（江苏专用）2020版高考数学大一轮复习 第六章 数列 6.1 数列的概念与简单表示法课件

§6.1数列的概念与简单表示法第六章数列KAOQINGKAOXIANGFENXI考情考向分析以考查Sn与an的关系为主，简单的递推关系也是考查的热点．本节内容在高考中以填空的形式进行考查，难度为低档．NEIRONGSUOYIN内容索引基础知识自主学习题型分类深度剖析课时作业1基础知识自主学习PARTONE知识梳理1.数列的定义按照_________排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的___．ZHISHISHULI一定次序项分类原则类型满足条件按项数分类有穷数列项数_____无穷数列项数_____按项与项间的大小关系分类递增数列an＋1____an其中n∈N*递减数列an＋1____an常数列an＋1＝an摆动数列从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列2.数列的分类有限无限3.数列的表示法数列有三种表示法，它们分别是_______、_______和_________.4.数列的通项公式如果数列{an}的第n项与______之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式.5.an与Sn的关系若数列{an}的前n项和为Sn，解析式法序号n列表法图象法则an＝___，n＝1，_________，n≥2，n∈N*.Sn－Sn－1S1【概念方法微思考】1.数列的项与项数是一个概念吗？提示不是，数列的项是指数列中某一确定的数，而项数是指数列的项对应的位置序号.2.数列的通项公式an＝3n＋5与函数y＝3x＋5有何区别与联系？提示数列的通项公式an＝3n＋5是特殊的函数，其定义域为N*，而函数y＝3x＋5的定义域是R，an＝3n＋5的图象是离散的点，且排列在y＝3x＋5的图象上.1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列.()(2)所有数列的第n项都能使用公式表达.()(3)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个.()(4)1,1,1,1，…不能构成一个数列.()(5)任何一个数列不是递增数列，就是递减数列.()(6)如果数列{an}的前n项和为Sn，则对∀n∈N*，都有an＝Sn－Sn－1.()基础自测JICHUZICE题组一思考辨析123456×√××××题组二教材改编1234562.[P34习题T2]在数列{an}中，已知a1＝1，an＋1＝4an＋1，则a3＝____.21解析由题意知，a2＝4a1＋1＝5，a3＝4a2＋1＝21.1234563.[P34习题T7]根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式an＝_______.5n－4题组三易错自纠123456解析an＝－n2＋11n＝－n－1122＋1214，4.数列{an}中，an＝－n2＋11n(n∈N*)，则此数列最大项的值是____.30∵n∈N*，∴当n＝5或n＝6时，an取最大值30.1234565.已知an＝n2＋λn，且对于任意的n∈N*，数列{an}是递增数列，则实数λ的取值范围是____________.(－3，＋∞)解析因为{an}是递增数列，所以对任意的n∈N*，都有an＋1an，即(n＋1)2＋λ(n＋1)n2＋λn，整理，得2n＋1＋λ0，即λ－(2n＋1).(*)因为n≥1，n∈N*，所以－(2n＋1)≤－3，要使不等式(*)恒成立，只需λ－3.2，n＝1，2n－1，n≥2，n∈N*6.已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋1，则an＝____________________.123456解析当n＝1时，a1＝S1＝2，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋1－[(n－1)2＋1]＝2n－1，又a1＝2不满足an＝2n－1，故an＝2，n＝1，2n－1，n≥2，n∈N*.2题型分类深度剖析PARTTWO题型一由数列的前几项求数列的通项公式师生共研(1)23，415，635，863，1099，…；例1根据下面各数列前几项的值，写出数列的一个通项公式：解这是一个分数数列，其分母可分解为1×3,3×5,5×7,7×9,9×11，…，每一项都是两个相邻奇数的乘积，而分子依次为2,4,6，…，相邻的偶数.故所求数列的一个通项公式为an＝2n2n－12n＋1，n∈N*.解偶数项为正，奇数项为负，故通项公式必含有因式(－1)n，观察各项的绝对值，后一项的绝对值总比它前一项的绝对值大6，故数列的一个通项公式为an＝(－1)n(6n－5)，n∈N*.(2)－1,7，－13,19，…；即12，42，92，162，252，…，分子为项数的平方，解数列的各项，有的是分数，有的是整数，可将数列的各项都统一成分数再观察.(3)12，2，92，8，252，…；从而可得数列的一个通项公式为an＝n22，n∈N*.解将原数列改写为59×9，59×99，59×999，…，(4)5,55,555,5555，….易知数列9,99,999，…的通项为10n－1，故所求的数列的一个通项公式为an＝59(10n－1)，n∈N*.思维升华求数列通项时，要抓住以下几个特征：(1)分式中分子、分母的特征.(2)相邻项的变化特征.(3)拆项后变化的部分和不变的部分的特征.(4)各项符号特征等.(5)若关系不明显时，应将部分项作适当的变形，统一成相同的形式.跟踪训练1(1)(2018·江苏省海安中学月考)数列12，－12，512，－720的一个通项公式为an＝_______________.(－1)n－1·2n－1nn＋1解析由已知12，－12，512，－720可以得到12，－36，512，－720，故数列的一个通项公式为an＝(－1)n－1·2n－1nn＋1.则有11×2，－32×3，53×4，－74×5，(2)数列{an}的前4项是32，1，710，917，则这个数列的一个通项公式是an＝_______.2n＋1n2＋1解析数列{an}的前4项可变形为2×1＋112＋1，2×2＋122＋1，2×3＋132＋1，2×4＋142＋1，故an＝2n＋1n2＋1.题型二由an与Sn的关系求通项公式师生共研例2(1)已知数列{an}的前n项和Sn＝2n2－3n，则an＝______.4n－5解析当n＝1时，a1＝S1＝2－3＝－1，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n2－3n)－[2(n－1)2－3(n－1)]＝4n－5，由于a1也适合此等式，∴an＝4n－5.∴Sn＝a11－qn1－q＝－1×1－2n1－2＝1－2n，(2)(2018·全国Ⅰ)记Sn为数列{an}的前n项和.若Sn＝2an＋1，则S6＝____.－63解析∵Sn＝2an＋1，当n≥2时，Sn－1＝2an－1＋1，∴an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1(n≥2)，即an＝2an－1(n≥2).当n＝1时，a1＝S1＝2a1＋1，得a1＝－1.∴数列{an}是首项a1＝－1，公比q＝2的等比数列，∴S6＝1－26＝－63.∴an＝2，n＝1，2n－1n，n≥2.(3)已知数列{an}满足a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝2n，则an＝____________.2，n＝1，2n－1n，n≥2解析当n＝1时，由已知，可得a1＝21＝2，∵a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝2n，①∴a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)an－1＝2n－1(n≥2)，②由①－②得nan＝2n－2n－1＝2n－1，∴an＝2n－1n.显然当n＝1时不满足上式，思维升华已知Sn求an的常用方法是利用an＝S1，n＝1，Sn－Sn－1，n≥2，一定要检验a1的情况.所以an＝4，n＝1，2×3n－1，n≥2.跟踪训练2(1)已知数列{an}的前n项和Sn＝3n＋1，则an＝_______________.4，n＝1，2×3n－1，n≥2解析当n＝1时，a1＝S1＝3＋1＝4；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n＋1)－(3n－1＋1)＝2×3n－1.当n＝1时，2×31－1＝2≠a1，①－②得3n－1an＝13，所以an＝13n(n≥2).(2)设数列{an}满足a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝，则an＝____.n313n解析因为a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝，①n3n－13则当n≥2时，a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－2an－1＝，②由题意知a1＝13符合上式，所以an＝13n.(3)若数列{an}的前n项和Sn＝23an＋13，则{an}的通项公式是an＝________.(－2)n－1解析当n＝1时，a1＝S1＝23a1＋13，即a1＝1；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝23an－23an－1，故anan－1＝－2，所以数列{an}是以1为首项，－2为公比的等比数列.故an＝(－2)n－1.题型三数列的性质多维探究例3在数列{an}中，a1＝0，an＋1＝3＋an1－3an，则S2020＝___.命题点1数列的周期性0解析∵a1＝0，an＋1＝3＋an1－3an，∴a2＝31＝3，a3＝3＋31－3×3＝23－2＝－3，a4＝3－31＋3×3＝0，即数列{an}的取值具有周期性，周期为3，且a1＋a2＋a3＝0，则S2020＝S3×673＋1＝a1＝0.命题点2数列的单调性和最值例4(1)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3(m≥2)，则nSn的最小值为____.－9(2)(2018·江苏省新海中学质检)已知数列{an}的通项公式为an＝－818n＋914n－312n(其中n∈N*)，若第m项是数列{an}中的最小项，则am＝______.－516思维升华应用数列单调性的关键是判断单调性，判断数列单调性的常用方法有两个：(1)利用数列对应的函数的单调性判断；(2)对数列的前后项作差(或作商)，利用比较法判断.跟踪训练3(1)若数列{an}满足a1＝2，an＋1＝1＋an1－an，则a2020的值为___.故数列{an}是以4为周期的周期数列，13解析因为a1＝2，an＋1＝1＋an1－an，所以a2＝1＋a11－a1＝－3，a3＝1＋a21－a2＝－12，a4＝1＋a31－a3＝13，a5＝1＋a41－a4＝2，故a2020＝a505×4＝a4＝13.解析∵Sn＝n2－10n，∴当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－11；当n＝1时，a1＝S1＝－9也适合上式.∴an＝2n－11(n∈N*).记f(n)＝nan＝n(2n－11)＝2n2－11n，此函数图象的对称轴为直线n＝114，但n∈N*，(2)若数列{an}的前n项和Sn＝n2－10n(n∈N*)，则数列{nan}中数值最小的项是第___项.∴当n＝3时，f(n)取最小值.∴数列{nan}中数值最小的项是第3项.33课时作业PARTTHREE1.已知数列5，11，17，23，29，…，则55是它的第___项.21基础保分练12345678910111213141516解析数列5，11，17，23，29，…中的各项可变形为5，5＋6，5＋2×6，5＋3×6，5＋4×6，…，所以通项公式为an＝5＋6n－1＝6n－1，令6n－1＝55，得n＝21.123456789101112131415162.若数列{an}满足a1＝2，a2＝3，an＝an－1an－2(n≥3且n∈N*)，则a2018＝____.∴数列{an}具有周期性，且T＝6，∴a2018＝a336×6＋2＝a2＝3.解析由已知得a3＝a2a1＝32，a4＝a3a2＝12，a5＝a4a3＝13，a6＝a5a4＝23，a7＝a6a5＝2，a8＝a7a6＝3，3123456789101112131415163.(2018·扬州期末)已知Sn是数列{an}的前n项和，且满足Sn＝n2＋n(n∈N*)，则数列{an}的通项公式an＝____.