（江苏专用）2020版高考数学大一轮复习 第七章 不等式、推理与证明、数学归纳法 7.7 数学归纳法

§7.7数学归纳法第七章不等式、推理与证明、数学归纳法KAOQINGKAOXIANGFENXI考情考向分析高考要求理解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的命题，以附加题形式在高考中出现，难度为中高档．NEIRONGSUOYIN内容索引基础知识自主学习题型分类深度剖析课时作业1基础知识自主学习PARTONE知识梳理1.由一系列有限的_________得出_____________的推理方法，通常叫做归纳法.2.用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题时，其步骤如下：(1)归纳奠基：证明取第一个自然数n0时命题成立；(2)归纳递推：假设n＝k(k∈N*，k≥n0)时命题成立，证明当n＝k＋1时，命题成立；(3)由(1)(2)得出结论.ZHISHISHULI特殊现象一般性的结论【概念方法微思考】1.用数学归纳法证明命题时，n取第1个值n0，是否n0就是1?提示n0是对命题成立的第1个正整数，不一定是1.如证明n边形的内角和时，n≥3.2.用数学归纳法证明命题时，归纳假设不用可以吗？提示不可以，用数学归纳法证明命题，必须用到归纳假设.基础自测JICHUZICE题组一思考辨析1234561.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明.()(2)不论是等式还是不等式，用数学归纳法证明时，由n＝k到n＝k＋1时，项数都增加了一项.()(3)用数学归纳法证明等式“1＋2＋22＋…＋2n＋2＝2n＋3－1”，验证n＝1时，左边式子应为1＋2＋22＋23.()(4)用数学归纳法证明凸n边形的内角和公式时，n0＝3.()××√√题组二教材改编1234562.[P94习题T7]用数学归纳法证明1＋12＋13＋…＋12n－1n(n∈N*，n1)时，第一步应验证___________.1＋12＋132∴n取的第一个数为2，左端分母最大的项为122－1＝13.解析∵n∈N*，n1，1234563.[P103T13]在数列{an}中，a1＝，且Sn＝n(2n－1)an，通过求a2，a3，a4，猜想an的表达式为__________________.13an＝12n－12n＋11234564.[P105T13]已知a1＝12，an＋1＝3anan＋3，则a2，a3，a4，a5的值分别为____________.由此猜想an＝________.37，38，13，310解析a2＝3a1a1＋3＝3×1212＋3＝37＝32＋5，3n＋5同理a3＝3a2a2＋3＝38＝33＋5，a4＝39＝34＋5，a5＝310＝35＋5，又a1＝31＋5＝12，符合以上规律.故猜想an＝3n＋5.1234565.用数学归纳法证明1＋a＋a2＋…＋an＋1＝1－an＋21－a(a≠1，n∈N*)，在验证n＝1时，等式左边的项是_________.1＋a＋a2解析当n＝1时，n＋1＝2，∴左边＝1＋a1＋a2＝1＋a＋a2.题组三易错自纠1234566.用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋2n＝2n－1＋22n－1(n∈N*)时，假设当n＝k时命题成立，则当n＝k＋1时，左端增加的项数是____.2k解析运用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋2n＝2n－1＋22n－1(n∈N*).当n＝k时，则有1＋2＋3＋…＋2k＝2k－1＋22k－1(k∈N*)，左边表示的为2k项的和.当n＝k＋1时，左边＝1＋2＋3＋…＋2k＋(2k＋1)＋…＋2k＋1，表示的为2k＋1项的和，增加了2k＋1－2k＝2k项.2题型分类深度剖析PARTTWO题型一用数学归纳法证明等式自主演练1.用数学归纳法证明：12×4＋14×6＋16×8＋…＋12n2n＋2＝n4n＋1(n∈N*).2.用数学归纳法证明：1－12＋13－14＋…＋12n－1－12n＝1n＋1＋1n＋2＋…＋12n(n∈N*).思维升华用数学归纳法证明等式时应注意：(1)明确初始值n0的取值；(2)由n＝k证明n＝k＋1时，弄清左边增加的项，明确变形目标；(3)变形时常用的几种方法：①因式分解；②添拆项；③配方法.题型二证明不等式师生共研例1若函数f(x)＝x2－2x－3，定义数列{xn}如下：x1＝2，xn＋1是过点P(4,5)，Qn(xn，f(xn))(n∈N*)的直线PQn与x轴的交点的横坐标，试运用数学归纳法证明：2≤xnxn＋13.思维升华数学归纳法证明不等式的适用范围及关键(1)适用范围：当遇到与正整数n有关的不等式证明时，若用其他办法不容易证，则应考虑用数学归纳法.(2)关键：由n＝k时命题成立证n＝k＋1时命题也成立，在归纳假设使用后可运用比较法、综合法、分析法、放缩法等来加以证明，充分应用基本不等式、不等式的性质等放缩技巧，使问题得以简化.跟踪训练1用数学归纳法证明不等式：1n＋1n＋1＋1n＋2＋…＋1n21(n∈N*且n1).题型三数学归纳法的综合应用多维探究命题点1整除问题例2(2018·苏北四市期中)设n∈N*，f(n)＝3n＋7n－2.(1)求f(1)，f(2)，f(3)的值；解∵n∈N*，f(n)＝3n＋7n－2，∴f(1)＝3＋7－2＝8，f(2)＝32＋72－2＝56，f(3)＝33＋73－2＝368.(2)求证：对任意的正整数n，f(n)是8的倍数.例3(2018·江苏扬州中学期中)已知Fn(x)＝k＝0n[(－1)k·Cknfk(x)](n∈N*).命题点2和二项式系数有关的问题解Fn(x)＝k＝0n[(－1)kCknfk(x)]＝k＝0n[(－x)kCkn]＝k＝0n[Ckn(－x)k·1n－k]＝(1－x)n，∴F2015(2)＝－1.(1)若fk(x)＝xk，求F2015(2)的值；(2)若fk(x)＝xx＋k(x∉{0，－1，…，－n})，求证：Fn(x)＝n！x＋1x＋2…x＋n.(1)分别求T3S3，T4S4，T5S5，T6S6的值；命题点3和数列集合等有关的交汇问题例4设集合M＝{1,2,3，…，n}(n∈N*，n≥3)，记M的含有三个元素的子集个数为Sn，同时将每一个子集中的三个元素由小到大排列，取出中间的数，所有这些中间的数的和记为Tn.解当n＝3时，M＝{1,2,3}，S3＝1，T3＝2，T3S3＝2；当n＝4时，M＝{1,2,3,4}，S4＝4，T4＝2＋2＋3＋3＝10，T4S4＝52，T5S5＝3，T6S6＝72.(2)猜想TnSn关于n的表达式，并加以证明.思维升华利用数学归纳法可以探索与正整数n有关的未知问题、存在性问题，其基本模式是“归纳—猜想—证明”，即先由合情推理发现结论，然后经逻辑推理即演绎推理论证结论的正确性.跟踪训练2(1)求证：对一切正整数n,42n＋1＋3n＋2都能被13整除.证明①当n＝1时，42×1＋1＋31＋2＝91能被13整除.②假设当n＝k(k∈N*)时，42k＋1＋3k＋2能被13整除，则当n＝k＋1时，42(k＋1)＋1＋3k＋3＝42k＋1·42＋3k＋2·3－42k＋1·3＋42k＋1·3＝42k＋1·13＋3·(42k＋1＋3k＋2)，∵42k＋1·13能被13整除，42k＋1＋3k＋2能被13整除，∴当n＝k＋1时也成立，由①②可知，当n∈N*时，42n＋1＋3n＋2能被13整除.(2)已知数列{an}的各项都是正数，且满足：a0＝1，an＋1＝12·an·(4－an)，n∈N.①求a1，a2；解a0＝1，a1＝12a0·(4－a0)＝32，a2＝12·a1(4－a1)＝158.②证明：anan＋12，n∈N.3课时作业PARTTHREE基础保分练1234561.(2019·江苏省扬州市仪征中学考试)已知正项数列{an}中，a1＝1，an＋1＝1＋an1＋an(n∈N*).用数学归纳法证明：anan＋1(n∈N*).1234562.用数学归纳法证明an＋1＋(a＋1)2n－1能被a2＋a＋1整除(n∈N*).1234563.(2018·江苏省常州市田家炳高级中学考试)已知正项数列{an}中，a1＝2－1且1an＋1－an＋1＝1an＋an，n∈N*.(1)分别计算出a2，a3，a4的值，然后猜想数列{an}的通项公式；123456(2)用数学归纳法证明你的猜想.证明①当n＝1时，a1＝2－1＝2－1，(*)式成立；即ak＝k＋1－k，那么当n＝k＋1时，②假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时，(*)式成立，1ak＋1－ak＋1＝1ak＋ak＝k＋1＋k＋k＋1－k＝2k＋1.化简得(ak＋1＋k＋1)2＝k＋2，∵ak＋10，∴ak＋1＝k＋2－k＋1，∴当n＝k＋1时，(*)式也成立.综上，由①②得当n∈N*时，an＝n＋1－n.1234564.设a1＝1，an＋1＝a2n－2an＋2＋b(n∈N*).(1)若b＝1，求a2，a3及数列{an}的通项公式；123456(2)若b＝－1，问：是否存在实数c使得a2nca2n＋1对所有n∈N*成立？证明你的结论.1234565.已知函数f0(x)＝x(sinx＋cosx)，设fn(x)为fn－1(x)的导数，n∈N*.(1)求f1(x)，f2(x)的表达式；解因为fn(x)为fn－1(x)的导数，所以f1(x)＝f0′(x)＝(sinx＋cosx)＋x(cosx－sinx)＝(x＋1)cosx＋(x－1)(－sinx)，同理，f2(x)＝－(x＋2)sinx－(x－2)cosx.技能提升练123456(2)写出fn(x)的表达式，并用数学归纳法证明.123456拓展冲刺练6.已知数列{an}中，a1＝14，an＋1＝2an－3a2n.(1)求证：对任意的n∈N*，都有0an13；123456(2)求证：31－3a1＋31－3a2＋…＋31－3an≥4n＋1－4.