（江苏专用）2020版高考数学大一轮复习 第五章 平面向量、复数 5.4 平面向量的综合应用课件

§5.4平面向量的综合应用第五章平面向量、复数KAOQINGKAOXIANGFENXI考情考向分析主要考查平面向量与函数、三角函数、不等式、数列、解析几何等综合性问题，求参数范围、最值等问题是考查的热点，一般以填空题的形式出现，偶尔会出现在解答题中，属于中档题.NEIRONGSUOYIN内容索引基础知识自主学习题型分类深度剖析课时作业1基础知识自主学习PARTONE知识梳理1.向量在平面几何中的应用(1)用向量解决常见平面几何问题的技巧：ZHISHISHULI问题类型所用知识公式表示线平行、点共线等问题共线向量定理a∥b⇔______⇔__________________，其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a≠0垂直问题数量积的运算性质a⊥b⇔_________⇔___________________，其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且a，b为非零向量a＝λbx1y2－x2y1＝0a·b＝0x1x2＋y1y2＝0夹角问题数量积的定义cosθ＝(θ为向量a，b的夹角)，其中a，b为非零向量长度问题数量积的定义|a|＝＝，其中a＝(x，y)，a为非零向量a·b|a||b|a2x2＋y2平面几何问题———→设向量向量问题——→运算解决向量问题——→还原解决几何问题.(2)用向量方法解决平面几何问题的步骤2.向量在解析几何中的应用向量在解析几何中的应用，是以解析几何中的坐标为背景的一种向量描述.它主要强调向量的坐标问题，进而利用直线和圆锥曲线的位置关系的相关知识来解答，坐标的运算是考查的主体.3.平面向量在物理中的应用(1)由于物理学中的力、速度、位移都是，它们的分解与合成与向量的相似，可以用向量的知识来解决.(2)物理学中的功是一个标量，是力F与位移s的数量积，即W＝F·s＝|F||s|cosθ(θ为F与s的夹角).矢量加法和减法4.向量与相关知识的交汇平面向量作为一种工具，常与函数(三角函数)、解析几何结合，常通过向量的线性运算与数量积，向量的共线与垂直求解相关问题.【概念方法微思考】1.根据你对向量知识的理解，你认为可以利用向量方法解决哪些几何问题？提示(1)线段的长度问题.(2)直线或线段平行问题.(3)直线或线段垂直问题.(4)角的问题等.2.如何用向量解决平面几何问题？提示用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题然后通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题，最后把运算结果“翻译”成几何关系.(4)已知平面直角坐标系内有三个定点A(－2，－1)，B(0，10)，C(8,0)，若动点P满足：OP→＝OA→＋t(AB→＋AC→)，t∈R，则点P的轨迹方程是x－y＋1＝0.()基础自测JICHUZICE题组一思考辨析123456(1)若AB→∥AC→，则A，B，C三点共线.()1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)√(2)在△ABC中，若AB→·BC→0，则△ABC为钝角三角形.()×(3)若平面四边形ABCD满足AB→＋CD→＝0，(AB→－AD→)·AC→＝0，则该四边形一定是菱形.()√√题组二教材改编1234565122.[P89练习T15]已知向量a＝(5,12)，b＝(sinα，cosα)，若a∥b，则tanα＝____.123456解析依题意得AB→＝(2，－2)，AC→＝(－4，－8)，BC→＝(－6，－6)，3.[P88T8]已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(3，4)，B(5,2)，C(－1，－4)，则该三角形为_____三角形.直角则|AB→|＝22＋－22＝22，|AC→|＝16＋64＝45，|BC→|＝36＋36＝62，由于|AB→|2＋|BC→|2＝|AC→|2，所以△ABC为直角三角形.题组三易错自纠1234564.在△ABC中，已知AB→＝(2,3)，AC→＝(1，k)，且△ABC的一个内角为直角，则实数k的值为_______________.－23或113或3±1321234565.在四边形ABCD中，AC→＝(1,2)，BD→＝(－4,2)，则该四边形的面积为_____.5解析依题意得AC→·BD→＝1×(－4)＋2×2＝0，所以AC→⊥BD→，所以四边形ABCD的面积为12|AC→|·|BD→|＝12×5×20＝5.故AO→·AP→的最大值为6.6.已知点P在圆x2＋y2＝1上，点A的坐标为(－2,0)，O为坐标原点，则AO→·AP→的最大值为_____.1234566解析方法一由题意知，AO→＝(2,0)，令P(cosα，sinα)，则AP→＝(cosα＋2，sinα).AO→·AP→＝(2,0)·(cosα＋2，sinα)＝2cosα＋4≤6，故AO→·AP→的最大值为6.方法二由题意知，AO→＝(2,0)，令P(x，y)，－1≤x≤1，则AO→·AP→＝(2,0)·(x＋2，y)＝2x＋4≤6，2题型分类深度剖析PARTTWO题型一向量在平面几何中的应用自主演练例1(1)在△ABC中，AB＝2AC＝6，BA→·BC→＝BA→2，点P是△ABC所在平面内一点，则当PA→2＋PB→2＋PC→2取得最小值时，AP→·BC→＝______.－9(2)(2019·江苏省扬州中学月考)已知点O在△ABC所在平面内，且AB＝4，AO＝3，(OA→＋OB→)·AB→＝0，(OA→＋OC→)·AC→＝0，则AB→·AC→取得最大值时线段BC的长度是________.6思维升华向量与平面几何综合问题的解法(1)坐标法把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示.(2)基向量法适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量间的关系构造关于未知量的方程进行求解.跟踪训练1(1)若动点P满足OP→＝OA→＋λAB→|AB→|＋AC→|AC→|，λ∈(0，＋∞)，则点P的轨迹一定通过△ABC的______.内心(2)在△ABC中，BC边上的中线AD的长为2，点P是△ABC所在平面上的任意一点，则PA→·PB→＋PA→·PC→的最小值为_____.－2题型二向量在解析几何中的应用师生共研例2(2019·江苏南通启东中学期初)如图，在平面直角坐标系中，已知射线y＝3x(x≥0)与射线y＝－3x(x≥0)，过点M(1,0)作直线l分别交两射线于点A，B(不同于原点O).(1)当OA＋OB取得最小值时，求直线l的方程；(2)求MA2＋MB2的最小值；解MA2＋MB2＝(a－1)2＋3a2＋(b－1)2＋3b2＝4(a2＋b2)－2(a＋b)＋2＝4(a＋b)2－2(a＋b)－8ab＋2＝4(a＋b)2－6(a＋b)＋2＝4a＋b－342－14，因为a＋b＝2ab≤2a＋b22，所以a＋b≥2，当且仅当a＝b＝1时取得等号，所以当a＋b＝2时，MA2＋MB2取得最小值6.解MA·MB＝－MA→·MB→＝－(a－1)(b－1)＋3ab(3)求MA·MB的最小值.＝2ab＋a＋b－1＝2(a＋b)－1＝(a＋b)1a＋1b－1＝2＋ab＋ba－1≥3，当且仅当a＝b＝1时取得等号，所以MA·MB的最小值为3.思维升华向量在解析几何中的“两个”作用(1)载体作用：向量在解析几何问题中出现，多用于“包装”，关键是利用向量的意义、运算脱去“向量外衣”，导出曲线上点的坐标之间的关系，从而解决有关距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题.(2)工具作用：利用a⊥b⇔a·b＝0(a，b为非零向量)，a∥b⇔b＝λa(a≠0)，可解决垂直、平行问题，特别地，向量垂直、平行的坐标表示对于解决解析几何中的垂直、平行问题是一种比较简捷的方法.跟踪训练2(2017·江苏)在平面直角坐标系xOy中，A(－12，0)，B(0，6)，点P在圆O：x2＋y2＝50上，若PA→·PB→≤20，则点P的横坐标的取值范围是___________.[－52，1]题型三向量的其他应用多维探究例3(1)已知O是坐标原点，点A(－1,2)，若点M(x，y)为平面区域x＋y≥2，x≤1，y≤2上的一个动点，则OA→·OM→的取值范围是________.命题点1向量在不等式中的应用[1,4](2)(2019·盐城模拟)如图给定两个长度为1的平面向量OA→和OB→，它们的夹角为120°，点C在以O为圆心的上变动，若OC→＝xOA→＋yOB→，其中x，y∈R，则x＋y的最大值为____.»AB2例4在△ABC中，若|AC→|＝23，且AB→·cosC＋BC→·cosA＝AC→·sinB.命题点2向量在解三角形中的应用(1)求角B的大小；S△ABC＝12|AC→||BC→|sinπ6＝12×23×2×12＝3.解由(1)知，A＝C＝π6，(2)求△ABC的面积.由正弦定理，得|AC→|sin2π3＝|BC→|sinπ6，所以|BC→|＝2，思维升华利用向量的载体作用，可以将向量与三角函数、不等式结合起来，解题时通过定义或坐标运算进行转化，使问题的条件结论明晰化.跟踪训练3在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，已知向量m＝cosB，2cos2C2－1，n＝(c，b－2a)，且m·n＝0.(1)求∠C的大小；由①②得ab＝8，所以S△ABC＝12absin∠ACB＝23.(2)若点D为边AB上一点，且满足AD→＝DB→，|CD→|＝7，c＝23，求△ABC的面积.解由AD→＝DB→知，CD→－CA→＝CB→－CD→，所以2CD→＝CA→＋CB→，两边平方得4|CD→|2＝b2＋a2＋2bacos∠ACB＝b2＋a2＋ba＝28.①又c2＝a2＋b2－2abcos∠ACB，所以a2＋b2－ab＝12.②3课时作业PARTTHREE1.在菱形ABCD中，若AC＝4，则CA→·AB→＝_____.基础保分练12345678910111213141516－8解析设∠CAB＝θ，AB＝BC＝a，由余弦定理得a2＝16＋a2－8acosθ，∴acosθ＝2，∴CA→·AB→＝4×a×cos(π－θ)＝－4acosθ＝－8.123456789101112131415162.(2018·南京调研)设向量a，b，c均为单位向量，且2a＝b－3c，则向量a，b的夹角等于____.π3解析根据向量a，b，c均为单位向量，且2a＝b－3c，所以2a－b＝－3c，两边平方得4＋1－4a·b＝3，所以a·b＝12，所以cos〈a，b〉＝a·b|a|·|b|＝12，又因为向量夹角的取值范围为[0，π]，所以向量a，b的夹角为π3.123456789101112131415163.在△ABC中，(BC→＋BA→)·AC→＝|AC→|2，则△ABC的形状一定是_____三角形.直角解析由(BC→＋BA→)·AC→＝|AC→|2，得AC→·(BC→＋BA→－AC→)＝0，即AC→·(BC→＋BA→＋CA→)＝0，2AC→·BA→＝0，∴AC→⊥BA→，∴A＝90°.又根据已知条件不能得到|AB→|＝|AC→|，故△ABC一定是直角三角形.12345678910111213141516即4|b|2＋4×2|b|2cosθ＝0，∴cosθ＝－12.4.已知|a|＝2|b|，|b|≠0，且关于x的方程x2＋|a|x－a·b＝0有两相等实根，则向量a与b的夹角是_____.2π3解析由已知可得Δ＝|a|2＋4a·b＝0，又∵θ∈[0，π]，∴θ＝2π3.123456789101112131415165.在▱ABCD中，|AB→|＝8，|AD→|＝6，N为DC的中点，BM→＝2MC→，则AM→·NM→＝____.24解析AM→·NM→＝(AB→＋BM→)·(NC→＋CM→)＝AB→＋23AD→·12AB→－13AD→＝12AB→2－29AD→2＝12×82－29×62＝24.123456789101112131415166.已知非零向量a，b满足|a|＝2|b|，若函数f(x)＝13x3