（江苏专用）2020版高考数学大一轮复习 第十二章 系列4选讲 12.3 不等式选讲（第1课时）绝对

第1课时绝对值不等式第十二章§12.3不等式选讲KAOQINGKAOXIANGFENXI考情考向分析本节考查热点为绝对值不等式的解法及证明.在高考中主要以解答题的形式考查，属于低档题.NEIRONGSUOYIN内容索引基础知识自主学习题型分类深度剖析课时作业1基础知识自主学习PARTONE知识梳理1.绝对值不等式的解法(1)含有绝对值的不等式|x|a与|x|a的解集ZHISHISHULI不等式a0a＝0a0|x|a________∅∅|x|a(－∞，－a)∪(a，＋∞)(－∞，0)∪(0，＋∞)R(－a，a)(2)|ax＋b|≤c(c0)和|ax＋b|≥c(c0)型不等式的解法①|ax＋b|≤c⇔______________；②|ax＋b|≥c⇔_____________________.(3)|x－a|＋|x－b|≥c(c0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c0)型不等式的解法①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想.－c≤ax＋b≤cax＋b≥c或ax＋b≤－c2.含有绝对值的不等式的性质(1)如果a，b是实数，则________≤|a±b|≤_______.(2)如果a，b，c是实数，那么___________________，当且仅当_______________时，等号成立.||a|－|b|||a|＋|b||a－c|≤|a－b|＋|b－c|(a－b)(b－c)≥0基础自测JICHUZICE题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若|x|c的解集为R，则c≤0.()(2)不等式|x－1|＋|x＋2|2的解集为∅.()(3)对|a＋b|≥|a|－|b|当且仅当ab0时等号成立.()(4)对|a|－|b|≤|a－b|当且仅当|a|≥|b|时等号成立.()(5)对|a－b|≤|a|＋|b|当且仅当ab≤0时等号成立.()123456×√××√7题组二教材改编2.[P6例3]不等式3≤|5－2x|9的解集为_____________.123456解析由题意得|2x－5|9，|2x－5|≥3，(－2,1]∪[4,7)即－92x－59，2x－5≥3或2x－5≤－3，解得－2x7，x≥4或x≤1，不等式的解集为(－2,1]∪[4,7).71234563.[P6例4]求不等式|x－1|－|x－5|2的解集.解①当x≤1时，原不等式可化为1－x－(5－x)2，∴－42，不等式恒成立，∴x≤1；②当1x5时，原不等式可化为x－1－(5－x)2，∴x4，∴1x4；③当x≥5时，原不等式可化为x－1－(x－5)2，该不等式不成立.综上，原不等式的解集为(－∞，4).7解由绝对值不等式的几何性质知，|x－4|＋|x－3|≥|(x－4)－(x－3)|＝1，当且仅当(x－4)(x－3)≤0时，等号成立.所以函数y＝|x－4|＋|x－3|的最小值为1.因为原不等式有实数解，所以a的取值范围是(1，＋∞).1234564.[P6例4]若存在实数x满足不等式|x－4|＋|x－3|a，求实数a的取值范围.7123456题组三易错自纠5.若函数f(x)＝|x＋1|＋2|x－a|的最小值为5，则实数a＝_______.4或－676.若存在实数x，使|x－a|＋|x－1|≤3成立，则实数a的取值范围是_______.123456[－2,4]解析∵|x－a|＋|x－1|≥|(x－a)－(x－1)|＝|a－1|，要使|x－a|＋|x－1|≤3有解，可使|a－1|≤3，∴－3≤a－1≤3，∴－2≤a≤4.77.若不等式|2x－1|＋|x＋2|≥a2＋12a＋2对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为________.－1，1212345672题型分类深度剖析PARTTWO题型一绝对值不等式的解法自主演练1.已知函数f(x)＝－x2＋ax＋4，g(x)＝|x＋1|＋|x－1|.(1)当a＝1时，求不等式f(x)≥g(x)的解集；(2)若不等式f(x)≥g(x)的解集包含[－1,1]，求a的取值范围.解当x∈[－1,1]时，g(x)＝2，所以f(x)≥g(x)的解集包含[－1,1]等价于当x∈[－1,1]时，f(x)≥2.又f(x)在[－1,1]上的最小值必为f(－1)与f(1)之一，所以f(－1)≥2且f(1)≥2，得－1≤a≤1.所以a的取值范围为[－1,1].2.已知函数f(x)＝|x－a|，其中a1.(1)当a＝2时，求不等式f(x)≥4－|x－4|的解集；则h(x)＝－2a，x≤0，4x－2a，0xa，2a，x≥a.(2)已知关于x的不等式|f(2x＋a)－2f(x)|≤2的解集为{x|1≤x≤2}，求a的值.解记h(x)＝f(2x＋a)－2f(x)，由|h(x)|≤2，解得a－12≤x≤a＋12.又已知|h(x)|≤2的解集为{x|1≤x≤2}，所以a－12＝1，a＋12＝2，解得a＝3.思维升华解绝对值不等式的基本方法(1)利用绝对值的定义，通过分类讨论转化为解不含绝对值符号的普通不等式.(2)当不等式两端均为正号时，可通过两边平方的方法，转化为解不含绝对值符号的普通不等式.(3)利用绝对值的几何意义，数形结合求解.题型二利用绝对值不等式求最值师生共研例1(1)对任意x，y∈R，求|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1|的最小值；解∵x，y∈R，∴|x－1|＋|x|≥|(x－1)－x|＝1，当且仅当0≤x≤1时等号成立.∴|y－1|＋|y＋1|≥|(y－1)－(y＋1)|＝2，当且仅当－1≤y≤1时等号成式.∴|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1|≥1＋2＝3，当且仅当0≤x≤1，－1≤y≤1同时成立时等号成立.∴|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1|的最小值为3.(2)对于实数x，y，若|x－1|≤1，|y－2|≤1，求|x－2y＋1|的最大值.解|x－2y＋1|＝|(x－1)－2(y－1)|≤|x－1|＋|2(y－2)＋2|≤1＋2|y－2|＋2≤5，即|x－2y＋1|的最大值为5.思维升华求含绝对值的函数最值时，常用的方法有三种(1)利用绝对值的几何意义.(2)利用绝对值三角不等式，即|a|＋|b|≥|a±b|≥||a|－|b||.(3)利用零点分区间法.(1)求|2a＋b|＋|2a－b||a|的最小值；跟踪训练1(2018·镇江模拟)已知a和b是任意非零实数.解∵|2a＋b|＋|2a－b||a|≥|2a＋b＋2a－b||a|＝|4a||a|＝4，当且仅当(2a＋b)(2a－b)≥0时等号成立，∴|2a＋b|＋|2a－b||a|的最小值为4.即|2＋x|＋|2－x|≤|2a＋b|＋|2a－b||a|恒成立，(2)若不等式|2a＋b|＋|2a－b|≥|a|(|2＋x|＋|2－x|)恒成立，求实数x的取值范围.解若不等式|2a＋b|＋|2a－b|≥|a|(|2＋x|＋|2－x|)恒成立，故|2＋x|＋|2－x|≤|2a＋b|＋|2a－b||a|min.由(1)可知，|2a＋b|＋|2a－b||a|的最小值为4，∴x的取值范围即为不等式|2＋x|＋|2－x|≤4的解集.解不等式得－2≤x≤2，故实数x的取值范围为[－2,2].题型三绝对值不等式的综合应用师生共研例2已知函数f(x)＝|x－a|＋12a(a≠0).(1)若不等式f(x)－f(x＋m)≤1恒成立，求实数m的最大值；解∵f(x)＝|x－a|＋12a(a≠0)，∴f(x＋m)＝|x＋m－a|＋12a，∴f(x)－f(x＋m)＝|x－a|－|x＋m－a|≤1，又|x－a|－|x＋m－a|≤|m|，∴|m|≤1，∴－1≤m≤1，∴实数m的最大值为1.(2)当a时，函数g(x)＝f(x)＋|2x－1|有零点，求实数a的取值范围.12思维升华(1)解决与绝对值有关的综合问题的关键是去掉绝对值，化为分段函数来解决.(2)数形结合是解决与绝对值不等式有关的综合问题的常用方法.跟踪训练2已知函数f(x)＝|x＋1|－|x－2|.(1)求不等式f(x)≥1的解集；解f(x)＝－3，x－1，2x－1，－1≤x≤2，3，x2.当x－1时，f(x)≥1无解；当－1≤x≤2时，由f(x)≥1，得2x－1≥1，解得1≤x≤2；当x2时，由f(x)≥1，解得x2，所以f(x)≥1的解集为{x|x≥1}.解由f(x)≥x2－x＋m，得m≤|x＋1|－|x－2|－x2＋x.而|x＋1|－|x－2|－x2＋x≤|x|＋1＋|x|－2－x2＋|x|(2)若不等式f(x)≥x2－x＋m的解集非空，求m的取值范围.＝－|x|－322＋54≤54，当x＝32时，|x＋1|－|x－2|－x2＋x＝54.故m的取值范围为－∞，54.3课时作业PARTTHREE1.解不等式|x－1|＋|x＋2|≥5.基础保分练1234567891011121234567891011122.已知a≥2，x∈R.求证：|x－1＋a|＋|x－a|≥3.证明因为|m|＋|n|≥|m－n|，所以|x－1＋a|＋|x－a|≥|x－1＋a－(x－a)|＝|2a－1|.又a≥2，故|2a－1|≥3.所以|x－1＋a|＋|x－a|≥3.1234567891011123.若不等式log2(|x＋1|＋|x－2|－m)≥2恒成立，求实数m的取值范围.解由题意，知|x＋1|＋|x－2|－m≥4恒成立，即m≤(|x＋1|＋|x－2|－4)min.又因为|x＋1|＋|x－2|－4≥|(x＋1)－(x－2)|－4＝－1，当且仅当－1≤x≤2时等号成立.所以m≤－1.即实数m的取值范围为(－∞，－1].即|4a－3b＋2|的最大值为6，所以m≥|4a－3b＋2|max＝6.即实数m的取值范围为[6，＋∞).123456789101112所以|3a－3b|≤3，a－12≤12，4.对于任意实数a，b，已知|a－b|≤1，|2a－1|≤1，且恒有|4a－3b＋2|≤m，求实数m的取值范围.解因为|a－b|≤1，|2a－1|≤1，所以|4a－3b＋2|＝3a－3b＋a－12＋52≤|3a－3b|＋a－12＋52≤3＋12＋52＝6，1234567891011125.已知函数f(x)＝|x－a|＋|x＋a|，若对任意x∈R，不等式f(x)a2－3恒成立，求实数a的取值范围.解∵对任意x∈R，不等式f(x)a2－3恒成立，∴f(x)mina2－3，又∵|x－a|＋|x＋a|≥|x－a－(x＋a)|＝|2a|，∴|2a|a2－3，即|a|2－2|a|－30，解得－1|a|3.∴－3a3.1234567891011126.已知函数f(x)＝|x＋1|－2|x－a|，a0.(1)当a＝1时，求不等式f(x)1的解集；解当a＝1时，f(x)1化为|x＋1|－2|x－1|－10.当x≤－1时，不等式化为x－40，无解；当x≥1时，不等式化为－x＋20，解得1≤x2.所以f(x)1的解集为x23x2.当－1x1时，不等式化为3x－20，解得23x1；解由题意可得，f(x)＝x－1－2a，x－1，3x＋1－2a，－1≤x≤a，－x＋1＋2a，xa.(2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围.所以函数f(x)的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A2a－13，0，B(2a＋1,0)，C(a，a＋1)，△ABC的面积为23(a＋1)2.由题意得23(a＋1)26，故a2.所以a的取值范围为(2，＋∞).1234567891011121