（江苏专用）2020版高考数学一轮复习 第二章 函数 2.5 函数与方程课件

§2.5函数与方程高考数学(江苏省专用)五年高考A组自主命题·江苏卷题组1.(2019江苏,14,5分)设f(x),g(x)是定义在R上的两个周期函数,f(x)的周期为4,g(x)的周期为2,且f(x)是奇函数.当x∈(0,2]时,f(x)= ,g(x)= 其中k0.若在区间(0,9]上,关于x的方程f(x)=g(x)有8个不同的实数根,则k的取值范围是.21(1)x(2),01,1,12,2kxxx答案 12,34解析本题考查函数的奇偶性、周期性、直线与圆的位置关系等知识,考查学生的逻辑推理能力和运算求解能力,考查的核心素养为逻辑推理、直观想象和数学运算.根据函数f(x)的周期性及奇偶性作图,如图所示. 由图知,当x∈(0,2]时,g(x)与f(x)的图象在x轴上方有2个公共点,当x∈(2,4]时,g(x)与f(x)的图象在x轴下方有1个公共点,由f(x)与g(x)的周期性知,当x∈(4,8]时,g(x)与f(x)的图象有3个公共点,当x∈(8,9]时,g(x)与f(x)的图象有2个公共点.当y=k(x+2)与y= (0x≤2)的图象相切时,求得k= ,当直线y=k(x+2)过(1,1)时,k= ,∴ ≤k .21(1)x24131324从而在(0,9]上,f(x)=g(x)有8个不同实数根时,k的取值范围是 .12,342.(2017江苏,14,5分)设f(x)是定义在R上且周期为1的函数,在区间[0,1)上,f(x)= 其中集合D= ,则方程f(x)-lgx=0的解的个数是.2,,,,xxDxxD*n1,Nnxxn答案8解析解法一:由于f(x)∈[0,1),则只需考虑1≤x10的情况,在此范围内,x∈Q且x∉Z时,设x= ,p,q∈N*,p≥2且p,q互质,若lgx∈Q,则由lgx∈[0,1),可设lgx= ,m,n∈N*,m≥2且m,n互质,因此1 = ,则10n= ,此时等号左边为整数,等号右边为非整数,矛盾.因此lgx∉Q,因此lgx不可能与每个周期内x∈D对应的部分相等,只需考虑lgx与每个周期内x∉D对应的部分的交点.画出函数草图,图中交点除(1,0)外,其他交点的横坐标均为无理数,且x=1处(lgx)'= = 1,则在x=1附近仅有一个交点,因此方程解的个数为8. qpnm0nmqpmqp1ln10x1ln10解法二:先证明结论:1 ≠k- ,其中p,q∈N*且p,q互质,k,n∈N*.假设1 =k- ,则10q= .左边是整数,而右边不是整数,矛盾.则1 ≠k- ,则原方程即f(x)-lg(x+k)=0,其中k∈N*,x∈[0,1),该方程即k=10f(x)-x.当x∈D时,该方程有唯一解x=0,此时k=1,由于函数y=10x-x在(0,1)上单调递增,因此,当x∉D时,k=2,3,4,5,6,7,8均满足该方程有唯一解.综上所述,方程的解的个数为8.0qp1n0qp1n1pnkn0qp1n3.(2015江苏,13,5分)已知函数f(x)=|lnx|,g(x)= 则方程|f(x)+g(x)|=1实根的个数为.20,01,|4|2,1,xxx答案4解析由|f(x)+g(x)|=1可得f(x)+g(x)=±1,即g(x)=-f(x)±1,则原问题等价于函数y=g(x)与y=-f(x)+1或y=g(x)与y=-f(x)-1的图象的交点个数问题,在同一坐标系中作出y=g(x),y=-f(x)+1及y=-f(x)-1的图象,如图: 由图可知,函数y=g(x)的图象与函数y=-f(x)+1的图象有2个交点,与函数y=-f(x)-1的图象有2个交点,则方程|f(x)+g(x)|=1实根的个数为4.名师点睛一些对数型方程不能直接求出其零点,常通过平移、对称变换转化为相应的函数图象问题,利用数形结合法将方程根的个数转化为对应函数零点个数,而函数零点个数的判断通常转化为两函数图象交点的个数.这时函数图象是解题关键,不仅要研究其走势(单调性、极值点、渐近线等),而且要明确其变化速度快慢.B组统一命题、省(区、市)卷题组考点一集合及其关系1.(2019天津文改编,8,5分)已知函数f(x)= 若关于x的方程f(x)=- x+a(a∈R)恰有两个互异的实数解,则a的取值范围为.2,01,1,1.xxxx14答案 ∪{1}59,44解析本题以分段函数和方程的解的个数为背景,考查函数图象的画法及应用.画出函数y=f(x)的图象,如图.方程f(x)=- x+a的解的个数,即为函数y=f(x)的图象与直线l:y=- x+a的公共点的个数.当直线l经过点A时,有2=- ×1+a,a= ;当直线l经过点B时,有1=- ×1+a,a= .141414941454由图可知,a∈ 时,函数y=f(x)的图象与l恰有两个交点.另外,当直线l与曲线y= ,x1相切时,恰有两个公共点,此时a0.联立 得 =- x+a,即 x2-ax+1=0,由Δ=a2-4× ×1=0,得a=1(舍去负根).综上,a∈ ∪{1}.59,441x1,1,4yxyxa1x14141459,44一题多解令g(x)=f(x)+ x= 当0≤x≤1时,g(x)=2 + 为增函数,其值域为 ;当x1时,g(x)= + ,对g(x)求导得g'(x)=- + ,令g'(x)=0,得x=2,当x∈(1,2)时,g'(x)0,g(x)单调递减,当x∈(2,+∞)时,g'(x)0,g(x)单调递增,∴当x=2时,g(x)min=g(2)=1,函数g(x)的简图如图所示: 方程f(x)=- x+a恰有两个互异的实数解,即函数y=g(x)的图象与直线y=a有两个不同的交点,由图可知 ≤a≤ 或a=1满足条件.142(01),41(1),4xxxxxxx4x90,41x4x21x14145494易错警示本题入手时,容易分段研究方程2 =- x+a(0≤x≤1)与 =- x+a(x1)的解,陷入相对复杂的运算过程.利用数形结合时,容易在区间的端点处出现误判.x141x142.(2018课标全国Ⅰ理改编,9,5分)已知函数f(x)= g(x)=f(x)+x+a.若g(x)存在2个零点,则a的取值范围是.e,0,ln,0,xxxx答案[-1,+∞)解析本题主要考查函数的零点及函数的图象.g(x)=f(x)+x+a存在2个零点等价于函数f(x)= 与h(x)=-x-a的图象存在2个交点,如图, 当x=0时,h(0)=-a,由图可知要满足y=f(x)与y=h(x)的图象存在2个交点,需要-a≤1,即a≥-1.e,0,ln,0xxxx方法总结已知函数零点的个数求参数范围的方法已知函数零点的个数求参数范围,常利用数形结合法将其转化为两个函数的图象的交点个数问题,需准确画出两个函数的图象,利用图象写出满足条件的参数范围.3.(2018天津理,14,5分)已知a0,函数f(x)= 若关于x的方程f(x)=ax恰有2个互异的实数解,则a的取值范围是.222,0,22,0.xaxaxxaxax答案(4,8)解析本题主要考查函数零点的应用.设g(x)=f(x)-ax= 方程f(x)=ax恰有2个互异的实数解即函数y=g(x)有两个零点,即y=g(x)的图象与x轴有2个交点,满足条件的y=g(x)的图象有以下两种情况:情况一: 则 ∴4a8.22,0,2,0,xaxaxxaxax212240,80,ΔaaΔaa情况二: 则 不等式组无解.综上,满足条件的a的取值范围是(4,8).212240,80,ΔaaΔaa解题策略解决方程的根的问题时,通常转化为函数的零点问题,进而转化为函数图象的交点问题;解决函数图象的交点问题时,常用数形结合的方法,以“形”助“数”,直观简捷.4.(2016天津,14,5分)已知函数f(x)= (a0,且a≠1)在R上单调递减,且关于x的方程|f(x)|=2- 恰有两个不相等的实数解,则a的取值范围是.2(43)3,0,log(1)1,0axaxaxxx3x答案 12,33解析∵函数f(x)在R上单调递减,∴ 解得 ≤a≤ .在同一直角坐标系下作出函数y=|f(x)|与y=2- 的图象,如图所示. 方程|f(x)|=2- 恰有两个不相等的实数解等价于y=|f(x)|的图象与y=2- 的图象恰有两个交点,则430,201,31,aaa13343x3x3x需满足3a2,得a ,综上可知, ≤a .231323易错警示(1)f(x)在R上单调递减,需满足 缺少条件是失分的一个原因;(2)由方程解的个数求参数范围往往利用数形结合思想将问题转化为两个函数图象交点个数的问题是解决这类问题常用的方法.430,201,31,aaa评析本题主要考查分段函数的单调性及函数与方程,利用数形结合思想,将方程解的个数问题转化为求两个函数图象交点个数的问题,这是求解这类问题的常用方法.5.(2015北京,14,5分)设函数f(x)= ①若a=1,则f(x)的最小值为;②若f(x)恰有2个零点,则实数a的取值范围是.2,1,4()(2),1.xaxxaxax　　　　答案①-1② ∪[2,+∞)1,12解析①当a=1时,f(x)= 其大致图象如图所示: 由图可知f(x)的最小值为-1.②当a≤0时,显然函数f(x)无零点;当0a1时,易知f(x)在(-∞,1)上有一个零点,要使f(x)恰有2个零点,则当x≥1时,f(x)有且只有一个零点,结合图象可知,2a≥1,即a≥ ,则 ≤a1;当a≥1时,2a1,由二次函数的性质可知,当x≥1时,f(x)有2个零点,则要使f(x)恰有2个零点,则需要f(x)在(-∞,1)上无零点,则2-a≤0,即a≥2.综上可知,满足条件的a的取值范围是 ∪[2,+∞).21,1,4(1)(2),1,xxxxx12121,126.(2015天津改编,8,5分)已知函数f(x)= 函数g(x)=b-f(2-x),其中b∈R.若函数y=f(x)-g(x)恰有4个零点,则b的取值范围是.22||,2,(2),2,xxxx　答案 7,24解析由已知条件可得g(x)= 函数y=f(x),y=g(x)的图象如图所示: 要使y=f(x)-g(x)恰有4个零点,只需y=f(x)与y=g(x)的图象恰有4个不同的交点,需满足 在x0时有两个不同的解,即x2+x+2-b=0有两个不同的负根,则 解得 b2;同时要满足 在x2时有两个不同的解,即x2-5x+8-b=0有两个大于2的不同实根,令22|2|,0,,0.bxxbxx22,yxybx14(2)0,20,Δbb742(2),22yxybxh(x)=x2-5x+8-b,需 即 解得 b2.综上所述,满足条件的b的取值范围是 b2.(2)0,50,2hh20,2580,4bb7474C组教师专用题组1.(2015湖南,15,5分)已知函数f(x)= 若存在实数b,使函数g(x)=f(x)-b有两个零点,则a的取值范围是.32,,,.xxaxxa答案(-∞,0)∪(1,+∞)解析当a0时,若x∈(a,+∞),则f(x)=x2,当b∈(0,a2)时,函数g(x)=f(x)-b有两个零点,分别是x1=- ,x2= .当0≤a≤1时,f(x)的图象如图所示, 易知函数y=f(x)-b最多有一个零点.当