（江苏专用）2020版高考数学大一轮复习 第九章 平面解析几何 9.7 双曲线课件

§9.7双曲线第九章平面解析几何KAOQINGKAOXIANGFENXI考情考向分析主要侧重双曲线的方程以及以双曲线方程为载体研究参数a，b，c及与渐近线有关的问题，其中离心率和渐近线是重点.以填空题的形式考查，难度为中低档.解题时应熟练掌握基础内容及双曲线方程的求法，能灵活应用双曲线的几何性质.NEIRONGSUOYIN内容索引基础知识自主学习题型分类深度剖析课时作业1基础知识自主学习PARTONE知识梳理1.双曲线的定义平面内到两个定点F1，F2的距离的等于常数(小于F1F2的正数)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的，两焦点间的距离叫做双曲线的.ZHISHISHULI差的绝对值焦点焦距标准方程x2a2－y2b2＝1(a0，b0)y2a2－x2b2＝1(a0，b0)图形2.双曲线的标准方程和几何性质性质范围________________________________________对称性对称轴：_________对称中心：_____对称轴：_________对称中心：_____顶点顶点坐标：A1__________，A2_______顶点坐标：A1__________，A2_______渐近线__________________离心率e＝__，e∈__________实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长A1A2＝；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长B1B2＝；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长a，b，c的关系c2＝(ca0，cb0)x≤－a或x≥a，y∈Rx∈R，y≤－a或y≥ax轴，y轴(0,0)x轴，y轴(0,0)(－a,0)(a,0)(0,－a)(0,a)y＝±baxy＝±abxca(1，＋∞)2a2ba2＋b23.等轴双曲线等长的双曲线叫做等轴双曲线，其方程为x2－y2＝λ(λ≠0)，离心率e＝，渐近线方程为.实轴与虚轴2y＝±x平面内动点P到定点F的距离和它到定直线l()的距离的___是常数e(e1)的点的轨迹是双曲线.定点F是，定直线l是，常数e是.双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的准线方程为________，双曲线y2a2－x2b2＝1(a0，b0)的准线方程为_________.点F不在直线l上比焦点准线离心率x＝±a2cy＝±a2c4.双曲线的第二定义1.平面内与两定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数2a的动点的轨迹一定为双曲线吗？为什么？提示当2a＝F1F2时，动点的轨迹是两条射线；当2aF1F2时，动点的轨迹不存在；当2a＝0时，动点的轨迹是线段F1F2的中垂线.2.方程Ax2＋By2＝1表示双曲线的充要条件是什么？提示若A0，B0，表示焦点在x轴上的双曲线；若A0，B0，表示焦点在y轴上的双曲线.所以Ax2＋By2＝1表示双曲线的充要条件是AB0.【概念方法微思考】(2)方程x2m－y2n＝1(mn0)表示焦点在x轴上的双曲线.()(3)双曲线方程x2m2－y2n2＝λ(m0，n0，λ≠0)的渐近线方程是x2m2－y2n2＝0，即xm±yn＝0.()1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线.()基础自测JICHUZICE题组一思考辨析××√1234567(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于2.()(5)若双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)与x2b2－y2a2＝1(a0，b0)的离心率分别是e1，e2，则1e21＋1e22＝1(此条件中两条双曲线称为共轭双曲线).()√√1234567题组二教材改编5解析由题意知焦点到其渐近线的距离等于实轴长，2.[P48T15]若双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为_____.双曲线的渐近线方程为xa±yb＝0，即bx±ay＝0，∴2a＝bca2＋b2＝b.又a2＋b2＝c2，∴5a2＝c2.∴e2＝c2a2＝5，∴e＝5.1234567123456∵PF1＝15，∴PF2＝PF1＋2a＝15＋6＝21，3.[P58T7]若双曲线x29－y216＝1左支上的一点P到左焦点的距离为15，则点P到右准线的距离为____.635解析∵a＝3，b＝4，∴c＝5，∴e＝53.∴点P到右准线的距离d＝PF2e＝635.71234564.[P48A组T7]经过点A(4,1)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为___________.把点A(4,1)代入，得a2＝15(舍负)，x215－y215＝1解析设双曲线的方程为x2a2－y2a2＝±1(a0)，故所求方程为x215－y215＝1.7(－1,3)123456∴(m2＋n)·(3m2－n)0，解得－m2n3m2，由双曲线性质，知c2＝(m2＋n)＋(3m2－n)＝4m2(其中c是半焦距)，∴焦距2c＝2×2|m|＝4，解得|m|＝1，∴－1n3.题组三易错自纠5.已知方程x2m2＋n－y23m2－n＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是________.解析∵方程x2m2＋n－y23m2－n＝1表示双曲线，7即3b＝4a，∴9b2＝16a2，∴9c2－9a2＝16a2，123456536.若双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为___.解析由条件知y＝－bax过点(3，－4)，∴3ba＝4，∴25a2＝9c2，∴e＝53.7123456解析由题意，7.(2018·南通模拟)在平面直角坐标系xOy中，双曲线x2－y24＝1的一条渐近线与准线的交点到另一条渐近线的距离为___.双曲线的一条渐近线y＝2x与右准线x＝55的交点为55，255，45其到另一条渐近线y＝－2x的距离为45.72题型分类深度剖析PARTTWO题型一双曲线的定义例1(1)已知定点F1(－2,0)，F2(2,0)，N是圆O：x2＋y2＝1上任意一点，点F1关于点N的对称点为M，线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P，则点P的轨迹是________.双曲线解析如图，连结ON，PF1，由题意可得ON＝1，且N为MF1的中点，又O为F1F2的中点，∴MF2＝2.∵点F1关于点N的对称点为M，线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P，由垂直平分线的性质可得PM＝PF1，∴|PF2－PF1|＝|PF2－PM|＝MF2＝2F1F2，∴由双曲线的定义可得，点P的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线.师生共研解析∵由双曲线的定义有PF1－PF2＝PF2＝2a＝22，(2)已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，PF1＝2PF2，则cos∠F1PF2＝____.34∴PF1＝2PF2＝42，在△F1PF2中，由余弦定理得，cos∠F1PF2＝PF21＋PF22－F1F222PF1·PF2＝422＋222－422×42×22＝34.引申探究1.本例(2)中，若将条件“PF1＝2PF2”改为“∠F1PF2＝60°”，则△F1PF2的面积是多少？则PF1－PF2＝2a＝22，解不妨设点P在双曲线的右支上，在△F1PF2中，由余弦定理，得cos∠F1PF2＝PF21＋PF22－F1F222PF1·PF2＝12，∴PF1·PF2＝8，∴＝12PF1·PF2·sin60°＝23.12FPFS△2.本例(2)中，若将条件“PF1＝2PF2”改为“PF1—→·PF2—→＝0”，则△F1PF2的面积是多少？解不妨设点P在双曲线的右支上，则PF1－PF2＝2a＝22，∵PF1—→·PF2—→＝0，∴PF1—→⊥PF2—→，∴在△F1PF2中，有PF21＋PF22＝F1F22，即PF21＋PF22＝16，∴PF1·PF2＝4，∴＝12PF1·PF2＝2.12FPFS△思维升华(1)利用双曲线的定义判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出双曲线方程.(2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合|PF1－PF2|＝2a，运用平方的方法，建立与PF1·PF2的联系.由对称性不妨设P在右支上，设PF2＝m，则PF1＝m＋2a＝m＋2，由于△PF1F2为锐角三角形，跟踪训练1设双曲线x2－y23＝1的左、右焦点分别为F1，F2，若点P在双曲线上，且△F1PF2为锐角三角形，则PF1＋PF2的取值范围是__________.(27，8)解析如图，由已知可得a＝1，b＝3，c＝2，从而F1F2＝4，结合实际意义需满足m＋22m2＋42，42m＋22＋m2，解得－1＋7m3，又PF1＋PF2＝2m＋2，∴272m＋28.例2(1)已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为_________________.题型二双曲线的标准方程师生共研x2－y28＝1(x≤－1)∴b＝6，c＝10，a＝8.(2)根据下列条件，求双曲线的标准方程：①虚轴长为12，离心率为54；由题意知，2b＝12，e＝ca＝54，∴双曲线的标准方程为x264－y236＝1或y264－x236＝1.解设双曲线的标准方程为x2a2－y2b2＝1或y2a2－x2b2＝1(a0，b0).②焦距为26，且经过点M(0,12)；解∵双曲线经过点M(0,12)，∴M(0,12)为双曲线的一个顶点，故焦点在y轴上，且a＝12.又2c＝26，∴c＝13，∴b2＝c2－a2＝25.∴双曲线的标准方程为y2144－x225＝1.解设双曲线方程为mx2－ny2＝1(mn0).③经过两点P(－3,27)和Q(－62，－7).∴9m－28n＝1，72m－49n＝1，解得m＝－175，n＝－125.∴双曲线的标准方程为y225－x275＝1.思维升华求双曲线标准方程的方法(1)定义法(2)待定系数法①当双曲线焦点位置不确定时，设为Ax2＋By2＝1(AB0)；②与双曲线x2a2－y2b2＝1共渐近线的双曲线方程可设为x2a2－y2b2＝λ(λ≠0)；③与双曲线x2a2－y2b2＝1共焦点的双曲线方程可设为x2a2－k－y2b2＋k＝1(－b2ka2).解析由题意知椭圆C1的焦点坐标为F1(－5,0)，F2(5，0)，设曲线C2上的一点P，则|PF1－PF2|＝8F1F2，符合双曲线定义.由双曲线的定义知，a＝4，b＝3.跟踪训练2(1)设椭圆C1的离心率为513，焦点在x轴上且长轴长为26，若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C2的标准方程为__________.x216－y29＝1故曲线C2的标准方程为x242－y232＝1.即x216－y29＝1.可得a2＋b2＝9.②(2)已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的一条渐近线方程为y＝52x，且与椭圆x212＋y23＝1有公共焦点，则C的方程为__________.x24－y25＝1解析由y＝52x，可得ba＝52.①由椭圆x212＋y23＝1的焦点为(3,0)，(－3,0)，由①②可得a2＝4，b2＝5.所以C的方程为x24－y25＝1.题型三双曲线的几何性质多维探究命题点1与渐近线有关的问题例3过双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的左焦点F作圆O：x2＋y2＝a2的两条切线，切点为A，B，双曲线左顶点为C，若∠ACB＝120°，则双曲线的渐近线方程为__________.y＝±3x命题点2求离心率的值(或范围)例4已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1(－c,0)，F2(c,0)，A，B是圆(x＋c)2＋y2＝4c2与C位于x轴上方的两个交点，且F1A∥F2B，则双曲线的离心率为__________.3