（江苏专用）2020版高考数学大一轮复习 第十一章 计数原理、随机变量及其概率分布 11.2 排列与

§11.2排列与组合第十一章计数原理、随机变量及其概率分布KAOQINGKAOXIANGFENXI考情考向分析以理解和应用排列、组合的概念为主，常常以实际问题为载体，考查分类讨论思想，考查分析、解决问题的能力，题型以解答题为主，难度为中档.NEIRONGSUOYIN内容索引基础知识自主学习题型分类深度剖析课时作业1基础知识自主学习PARTONE知识梳理1.排列与组合的概念ZHISHISHULI名称定义排列从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素按照___________排成一列组合合成一组一定的顺序2.排列数与组合数(1)排列数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的_________的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用____表示.(2)组合数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的_________的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用____表示.AmnCmn所有排列所有组合(4)Cmn＝Cn－mn；Cmn＋1＝__________(1)Amn＝________________________＝n！n－m！(2)Cmn＝AmnAmm＝nn－1n－2…n－m＋1m！＝____________公式性质(3)0！＝__；A＝___3.排列数、组合数的公式及性质n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)n！m！n－m！1n！Cmn＋Cm－1n【概念方法微思考】提示(1)排列数与组合数之间的联系为CmnAmm＝Amn.1.排列问题和组合问题的区别是什么？提示元素之间与顺序有关的为排列，与顺序无关的为组合.2.排列数与组合数公式之间有何关系？它们公式都有两种形式，如何选择使用？(2)两种形式分别为：①连乘积形式；②阶乘形式.前者多用于数字计算，后者多用于含有字母的排列数式子的变形与论证.3.解排列组合综合应用问题的思路有哪些？提示解排列组合综合应用题要从“分析”“分辨”“分类”“分步”的角度入手.“分析”是找出题目的条件、结论，哪些是“元素”，哪些是“位置”；“分辨”就是辨别是排列还是组合，对某些元素的位置有无限制等；“分类”就是对于较复杂的应用题中的元素往往分成互相排斥的几类，然后逐类解决；“分步”就是把问题化成几个相互联系的步骤，而每一步都是简单的排列组合问题，然后逐步解决.基础自测JICHUZICE题组一思考辨析123456(4)若组合式Cxn＝Cmn，则x＝m成立.()(5)kCkn＝nCk－1n－1.()1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列.()(2)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同.()(3)(n＋1)！－n！＝n·n！.()×√√×√题组二教材改编2.[P29习题T5]6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为___.123456解析“插空法”，先排3个空位，形成4个空隙供3人选择就座，因此任何两人不相邻的坐法种数为＝4×3×2＝24.A3424123456解析从4名男教师和5名女教师中各选2名教师开设公开课，所有的选法种数是C24×C25＝60.3.[P24习题T7]某校拟从4名男教师和5名女教师中各选2名教师开设公开课，则男教师A和女教师B至少有一名被选中的不同选法的种数是____.42男教师A和女教师B都没有被选中的选法种数是C23×C24＝18，故男教师A和女教师B至少有一名被选中的不同选法的种数是60－18＝42.题组三易错自纠4.六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有_____种.123456解析第一类：甲在最左端，有A55＝5×4×3×2×1＝120(种)排法；所以共有120＋96＝216(种)排法.216第二类：乙在最左端，甲不在最右端，有4A44＝4×4×3×2×1＝96(种)排法.123456解析依题意，选派方案分为三类：①一个国家派4名，另两个国家各派1名，有C46C12C11A22·A33＝90(种)；5.为发展国外孔子学院，教育部选派6名中文教师到泰国、马来西亚、缅甸任教中文，若每个国家至少去一人，则不同的选派方案种数为_____.540②一个国家派3名，一个国家派2名，一个国家派1名，有C36C23C11A33＝360(种)；③每个国家各派2名，有C26C24C22A33·A33＝90(种)，故不同的选派方案种数为90＋360＋90＝540.6.寒假里5名同学结伴乘动车外出旅游，实名制购票，每人一座，恰在同一排A，B，C，D，E五个座位(一排共五个座位)，上车后五人在这五个座位上随意坐，则恰有一人坐对与自己车票相符座位的坐法有____种.(用数字作答)12345645解析设5名同学也用A，B，C，D，E来表示，若恰有一人坐对与自己车票相符的坐法，设E同学坐在自己的座位上，则其他四位都不坐自己的座位，则有BADC，BDAC，BCDA，CADB，CDAB，CDBA，DABC，DCAB，DCBA，共9种坐法，则恰有一人坐对与自己车票相符座位的坐法有9×5＝45(种).2题型分类深度剖析PARTTWO题型一排列问题自主演练解析根据题意知，要求这个五位数比20000大，则首位必须是2,3,4,5这4个数字中的一个，当首位是3时，百位数不是数字3，符合要求的五位数有＝24(个)；A441.用1,2,3,4,5这五个数字，可以组成比20000大，并且百位数不是数字3的没有重复数字的五位数，共有____个.78当首位是2,4,5时，由于百位数不能是数字3，则符合要求的五位数有3×(A44－A33)＝54(个)，因此共有54＋24＝78(个)这样的五位数符合要求.解析由题意知两两彼此给对方写一条毕业留言相当于从40人中任选两人的排列数，所以全班共写了A240＝40×39＝1560(条)留言.2.某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方写一条毕业留言，那么全班共写了______条毕业留言.(用数字作答)15603.6名同学站成1排照相，要求同学甲既不站在最左边又不站在最右边，共有_____种不同站法.480思维升华排列应用问题的分类与解法(1)对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法，在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法.(2)对相邻问题采用捆绑法、不相邻问题采用插空法、定序问题采用倍缩法是解决有限制条件的排列问题的常用方法.题型二组合问题师生共研第一步，选3名男运动员，有C36种选法；例1男运动员6名，女运动员4名，其中男、女队长各1名.现选派5人外出参加比赛，在下列情形中各有多少种选派方法？(1)男运动员3名，女运动员2名；解分两步完成：第二步，选2名女运动员，有C24种选法.由分步计数原理可得，共有C36·C24＝120(种)选法.由分类计数原理可得总选法共有C14C46＋C24C36＋C34C26＋C44C16＝246(种).(2)至少有1名女运动员；解方法一“至少有1名女运动员”包括以下四种情况：1女4男，2女3男，3女2男，4女1男.方法二“至少有1名女运动员”的反面为“全是男运动员”，可用间接法求解.从10人中任选5人有C510种选法，其中全是男运动员的选法有C56种.所以“至少有1名女运动员”的选法有C510－C56＝246(种).“只有男队长”的选法种数为C48；(3)队长中至少有1人参加；解方法一(直接法)可分类求解：“只有女队长”的选法种数为C48；“男、女队长都入选”的选法种数为C38，所以共有2C48＋C38＝196(种)选法.方法二(间接法)从10人中任选5人有C510种选法，其中不选队长的方法有C58种.所以“至少有1名队长”的选法有C510－C58＝196(种).解当有女队长时，其他人任意选，共有C49种选法；(4)既要有队长，又要有女运动员.当不选女队长时，必选男队长，共有C48种选法，其中不含女运动员的选法有C45种，所以不选女队长时的选法共有(C48－C45)种.所以既要有队长又要有女运动员的选法共有C49＋C48－C45＝191(种).思维升华组合问题常有以下两类题型变化：(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取.(2)“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解.用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理.解从余下的34种商品中，选取2种有C234＝561(种)取法，跟踪训练1某市工商局对35种商品进行抽样检查，已知其中有15种假货.现从35种商品中选取3种.(1)其中某一种假货必须在内，不同的取法有多少种？∴某一种假货必须在内的不同取法有561种.解从34种可选商品中，选取3种，有C334种或者C335－C234＝C334＝5984(种)取法.(2)其中某一种假货不能在内，不同的取法有多少种？∴某一种假货不能在内的不同取法有5984种.解从20种真货中选取1种，从15种假货中选取2种有C120C215＝2100(种)取法.(3)恰有2种假货在内，不同的取法有多少种？∴恰有2种假货在内的不同的取法有2100种.解选取2种假货有C120C215种，选取3种假货有C315种，共有选取方式C120C215＋C315＝2100＋455＝2555(种).(4)至少有2种假货在内，不同的取法有多少种？∴至少有2种假货在内的不同的取法有2555种.选取3种的总数为C335，因此共有选取方式(5)至多有2种假货在内，不同的取法有多少种？解方法一(间接法)C335－C315＝6545－455＝6090(种).∴至多有2种假货在内的不同的取法有6090种.方法二(直接法)选取3种真货有C320种，选取2种真货有C220C115种，选取1种真货有C120C215种，因此共有选取方式C320＋C220C115＋C120C215＝6090(种).∴至多有2种假货在内的不同的取法有6090种.题型三组合数的性质师生共研例2(2016·江苏)(1)求7C36－4C47的值；解7C36－4C47＝7×20－4×35＝0.(2)设m，n∈N*，n≥m，求证：(m＋1)Cmm＋(m＋2)Cmm＋1＋(m＋3)Cmm＋2＋…＋nCmn－1＋(n＋1)Cmn＝(m＋1)Cm＋2n＋2.思维升华(1)组合数的性质可结合实际问题理解记忆.(2)利用kCkn＝nCk－1n－1和Cmn＋1＝Cm－1n＋Cmn可有效解决一些常见组合数的求和问题.跟踪训练2已知m，n∈N*，定义fn(m)＝nn－1n－2…n－m＋1m！.(1)求f4(2)，f4(5)的值；解f4(2)＝4×32！＝6，f4(5)＝4×3×2×1×05！＝0.(2)证明：k＝12n[k·2kfn(k)]＝2n·3n－1.命题点1相邻问题题型四排列与组合的综合问题多维探究例3为配合足球国家战略，教育部特派6名相关专业技术人员到甲、乙、丙三所足校进行专业技术培训，每所学校至少一人，其中王教练不去甲校的分配方案有____种.360例4某次联欢会要安排3个歌舞类节目，2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是____.120命题点2相间问题命题点3特殊元素(位置)问题例5大数据时代出现了滴滴打车服务，二胎政策的放开使得家庭中有两个孩子的现象普遍存在.某城市关系要好的A，B，C，D四个家庭各有两个孩子共8人，他们准备使用滴滴打车软件，分乘甲、乙两辆汽车出去游玩，每车限坐4名(乘同一辆车的4个孩子不考虑位置)，其中A家庭的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的4个孩子恰有2个来自于同一个家庭的乘坐方式共有____种.24思维升华解排列、组合问题要遵循的两个原则①按元素(位置)的性质进行分类；②按事情发生的过程进行分步.具体