（江苏专用）2020版高考数学大一轮复习 第九章 平面解析几何 9.9 曲线与方程课件

§9.9曲线与方程第九章平面解析几何KAOQINGKAOXIANGFENXI考情考向分析以考查曲线的轨迹、轨迹方程为主.题型主要以解答题的形式出现，题目为中档题，有时也会在填空题中出现.NEIRONGSUOYIN内容索引基础知识自主学习题型分类深度剖析课时作业1基础知识自主学习PARTONE知识梳理1.曲线与方程的定义一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立如下的对应关系：ZHISHISHULI这个方程的解方程的曲线那么，这个方程叫做，这条曲线叫做.曲线的方程曲线上的点2.求动点的轨迹方程的基本步骤任意x,y所求方程3.几种常见的求轨迹方程的方法(1)直接法由题设所给(或通过分析图形的几何性质而得出)的动点所满足的几何条件列出等式，再用坐标代替这个等式，化简得曲线的方程，这种方法叫做直接法.(2)定义法利用所学过的圆的定义、椭圆的定义、双曲线的定义、抛物线的定义直接写出所求的动点的轨迹方程，这种方法叫做定义法.这种方法要求题设中有定点与定直线及两定点距离之和或差为定值的条件，或能利用平面几何知识分析得出这些条件.(3)相关点法若动点P(x，y)随已知曲线上的点Q(x0，y0)的变动而变动，且x0，y0可用x，y表示，则将点Q的坐标表达式代入已知曲线方程，即得点P的轨迹方程，这种方法称为相关点法(或代换法).1.f(x0，y0)＝0是点P(x0，y0)在曲线f(x，y)＝0上的充要条件吗？提示是.如果曲线C的方程是f(x，y)＝0，则曲线C上的点的坐标满足f(x，y)＝0，以f(x，y)＝0的解为坐标的点也都在曲线C上，故f(x0，y0)＝0是点P(x0，y0)在曲线f(x，y)＝0上的充要条件.2.曲线的交点与方程组的关系是怎样的？提示曲线的交点与方程组的关系(1)两条曲线交点的坐标是两个曲线方程的公共解，即两个曲线方程组成的方程组的实数解；(2)方程组有几组解，两条曲线就有几个交点；方程组无解，两条曲线就没有交点.【概念方法微思考】1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)方程x2＋xy＝x的曲线是一个点和一条直线.()(2)到两条互相垂直的直线距离相等的点的轨迹方程是x2＝y2.()基础自测JICHUZICE题组一思考辨析××××123456(4)动点的轨迹方程和动点的轨迹是一样的.()(3)y＝kx与x＝y表示同一直线.()1k7123456解析由已知MF＝MB，根据抛物线的定义知，点M的轨迹是以点F为焦点，直线l为准线的抛物线.2.[P64T10]已知点F14，0，直线l：x＝－14，点B是l上的动点，若过点B垂直于y轴的直线与线段BF的垂直平分线交于点M，则点M的轨迹方程是________.y2＝x73.[P64T9]设圆C与圆x2＋(y－3)2＝1外切，与直线y＝0相切，则C的圆心的轨迹方程为__________.x2＝8y－81234567123456解析设P(x0，y0)，M(x，y)，x2－4y2＝14.[P64T8]设P为曲线x24－y2＝1上一动点，O为坐标原点，M为线段OP的中点，则点M的轨迹方程是__________.则x0＝2x，y0＝2y，代入x204－y20＝1，得x2－4y2＝1.7一条直线和一条射线123456即2x＋3y－1＝0(x≥3)或x＝4，故原方程表示的曲线是一条射线和一条直线.题组三易错自纠5.方程(2x＋3y－1)(x－3－1)＝0表示的曲线是____________________.解析原方程可化为2x＋3y－1＝0，x－3≥0或x－3－1＝0，76.到定点(0,7)和到定直线y＝－7的距离相等的点的轨迹方程是________.123456x2＝28y77.已知M(－2,0)，N(2,0)，则以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程是_________________.123456x2＋y2＝4(x≠±2)解析连结OP，则OP＝2，∴P点的轨迹是去掉M，N两点的圆，∴方程为x2＋y2＝4(x≠±2).72题型分类深度剖析PARTTWO题型一定义法求轨迹方程例1已知圆M：(x＋1)2＋y2＝1，圆N：(x－1)2＋y2＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C，求C的方程.解由已知得圆M的圆心为M(－1,0)，半径r1＝1；圆N的圆心为N(1,0)，半径r2＝3.设圆P的圆心为P(x，y)，半径为R.因为圆P与圆M外切并且与圆N内切，所以PM＋PN＝(R＋r1)＋(r2－R)＝r1＋r2＝42＝MN.由椭圆的定义可知，曲线C是以M，N为左、右焦点，师生共研长半轴长为2，短半轴长为3的椭圆(左顶点除外)，其方程为x24＋y23＝1(x≠－2).思维升华定义法求轨迹方程(1)在利用圆锥曲线的定义求轨迹方程时，若所求的轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根据曲线的方程，写出所求的轨迹方程.(2)利用定义法求轨迹方程时，还要看轨迹是不是完整的曲线，如果不是完整的曲线，则应对其中的变量x或y进行限制.跟踪训练1在△ABC中，BC＝4，△ABC的内切圆切BC于D点，且BD－CD＝22，则顶点A的轨迹方程为________________.x22－y22＝1(x2)解析以BC的中点为原点，中垂线为y轴建立如图所示的坐标系，E，F分别为两个切点.则BE＝BD，CD＝CF，AE＝AF.所以AB－AC＝224，所以点A的轨迹为以B，C为焦点的双曲线的右支(y≠0)，且a＝2，c＝2，所以b＝2，所以轨迹方程为x22－y22＝1(x2).例2已知抛物线C：y2＝2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点.(1)若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明：AR∥FQ；题型二直接法求轨迹方程师生共研(2)若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程.思维升华直接法求曲线方程时最关键的就是把几何条件或等量关系翻译为代数方程，要注意翻译的等价性.通常将步骤简记为建系设点、列式、代换、化简、证明这五个步骤，但最后的证明可以省略，如果给出了直角坐标系则可省去建系这一步，求出曲线的方程后还需注意检验方程的纯粹性和完备性.解设F1(－c,0)，F2(c,0)(c0).由题意，可得PF2＝F1F2，(1)求椭圆的离心率e；跟踪训练2在平面直角坐标系xOy中，点P(a，b)为动点，F1，F2分别为椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左、右焦点，已知△F1PF2为等腰三角形.即a－c2＋b2＝2c，整理得2ca2＋ca－1＝0，得ca＝－1(舍去)或ca＝12，所以e＝12.(2)设直线PF2与椭圆相交于A，B两点，M是直线PF2上的点，满足AM—→·BM—→＝－2，求点M的轨迹方程.题型三相关点法求轨迹方程师生共研例3如图所示，抛物线E：y2＝2px(p0)与圆O：x2＋y2＝8相交于A，B两点，且点A的横坐标为2.过劣弧AB上动点P(x0，y0)作圆O的切线交抛物线E于C，D两点，分别以C，D为切点作抛物线E的切线l1，l2，l1与l2相交于点M.(1)求p的值；解由点A的横坐标为2，可得点A的坐标为(2,2)，代入y2＝2px，解得p＝1.(2)求动点M的轨迹方程.思维升华“相关点法”的基本步骤(1)设点：设被动点坐标为(x，y)，主动点坐标为(x1，y1)；(2)求关系式：求出两个动点坐标之间的关系式x1＝fx，y，y1＝gx，y；(3)代换：将上述关系式代入已知曲线方程，便可得到所求动点的轨迹方程.跟踪训练3如图，动圆C1：x2＋y2＝t2，1t3与椭圆C2：x29＋y2＝1相交于A，B，C，D四点.点A1，A2分别为C2的左、右顶点，求直线AA1与直线A2B交点M的轨迹方程.题型四参数法求轨迹方程师生共研(1)求证：OA⊥OB；例4(2018·苏州调研)在平面直角坐标系xOy中，已知两点M(1，－3)，N(5,1)，若点C的坐标满足OC—→＝tOM—→＋(1－t)ON—→(t∈R)，且点C的轨迹与抛物线y2＝4x相交于A，B两点.(2)在x轴上是否存在一点P(m,0)(m≠0)，使得过点P任意作一条抛物线y2＝4x的弦，并以该弦为直径的圆都经过原点？若存在，求出m的值及圆心的轨迹方程；若不存在，请说明理由.思维升华利用参数法求轨迹方程：一是选择合适的参数(可以是单参数，也可以是双参数)；二是建立参数方程后消掉参数，消参数的方法有代入消参法、加减消参法、平方消参法等.跟踪训练4设椭圆中心为原点O，一个焦点为F(0,1)，长轴和短轴的长度之比为t.(1)求椭圆的方程；解设所求椭圆方程为y2a2＋x2b2＝1(ab0).由题意得a2－b2＝1，ab＝t，解得a2＝t2t2－1，b2＝1t2－1.所以椭圆方程为t2(t2－1)x2＋(t2－1)y2＝t2.(2)设经过原点且斜率为t的直线与椭圆在y轴右侧部分的交点为Q，点P在该直线上，且OPOQ＝tt2－1，当t变化时，求点P的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形.3课时作业PARTTHREE基础保分练12345678910111213141516(x－1)2＋y2＝21.设点A为圆(x－1)2＋y2＝1上的动点，PA是圆的切线，且PA＝1，则点P的轨迹方程是______________.∴PM＝MA2＋PA2＝2，解析如图，设P(x，y)，圆心为M(1,0)，连结MA，PM，则MA⊥PA，且MA＝1，又∵PA＝1，即PM2＝2，∴(x－1)2＋y2＝2.123456789101112131415164x2＋4y2－4x－8y＋1＝0解析设P点的坐标为(x，y)，2.已知点O(0,0)，A(1,2)，动点P满足|OP→＋AP→|＝2，则P点的轨迹方程是_______________________.则OP—→＝(x，y)，AP—→＝(x－1，y－2)，OP—→＋AP—→＝(2x－1,2y－2).所以(2x－1)2＋(2y－2)2＝4，整理得4x2＋4y2－4x－8y＋1＝0.12345678910111213141516x＋2y－5＝0又λ1＋λ2＝1，∴化简得x＋2y－5＝0.3.在平面直角坐标系中，已知两点A(3,1)，B(－1,3)，若点C满足OC—→＝λ1OA—→＋λ2OB—→(O为原点)，其中λ1，λ2∈R，且λ1＋λ2＝1，则点C的轨迹方程是____________.解析设C(x，y)，则OC—→＝(x，y)，OA—→＝(3,1)，OB—→＝(－1,3)，∵OC—→＝λ1OA—→＋λ2OB—→，∴x＝3λ1－λ2，y＝λ1＋3λ2，123456789101112131415164.设过点P(x，y)的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A，B两点，点Q与点P关于y轴对称，O为坐标原点.若BP—→＝2PA—→，且OQ—→·AB—→＝1，则点P的轨迹方程是______________________.32x2＋3y2＝1(x0，y0)123456789101112131415165.已知A(0,7)，B(0，－7)，C(12,2)，以C为一个焦点作过A，B的椭圆，则椭圆的另一个焦点F的轨迹方程是__________________.由c＝7，a＝1⇒b2＝48，F的轨迹方程是y2－x248＝1(y≤－1).y2－x248＝1(y≤－1)解析由两点间距离公式，可得AC＝13，BC＝15，AB＝14，因为A，B都在椭圆上，所以AF＋AC＝BF＋BC，AF－BF＝BC－AC＝214，故F的轨迹是以A，B为焦点的双曲线的下支.123456789101112131415164π6.已知两定点A(－2,0)，B(1,0)，如果动点P满足PA＝2PB，则点P的轨迹所包围的图形的面积为____.得x＋22＋y2＝2x－12＋y2，解析设P(x，y)，