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§4.2同角三角函数基本关系式及诱导公式第四章三角函数、解三角形KAOQINGKAOXIANGFENXI考情考向分析考查利用同角三角函数的基本关系、诱导公式解决条件求值问题,常与三角恒等变换相结合起到化简三角函数关系的作用,强调利用三角公式进行恒等变形的技能以及基本的运算能力.题型为填空题,低档难度.NEIRONGSUOYIN内容索引基础知识自主学习题型分类深度剖析课时作业1基础知识自主学习PARTONE知识梳理1.同角三角函数的基本关系ZHISHISHULI(1)平方关系:.(2)商数关系:.sin2α+cos2α=1sinαcosα=tanαα≠π2+kπ,k∈Z2.三角函数的诱导公式公式一二三四五六角2kπ+α(k∈Z)-απ-απ+α-α+α正弦sinα___________________________余弦cosα____________________________正切tanα______-tanα_____口诀函数名不变,符号看象限函数名改变,符号看象限π2π2-sinαcosα-tanαsinα-cosα-sinαcosαcosα-cosαsinα-sinαtanα【概念方法微思考】1.使用平方关系求三角函数值时,怎样确定三角函数值的符号?提示根据角所在象限确定三角函数值的符号.2.诱导公式记忆口诀:“奇变偶不变,符号看象限”中的奇、偶是何意义?提示所有诱导公式均可看作k·±α(k∈Z)和α的三角函数值之间的关系,口诀中的奇、偶指的是此处的k是奇数还是偶数.π2(4)若sin(kπ-α)=13(k∈Z),则sinα=13.()基础自测JICHUZICE题组一思考辨析123456(2)若α∈R,则tanα=sinαcosα恒成立.()1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若α,β为锐角,则sin2α+cos2β=1.()(3)sin(π+α)=-sinα成立的条件是α为锐角.()××××7题组二教材改编1234562.[P18T3]若sinα=55,π2απ,则tanα=.-12解析∵π2απ,∴cosα=-1-sin2α=-255,∴tanα=sinαcosα=-12.71234563.[P22T1]已知tanα=2,则sinα+cosαsinα-cosα的值为.3解析原式=tanα+1tanα-1=2+12-1=3.71234564.[P22T4]化简cosα-π2sin5π2+α·sin(α-π)·cos(2π-α)的结果为.-sin2α解析原式=sinαcosα·(-sinα)·cosα=-sin2α.7题组三易错自纠1234565.已知sinθ+cosθ=43,θ∈0,π4,则sinθ-cosθ的值为.-23解析∵sinθ+cosθ=43,∴sinθcosθ=718.又∵(sinθ-cosθ)2=1-2sinθcosθ=29,θ∈0,π4,∴sinθ-cosθ=-23.76.已知α为锐角,cos32π+α=45,则cos(π+α)=.123456-35解析∵cos32π+α=sinα=45,且α为锐角,∴cosα=35,∴cos(π+α)=-cosα=-35.77.已知cosα=15,-π2α0,则cosπ2+αtanα+πcos-αtanα的值为.123456612解析∵-π2α0,∴sinα=-1-152=-256,∴tanα=-26.则cosπ2+αtanα+πcos-αtanα=-sinαtanα·cosα·tanα=-1tanα=126=612.72题型分类深度剖析PARTTWO题型一同角三角函数基本关系式的应用自主演练1.已知α是第四象限角,sinα=-1213,则tanα=.-125解析因为α是第四象限角,sinα=-1213,所以cosα=1-sin2α=513,故tanα=sinαcosα=-125.2.若tanα=34,则cos2α+2sin2α=.6425解析tanα=34,则cos2α+2sin2α=cos2α+2sin2αcos2α+sin2α=1+4tanα1+tan2α=6425.3.若角α的终边落在第三象限,则cosα1-sin2α+2sinα1-cos2α的值为.-3解析由角α的终边落在第三象限,得sinα0,cosα0,故原式=cosα|cosα|+2sinα|sinα|=cosα-cosα+2sinα-sinα=-1-2=-3.4.已知sinα-cosα=2,α∈(0,π),则tanα=.-1解析由sinα-cosα=2,sin2α+cos2α=1,消去sinα,得2cos2α+22cosα+1=0,即(2cosα+1)2=0,∴cosα=-22.又α∈(0,π),∴α=3π4,∴tanα=tan3π4=-1.思维升华(1)利用sin2α+cos2α=1可实现正弦、余弦的互化,开方时要根据角α所在象限确定符号;利用=tanα可以实现角α的弦切互化.(2)应用公式时注意方程思想的应用:对于sinα+cosα,sinαcosα,sinα-cosα这三个式子,利用(sinα±cosα)2=1±2sinαcosα,可以知一求二.(3)注意公式逆用及变形应用:1=sin2α+cos2α,sin2α=1-cos2α,cos2α=1-sin2α.sinαcosα题型二诱导公式的应用师生共研例1(1)已知A=sinkπ+αsinα+coskπ+αcosα(k∈Z),则A的值构成的集合是.{2,-2}解析当k为偶数时,A=sinαsinα+cosαcosα=2;当k为奇数时,A=-sinαsinα-cosαcosα=-2.∴A的值构成的集合是{2,-2}.=-tanαcosαsinα=-sinαcosα·cosαsinα=-1.(2)化简:tanπ+αcos2π+αsinα-3π2cos-α-3πsin-3π-α=.-1解析原式=tanαcosαsin-2π+α+π2cos3π+α[-sin3π+α]=tanαcosαsinπ2+α-cosαsinα=tanαcosαcosα-cosαsinα思维升华(1)诱导公式的两个应用①求值:负化正,大化小,化到锐角为终了.②化简:统一角,统一名,同角名少为终了.(2)含2π整数倍的诱导公式的应用由终边相同的角的关系可知,在计算含有2π的整数倍的三角函数式中可直接将2π的整数倍去掉后再进行运算.如cos(5π-α)=cos(π-α)=-cosα.跟踪训练1(1)已知角θ的顶点在坐标原点,始边与x轴非负半轴重合,终边在直线3x-y=0上,则sin3π2+θ+2cosπ-θsinπ2-θ-sinπ-θ=.解析由已知得tanθ=3,32∴sin3π2+θ+2cosπ-θsinπ2-θ-sinπ-θ=-cosθ-2cosθcosθ-sinθ=-31-tanθ=32.∴f-23π6=1tan-23π6=1tan-4π+π6=1tanπ6=3.(2)已知f(α)=2sinπ+αcosπ-α-cosπ+α1+sin2α+cos3π2+α-sin2π2+α(sinα≠0,1+2sinα≠0),则f-23π6=.3解析∵f(α)=-2sinα-cosα+cosα1+sin2α+sinα-cos2α=2sinαcosα+cosα2sin2α+sinα=cosα1+2sinαsinα1+2sinα=1tanα,题型三同角三角函数基本关系式和诱导公式的综合应用师生共研例2(1)已知α为锐角,且2tan(π-α)-3cosπ2+β+5=0,tan(π+α)+6sin(π+β)-1=0,则sinα的值是.31010解析由已知可得-2tanα+3sinβ+5=0,tanα-6sinβ-1=0,解得tanα=3,又α为锐角,sin2α+cos2α=1,故sinα=31010.(2)已知-πx0,sin(π+x)-cosx=-15.①求sinx-cosx的值;解由已知,得sinx+cosx=15,两边平方得sin2x+2sinxcosx+cos2x=125,整理得2sinxcosx=-2425.∵(sinx-cosx)2=1-2sinxcosx=4925,由-πx0知,sinx0,又sinxcosx=-12250,∴cosx0,∴sinx-cosx0,故sinx-cosx=-75.②求sin2x+2sin2x1-tanx的值.解sin2x+2sin2x1-tanx=2sinxcosx+sinx1-sinxcosx=2sinxcosxcosx+sinxcosx-sinx=-2425×1575=-24175.引申探究解若0xπ,又2sinxcosx=-2425,本例(2)中若将条件“-πx0”改为“0xπ”,求sinx-cosx的值.∴sinx0,cosx0,∴sinx-cosx0,故sinx-cosx=75.思维升华(1)利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时,关键是寻求条件、结论间的联系,灵活使用公式进行变形.(2)注意角的范围对三角函数符号的影响.跟踪训练2(1)(2018·南京模拟)已知角θ的终边在第三象限,tan2θ=-22,则sin2θ+sin(3π-θ)cos(2π+θ)-2cos2θ=.23(2)已知sinα=255,则tan(π+α)+sin5π2+αcos5π2-α=.52或-523课时作业PARTTHREE又α是第四象限角,所以sinα=-513.1.已知α是第四象限角,tanα=-512,则sinα=.基础保分练12345678910111213141516-513解析因为tanα=-512,所以sinαcosα=-512,所以cosα=-125sinα,代入sin2α+cos2α=1,解得sinα=±513,所以sinα+π2=cosα=-45.123456789101112131415162.已知tan(α-π)=34,且α∈π2,3π2,则sinα+π2=.-45解析tan(α-π)=tanα=34,由sinαcosα=34,sin2α+cos2α=1,解得cosα=±45.又因为α∈π2,3π2,所以cosα=-45,12345678910111213141516解析由题意可得,2cos2x-3cosx-2=0,解得cosx=-12或cosx=2(舍去).3.满足等式cos2x-1=3cosx(x∈[0,π])的x的值为.2π3又x∈[0,π],故x=2π3.123456789101112131415164.sin43π·cos56π·tan-43π的值是.-334解析原式=sinπ+π3·cosπ-π6·tan-π-π3=-sinπ3·-cosπ6·-tanπ3=-32×-32×(-3)=-334.=0+12-12+12=12.123456789101112131415165.(2019·江苏省扬州中学月考)设函数f(x)满足f(x+π)=f(x)+sinx,当0≤x≤π时,f(x)=0,则f23π6=.12解析∵函数f(x)(x∈R)满足f(x+π)=f(x)+sinx,当0
本文标题:(江苏专用)2020版高考数学大一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 4.2 同角三角函数基本关系式
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