求解本题的关键.3.(2019浙江,13,6分)在二项式( +x)9的展开式中,常数项是,系数为有理数的项的个数是.2答案16 ;52解析本题主要考查二项式展开式的通项公式的运用,通过通项公式的化简和运算确定其中的特定项,以此考查学生数学运算的能力和核心素养,以及用方程思想解决求值问题的能力.( +x)9展开式的通项Tr+1= ( )9-rxr= · ·xr(r=0,1,2,…,9),令r=0,得常数项T1= · ·x0= =16 ,要使系数为有理数,则只需 ∈Z,则r必为奇数,满足条件的r有1,3,5,7,9,共五种,故系数为有理数的项的个数是5.29Cr29Cr922r09C922922292r解后反思二项式的展开式中特定项的确定需写出其通项公式,并化简整理,根据特定项的特点列方程确定r的值,进而可求解特定项.4.(2018课标全国Ⅲ理改编,5,5分) 的展开式中x4的系数为.522xx答案40解析本题考查二项式定理. 的展开式的通项Tr+1= (x2)5-r·(2x-1)r=2r ·x10-3r,令10-3r=4,得r=2,所以x4的系数为22× =40.522xx5Cr5Cr25C5.(2018天津理,10,5分)在 的展开式中,x2的系数为.512xx答案 52解析本题主要考查二项展开式特定项的系数.由题意得Tr+1= x5-r =   ,令5- =2,得r=2,所以  =  = .故x2的系数为 .5Cr12rx12r5Cr352rx32r12r5Cr21225C5252方法总结求二项展开式中的某一项的系数时,直接利用展开式的通项Tr+1= an-rbr进行求解.Crn6.(2018浙江,14,4分)二项式 的展开式的常数项是.8312xx答案7解析本题考查二项式定理,二项展开式的通项和相关计算. 的展开式的通项Tk+1=  · ·x-k=  · ,要使Tk+1为常数,则 =0,∴k=2,此时T3= × =7,故展开式的常数项为7.8312xx8Ck83kx12k12k8Ck843kx843k21228C思路分析(1)求出二项展开式的通项.(2)令通项中x的指数为0,得k的值.(3)计算此时的Tk+1.7.(2017课标全国Ⅰ理改编,6,5分) (1+x)6展开式中x2的系数为.211x答案30解析本题考查二项展开式中的系数问题,考查学生应用二项式定理解决与展开式系数有关问题的能力和运算求解能力.解法一: (1+x)6=1·(1+x)6+ ·(1+x)6,(1+x)6的展开式中的x2的系数为 =15, ·(1+x)6的展开式中的x2的系数为 =15,所以所求展开式中x2的系数为15+15=30.解法二:因为 (1+x)6= ,所以 (1+x)6展开式中x2的系数等于(1+x2)(1+x)6展开式中x4的系数,而(1+x2)(1+x)6展开式中x4的系数为 + =30,故 (1+x)6展开式中x2的系数为30.解法三:因为 (1+x)6= = - ,所以 (1+x)6展开式中x2的系数为 -2 =30.211x21x26C21x46C211x262(1)(1)xxx211x46C26C211x211x2662(12)(1)2(1)xxxxxx82(1)xx62(1)xx211x48C36C8.(2017课标全国Ⅲ理改编,4,5分)(x+y)(2x-y)5的展开式中x3y3的系数为.答案40解析本题考查二项式定理,求特定项的系数.(2x-y)5的展开式的通项为Tr+1= ·(2x)5-r·(-y)r=(-1)r·25-r ·x5-ryr.其中x2y3项的系数为(-1)3·22· =-40,x3y2项的系数为(-1)2·23· =80.于是(x+y)(2x-y)5的展开式中x3y3的系数为-40+80=40.5Cr5Cr35C25C9.(2017山东理,11,5分)已知(1+3x)n的展开式中含有x2项的系数是54,则n=.答案4解析本题主要考查二项展开式.(1+3x)n的展开式的通项Tr+1= 3rxr,∴含有x2项的系数为 32=54,∴n=4.Crn2Cn10.(2017浙江,13,6分)已知多项式(x+1)3(x+2)2=x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x+a5,则a4=,a5=.答案16;4解析本题考查二项式定理,求指定项系数,组合数计算,考查运算求解能力.设(x+1)3=x3+b1x2+b2x+b3,(x+2)2=x2+c1x+c2.则a4=b2c2+b3c1= ×12×22+13× ×2=16,a5=b3c2=13×22=4.23C12C11.(2015安徽,11,5分) 的展开式中x5的系数是.(用数字填写答案)731xx答案35解析展开式的通项为Tk+1= (x3)7-k·x-k= x21-4k,令21-4k=5,得k=4,则展开式中x5的系数为 =35.7Ck7Ck47C12.(2016四川理改编,2,5分)设i为虚数单位,则(x+i)6的展开式中含x4的项为.答案-15x4解析T3= x4i2=-15x4.26C易错警示易误认为i2=1而致错.评析正确应用二项展开式的通项是解题的关键.13.(2015重庆,12,5分) 的展开式中x8的系数是(用数字作答).5312xx答案 52解析二项展开式的通项为Tr+1= (x3)5-r· =  · ,令15-3r- =8,得r=2,于是展开式中x8的系数为 × = ×10= .5Cr12rx12r5Cr1532rrx2r21225C145214.(2015陕西改编,4,5分)二项式(x+1)n(n∈N+)的展开式中x2的系数为15,则n=.答案6解析因为(x+1)n的展开式中x2的系数为 ,所以 =15,即 =15,亦即n2-n=30,解得n=6(n=-5舍).2Cnn2Cnn2Cn15.(2015湖南改编,6,5分)已知 的展开式中含 的项的系数为30,则a=.5axx32x答案-6解析 的展开式的通项为Tr+1= ( )5-r· =(-a)r · .依题意,令5-2r=3,得r=1,∴(-a)1· =30,a=-6.5axx5Crxrax5Cr522rx15C16.(2015湖北改编,3,5分)已知(1+x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等,则奇数项的二项式系数和为.答案29解析∵(1+x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数分别为 , ,∴ = ,得n=10.从而有 + + + +…+ =210,又 + +…+ = + +…+ ,∴奇数项的二项式系数和为 + +…+ =29.3Cn7Cn3Cn7Cn010C110C210C310C1010C010C210C1010C110C310C910C010C210C1010C评析本题考查求二项展开式的二项式系数及其性质、组合数性质,考查运算求解能力.1.(2014浙江改编,5,5分)在(1+x)6(1+y)4的展开式中,记xmyn项的系数为f(m,n),则f(3,0)+f(2,1)+f(1,2)+f(0,3)=.C组教师专用题组答案120解析在(1+x)6的展开式中,xm的系数为 ,在(1+y)4的展开式中,yn的系数为 ,故f(m,n)= · .从而f(3,0)= =20,f(2,1)= · =60,f(1,2)= · =36,f(0,3)= =4,所以f(3,0)+f(2,1)+f(1,2)+f(0,3)=120.6Cm4Cn6Cm4Cn36C26C14C16C24C34C2.(2014安徽,13,5分)设a≠0,n是大于1的自然数, 的展开式为a0+a1x+a2x2+…+anxn.若点Ai(i,ai)(i=0,1,2)的位置如图所示,则a=. 1nxa答案3解析根据题意知a0=1,a1=3,a2=4,结合二项式定理得 即 解得a=3.1221C3,1C4,nnaa3,81,3nana3.(2014山东,14,5分)若 的展开式中x3项的系数为20,则a2+b2的最小值为.62baxx答案2解析Tr+1= (ax2)6-r = a6-rbrx12-3r,令12-3r=3,则r=3.∴ a3b3=20,即ab=1.∴a2+b2≥2ab=2,即a2+b2的最小值为2.6Crrbx6Cr36C评析本题考查二项式定理及基本不等式的综合应用.考查学生推理论证及运算求解能力.4.(2014课标全国Ⅱ,13,5分)(x+a)10的展开式中,x7的系数为15,则a=.(用数字填写答案)答案 12解