（江苏专用）2020版高考数学大一轮复习 第七章 不等式、推理与证明、数学归纳法 7.6 直接证明与

§7.6直接证明与间接证明第七章不等式、推理与证明、数学归纳法KAOQINGKAOXIANGFENXI考情考向分析高考要求了解分析法、综合法、反证法，会用这些方法处理一些简单问题，高考一般不单独考查，会与其他知识综合在一起命题．NEIRONGSUOYIN内容索引基础知识自主学习题型分类深度剖析课时作业1基础知识自主学习PARTONE知识梳理1.直接证明(1)定义：直接从原命题的条件逐步推得命题成立的证明方法.(2)一般形式ZHISHISHULI____________________________________⇒A⇒B⇒C⇒…⇒本题结论.本题条件已知定义已知公理已知定理(3)综合法①定义：从_________出发，以已知的_____、_____、_____为依据，逐步_____，直到推出要证明的结论为止.这种证明方法常称为综合法.②推证过程已知条件⇒…⇒…⇒结论已知条件定义公理定理下推(4)分析法①定义：从___________出发，追溯导致结论成立的条件，逐步_____，直到使结论成立的条件和已知条件或已知事实吻合为止.这种证明方法常称为分析法.②推证过程结论⇐…⇐…⇐已知条件问题的结论上溯2.间接证明(1)常用的间接证明方法有反证法、同一法等.(2)反证法的基本步骤①_____——假设命题的_____不成立，即假定原结论的反面为真.②_____——从_____和_________出发，经过一系列正确的逻辑推理，得出_____结果.③_____——由_____结果，断定_____不真，从而肯定原结论成立.反设结论归谬反设已知条件矛盾存真矛盾反设【概念方法微思考】1.直接证明中的综合法是演绎推理吗？提示是.用综合法证明时常省略大前提.2.综合法与分析法的推理过程有何区别？提示综合法是执因索果，分析法是执果索因，推理方式是互逆的.3.反证法是“要证原命题成立，只需证其逆否命题成立”的推理方法吗？提示不是.反证法是命题中“p与綈p”关系的应用.基础自测JICHUZICE题组一思考辨析123456(6)证明不等式2＋73＋6最合适的方法是分析法.()1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)综合法是直接证明，分析法是间接证明.()(2)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件.()(3)用反证法证明结论“ab”时，应假设“ab”.()(4)反证法是指将结论和条件同时否定，推出矛盾.()(5)在解决问题时，常常用分析法寻找解题的思路与方法，再用综合法展现解决问题的过程.()××××√√题组二教材改编1234562.[P87习题T2]若P＝a＋6＋a＋7，Q＝a＋8＋a＋5(a≥0)，则P，Q的大小关系是______.PQ解析P2＝2a＋13＋2a2＋13a＋42，∴P2Q2，又∵P0，Q0，∴PQ.Q2＝2a＋13＋2a2＋13a＋40，1234563.[P87习题T7]设实数a，b，c成等比数列，非零实数x，y分别为a与b，b与c的等差中项，则ax＋cy＝___.2题组三易错自纠123456③1a1b；④baab.4.若a，b，c为实数，且ab0，则下列命题正确的是____.(填序号)①ac2bc2；②a2abb2；②解析a2－ab＝a(a－b)，∵ab0，∴a－b0，∴a2－ab0，∴a2ab.(*1)又ab－b2＝b(a－b)0，∴abb2，(*2)由(*1)(*2)得a2abb2.1234565.用反证法证明命题：“设a，b为实数，则方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要作的假设是_________________________.方程x3＋ax＋b＝0没有实根解析方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根的反面是方程x3＋ax＋b＝0没有实根.1234566.如果△A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于△A2B2C2的三个内角的正弦值，则△A2B2C2是_____三角形.钝角2题型分类深度剖析PARTTWO题型一综合法的应用自主演练1.已知m1，a＝m＋1－m，b＝m－m－1，则a，b的大小关系为______.ab解析∵a＝m＋1－m＝1m＋1＋m，即ab.b＝m－m－1＝1m＋m－1.而m＋1＋mm＋m－10(m1)，∴1m＋1＋m1m＋m－1，2.如果aa＋bbab＋ba成立，则a，b应满足的条件是____________________.a≥0，b≥0且a≠b解析∵aa＋bb－(ab＋ba)＝a(a－b)＋b(b－a)＝(a－b)(a－b)＝(a－b)2(a＋b).∴当a≥0，b≥0且a≠b时，(a－b)2(a＋b)0.∴aa＋bbab＋ba成立的条件是a≥0，b≥0且a≠b.lga＋b2＋lgb＋c2＋lgc＋a2lga＋lgb＋lgc.3.若a，b，c是不全相等的正数，求证：(1)a＋b＋c≤3；4.已知a，b，c0，a＋b＋c＝1.求证：证明∵(a＋b＋c)2＝(a＋b＋c)＋2ab＋2bc＋2ca≤(a＋b＋c)＋(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)＝3，∴a＋b＋c≤3(当且仅当a＝b＝c时取等号).(2)13a＋1＋13b＋1＋13c＋1≥32.思维升华(1)综合法是“由因导果”的证明方法，它是一种从已知到未知(从题设到结论)的逻辑推理方法，即从题设中的已知条件或已证的真实判断(命题)出发，经过一系列中间推理，最后导出所要求证结论的真实性.(2)综合法的逻辑依据是三段论式的演绎推理.题型二分析法的应用师生共研例1已知函数f(x)＝tanx，x∈0，π2，若x1，x2∈0，π2，且x1≠x2，求证：12[f(x1)＋f(x2)]fx1＋x22.引申探究若本例中f(x)变为f(x)＝3x－2x，试证：对于任意的x1，x2∈R，均有fx1＋fx22≥fx1＋x22.证明要证明fx1＋fx22≥fx1＋x22，由于当x1，x2∈R时，3x10,3x20，即证明3x1－2x1＋3x2－2x22≥－2·x1＋x22，因此只要证明3x1＋3x22－(x1＋x2)≥－(x1＋x2)，即证明3x1＋3x22≥，因此只要证明3x1＋3x22≥3x1·3x2，由基本不等式知3x1＋3x22≥3x1·3x2显然成立，当且仅当x1＝x2时，等号成立.故原结论成立.1223xx1223xx1223xx思维升华(1)逆向思考是用分析法证题的主要思想，通过反推，逐步寻找使结论成立的充分条件.正确把握转化方向是使问题顺利解决的关键.(2)证明较复杂的问题时，可以采用两头凑的办法，即通过分析法找出某个与结论等价(或充分)的中间结论，然后通过综合法证明这个中间结论，从而使原命题得证.跟踪训练1已知a0，证明：a2＋1a2－2≥a＋1a－2.题型三反证法的应用多维探究命题点1证明否定性命题例2设{an}是公比为q的等比数列.(1)推导{an}的前n项和公式；证明假设{an＋1}是等比数列，则对任意的k∈N*，(ak＋1＋1)2＝(ak＋1)(ak＋2＋1)，＋2ak＋1＋1＝akak＋2＋ak＋ak＋2＋1，＋2a1qk＝a1qk－1·a1qk＋1＋a1qk－1＋a1qk＋1，∵a1≠0，∴2qk＝qk－1＋qk＋1.∵q≠0，∴q2－2q＋1＝0，∴q＝1，这与已知矛盾.∴假设不成立，故{an＋1}不是等比数列.(2)设q≠1，证明：数列{an＋1}不是等比数列.a2k＋1a21q2k命题点2证明存在性命题例3已知在四棱锥S－ABCD中，底面是边长为1的正方形，又SB＝SD＝，SA＝1.(1)求证：SA⊥平面ABCD；2证明由已知得SA2＋AD2＝SD2，∴SA⊥AD.同理SA⊥AB.又AB∩AD＝A，AB⊂平面ABCD，AD⊂平面ABCD，∴SA⊥平面ABCD.解假设在棱SC上存在异于S，C的点F，使得BF∥平面SAD.∵BC∥AD，BC⊄平面SAD，AD⊂平面SAD.∴BC∥平面SAD.而BC∩BF＝B，BC，BF⊂平面SBC，∴平面SBC∥平面SAD.这与平面SBC和平面SAD有公共点S矛盾，∴假设不成立.∴不存在这样的点F，使得BF∥平面SAD.(2)在棱SC上是否存在异于S，C的点F，使得BF∥平面SAD？若存在，确定F点的位置；若不存在，请说明理由.(1)判断函数f(x)＝x2＋sinx4是不是集合M中的元素，并说明理由；命题点3证明唯一性命题例4已知M是由满足下列条件的函数构成的集合：对任意f(x)∈M，①方程f(x)－x＝0有实数根；②函数f(x)的导数f′(x)满足0f′(x)1.②f′(x)＝12＋cosx4，所以f′(x)∈14，34，满足条件0f′(x)1.解①当x＝0时，f(0)＝0，所以方程f(x)－x＝0有实数根0；由①②可得，函数f(x)＝x2＋sinx4是集合M中的元素.(2)集合M中的元素f(x)具有下列性质：若f(x)的定义域为D，则对于任意[m，n]⊆D，都存在x0∈(m，n)，使得等式f(n)－f(m)＝(n－m)f′(x0)成立.试用这一性质证明：方程f(x)－x＝0有且只有一个实数根.证明假设方程f(x)－x＝0存在两个实数根α，β(α≠β)，则f(α)－α＝0，f(β)－β＝0.不妨设αβ，根据题意存在c∈(α，β)，满足f(β)－f(α)＝(β－α)f′(c).因为f(α)＝α，f(β)＝β，且α≠β，所以f′(c)＝1.与已知0f′(x)1矛盾.又f(x)－x＝0有实数根，所以方程f(x)－x＝0有且只有一个实数根.思维升华应用反证法证明数学命题，一般有以下几个步骤：第一步：分清命题“p⇒q”的条件和结论；第二步：作出与命题结论q相反的假设綈q；第三步：由p和綈q出发，应用正确的推理方法，推出矛盾结果；第四步：断定产生矛盾结果的原因在于开始所作的假设綈q不真，于是原结论q成立，从而间接地证明了命题p⇒q为真.所说的矛盾结果，通常是指推出的结果与已知公理、已知定义、已知定理或已知事实矛盾，与临时假设矛盾以及自相矛盾等都是矛盾结果.(1)设g(x)＝12x2－x＋32是[1，b]上的“四维光军”函数，求常数b的值；跟踪训练2若f(x)的定义域为[a，b]，值域为[a，b](ab)，则称函数f(x)是[a，b]上的“四维光军”函数.解由题设得g(x)＝12(x－1)2＋1，即12b2－b＋32＝b，解得b＝1或b＝3.其图象的对称轴为x＝1，区间[1，b]在对称轴的右边，所以函数在区间[1，b]上单调递增.由“四维光军”函数的定义可知，g(1)＝1，g(b)＝b，因为b1，所以b＝3.所以有ha＝b，hb＝a，即1a＋2＝b，1b＋2＝a，(2)是否存在常数a，b(a－2)，使函数h(x)＝1x＋2是区间[a，b]上的“四维光军”函数？若存在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由.使函数h(x)＝1x＋2是区间[a，b]上的“四维光军”函数，因为h(x)＝1x＋2在区间(－2，＋∞)上单调递减，解假设存在常数a，b(a－2)，解得a＝b，这与已知矛盾.故不存在.3课时作业PARTTHREE基础保分练123456789101112131415161.已知函数f(x)＝12x，a，b为正实数，A＝fa＋b2，B＝f(ab)，C＝f2aba＋b，则A，B，C的大小关系为__________.A≤B≤C解析因为a＋b2≥ab≥2aba＋b，又f(x)＝12x在R上是单调减函数，故fa＋b2≤f(ab)≤f2aba＋b.123456789101112131415162.分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设abc，且a＋b＋c＝0，求证b2－ac3a”索的因应是______________.(用含a，b，c的不