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第5课时一次方程(组)等式的概念表示①关系的式子,叫做等式等式的性质性质1如果a=b,那么a±c=b±c(c可以是数或整式)性质2如果a=b,那么ac=bc,𝑎𝑐=𝑏𝑐(c②0)相等≠考点一等式的概念与性质考点聚焦方程的概念含有未知数的③叫做方程方程的解使方程左右两边的值④的未知数的值叫做方程的⑤,一元方程的解,也叫它的根解方程求方程的解的过程叫做解方程考点二方程及相关概念等式相等解考点三一元一次方程的定义及解法定义只含有⑥个未知数,且未知数的最高次数是⑦次的整式方程,叫做一元一次方程一般形式ax+b=0(a≠0)解一元一次方程的一般步骤(1)去分母:在方程两边都乘各分母的最小公倍数(2)去括号:注意括号前的系数与符号(3)移项:把含有未知数的项移到方程的一边,其他项移到另一边,注意移项要改变符号一1(续表)解一元一次方程的一般步骤(4)合并同类项:把方程化成ax=b(a≠0)的形式(5)系数化为1:方程两边同时除以x的系数,得x=𝑏𝑎的形式【温馨提示】去分母时方程两边都乘最小公倍数,注意别漏乘.考点四二元一次方程组的有关概念二元一次方程含有两个未知数,并且含有未知数的项的次数都是⑧的整式方程,叫做二元一次方程二元一次方程的解适合二元一次方程的一对未知数的值叫做这个二元一次方程的一个解.任何一个二元一次方程都有无数个解二元一次方程组的解二元一次方程组中两个方程的⑨叫做二元一次方程组的解1公共解考点五二元一次方程组的解法1.基本方法:⑩消元法和⑪消元法.2.基本思想:消元,化二元为一元.代入加减【温馨提示】代入消元法:方程组中有一个方程未知数的系数是1或-1时,选择代入消元法比较简单.加减消元法:方程组中同一个未知数的系数相等或互为相反数或成整数倍关系时,选择加减消元法比较简单.考点六一次方程(组)的应用列方程(组)解应用题的一般步骤1.审审清题意,分清题中的已知量、未知量2.设设未知数,设其中某个未知量为x,并注意单位.对于含有两个未知量的问题,需要设两个未知数3.列根据题意寻找等量关系列方程(组)4.解解方程(组)5.验检验方程(组)的解是否符合题意6.答写出答案(包括单位)常见的应用题类型及基本数量关系(1)行程问题:路程=速度×时间.①相遇问题:甲走的路程+乙走的路程=两地距离.②追及问题:同地不同时出发:前者走的路程=追者走的路程;同时不同地出发:前者走的路程+两地距离=追者走的路程.③航行问题:顺水速度=静水速度+水流速度;逆水速度=静水速度-水流速度.(2)工程问题:工作总量=工作效率×工作时间;各部分工作量之和=1.(3)销售问题:售价=标价×折扣;销售额=售价×销量;利润=售价-进价;利润=进价×利润率.【温馨提示】审题是基础,列方程的关键在于列代数式,抓住等量关系.题组一必会题对点演练1.把方程12x=1变形为x=2,其依据是()A.等式的性质1B.等式的性质2C.分式的基本性质D.不等式的性质1B2.已知𝑥=2𝑘,𝑦=-3𝑘是二元一次方程2x-y=14的一个解,则k的值是()A.2B.-2C.3D.-3A3.二元一次方程组𝑥+𝑦=7,3𝑥-𝑦=5的解是()A.𝑥=4,𝑦=3B.𝑥=5,𝑦=2C.𝑥=3,𝑦=4D.𝑥=-2,𝑦=94.若代数式𝑎-13的值比2𝑎+32的值小1,则a的值为________.C-𝟓𝟒[答案]96[解析]设参加者有x人,未参加者有y人,根据题意,得𝑥=3𝑦,(𝑥+𝑦-6)-(𝑦+6)=2(𝑦+6),解得𝑥=72,𝑦=24,则该校七年级学生共有x+y=72+24=96(人).5.市三中七年级学生开展义务植树活动,参加者是未参加者人数的3倍,若该年级人数减少6人,未参加人数增加6人,则参加者是未参加者人数的2倍,则该校七年级学生共有人.题组二易错题[答案]A【失分点】未充分考虑题目中的隐含条件致错;对等式性质理解不透彻致错;解方程计算错误;找不准题目中的等量关系,导致列不出方程(组).6.若(m-2)x|m|-1-5=0是关于x的一元一次方程,则m的值为()A.-2B.2C.±2D.无法确定[解析]根据一元一次方程的特点可得,|𝑚|-1=1,𝑚-2≠0,解得m=-2.故选A.7.下列运用等式的性质,变形不正确的是()A.若x=y,则x+5=y+5B.若-3x=-3y,则x=yC.若x=y,则𝑥2=𝑦3D.若x+3=y+3,则x=y[答案]C[解析]A.两边都加5,故A正确;B.两边都除以-3,故B正确;C.根据等式的性质2,等式两边应除以同一个不为0的数,变形不正确,故C错误;D.两边都减3,故D正确.故选C.8.[七上P104习题第6(4)题改编]方程𝑥+12-1=2-3𝑥3的解是()A.x=-73B.x=13C.x=79D.x=19[答案]C[解析]去分母,得3(x+1)-6=2(2-3x),去括号,得3x+3-6=4-6x,移项、合并同类项,得9x=7,系数化为1,得x=79.故选C.9.[2018·呼和浩特]文具店销售某种笔袋,每个18元,小华去购买这种笔袋,结账时店员说:“如果你再多买一个就可以打九折,价钱比现在便宜36元”,小华说:“那就多买一个吧,谢谢.”根据两人的对话可知,小华结账时实际付款元.[答案]486[解析]设小华原来买x个笔袋,则(x+1)×0.9×18+36=18x,解得x=29,(29+1)×18×0.9=486(元).-𝟏𝟐10.[七上104习题第7题改编]已知y1=x+3,y2=2-x,(1)当x=时,y1=y2;(2)当x=时,y1比2y2大5.2例1下列方程的变形正确的是()A.3x-6=0,变形为3x=6B.x+5=3-3x,变形为4x=2C.23x-1=2,变形为2x-3=2D.2x=1,变形为x=2考向一等式的概念及性质[答案]A[解析]A.3x-6=0,方程的两边同时加上6,得3x=6,即A项正确;B.x+5=3-3x,方程的两边同时加上3x-5,得4x=-2,即B项错误;C.23x-1=2,方程的两边同时乘以3,得2x-3=6,即C项错误;D.2x=1,方程的两边同时乘以12,得x=12,即D项错误.故选A.|考向精练|下列等式变形:①如果x=y,那么ax=ay;②如果x=y,那么𝑥𝑎=𝑦𝑎;③如果ax=ay,那么x=y;④如果𝑥𝑎=𝑦𝑎,那么x=y.其中正确的是()A.①④B.③④C.①②D.②③A考向二一元一次方程的解法例2[2017·武汉]解方程:4x-3=2(x-1).解:4x-3=2x-2,4x-2x=-2+3,2x=1,x=12.|考向精练|1.解方程2𝑥-13+3𝑥-44=0时,去分母正确的是()A.4(2x-1)+9x-4=12B.4(2x-1)+3(3x-4)=12C.8x-1+9x+12=0D.4(2x-1)+3(3x-4)=0D2.[2019·南充]关于x的一元一次方程2xa-2+m=4的解为x=1,则a+m的值为()A.9B.8C.5D.4[答案]C[解析]因为关于x的一元一次方程2xa-2+m=4的解为x=1,所以a-2=1,2+m=4,解得a=3,m=2,所以a+m=3+2=5.故选C.例3已知𝑥=2,𝑦=3是关于x,y的二元一次方程3x=y+a的一个解,求(a+1)(a-1)+7的值.考向三二元一次方程(组)的有关概念解:将𝑥=2,𝑦=3代入3x=y+a中,得a=3.∴(a+1)(a-1)+7=a2-1+7=a2+6=9.|考向精练|[答案]-1[解析]∵关于x,y的方程(a-1)x|a|+y=3是二元一次方程,∴|a|=1且a-1≠0.解得a=±1且a≠1,则a=-1.1.关于x,y的方程(a-1)x|a|+y=3是二元一次方程,则a=.[答案]A2.关于x,y的方程组𝑥+𝑝𝑦=0,𝑥+𝑦=3的解是𝑥=1,𝑦=?,其中y的值被盖住了,不过仍能求出p,则p的值是()A.-12B.12C.-14D.14[解析]将x=1代入x+y=3,可得y=2.将x=1,y=2代入x+py=0,得1+2p=0.解得p=-12.故选A.考向四二元一次方程组的解法例4解方程组:𝑥+𝑦=12①,2𝑥+𝑦=20②.方法一(加减法):方法二(代入法):解:方法一(加减法):②-①得x=8.把x=8代入①得,8+y=12,解得y=4.∴方程组的解是𝑥=8,𝑦=4.方法二(代入法):由①得y=12-x③,把③代入②得,2x+(12-x)=20,解得x=8.把x=8代入③,得y=12-8=4.∴方程组的解为𝑥=8,𝑦=4.[2018·宿迁]解方程组:𝑥+2𝑦=0,3𝑥+4𝑦=6.解:𝑥+2𝑦=0①,3𝑥+4𝑦=6②.由①可知,x=-2y③,将③代入②,得3×(-2y)+4y=6,y=-3.将y=-3代入③,得x=6.∴方程组的解为𝑥=6,𝑦=-3.|考向精练|考向四二元一次方程组的解法例5[2018·南京鼓楼区一模]春天来了,石头城边,秦淮河畔,鸟语花香,柳条飘逸.为给市民提供更好的休闲锻炼环境,决定对一段总长为1800米的外秦淮河沿河步行道重新改造,该任务由甲、乙两工程队先后接力完成.甲工程队每天改造12米,乙工程队每天改造8米,共用了200天.(1)根据题意,小莉、小刚两名同学分别列出了尚不完整的方程组如下:小莉:𝑥+𝑦=,12𝑥+8𝑦=.小刚:𝑥+𝑦=,𝑥12+𝑦8=.根据两名同学所列的方程组,请你分别指出未知数x,y表示的意义,然后在横线上补全小莉、小刚两名同学所列的方程组.小莉:x表示,y表示;小刚:x表示,y表示;(2)求甲、乙两工程队分别重新改造步行道多少米.解:(1)小莉:x表示甲工程队改造天数;y表示乙工程队改造天数.小刚:x表示甲工程队改造长度;y表示乙工程队改造长度.小莉:𝑥+𝑦=200,12𝑥+8𝑦=1800.小刚:𝑥+𝑦=1800,𝑥12+𝑦8=200.例5[2018·南京鼓楼区一模]春天来了,石头城边,秦淮河畔,鸟语花香,柳条飘逸.为给市民提供更好的休闲锻炼环境,决定对一段总长为1800米的外秦淮河沿河步行道重新改造,该任务由甲、乙两工程队先后接力完成.甲工程队每天改造12米,乙工程队每天改造8米,共用了200天.(2)求甲、乙两工程队分别重新改造步行道多少米.(2)利用小刚的方法,解方程组得𝑥=600,𝑦=1200,∴甲工程队改造600米,乙工程队改造1200米.【方法点析】列方程(组)解决实际应用问题最为重要的就是找出题中的等量关系,另一方面,方程(组)的解也需要根据实际问题的意义进行验证,看是否满足题意.[答案]10[解析]设“△”的质量为x,“□”的质量为y.根据题意,得𝑥+𝑦=6,𝑥+2𝑦=8,解得𝑥=4,𝑦=2,∴第三个天平右盘中砝码的质量=2x+y=2×4+2=10.故答案为10.|考向精练|1.[2019·宿迁]下面3个天平左盘中“△”“□”分别表示两种质量不同的物体,则第三个天平右盘中砝码的质量为.图5-12.数学文化《孙子算经》是中国古代重要的数学著作,其中有一段文字的大意是:甲、乙两人各有若干钱,如果甲得到乙所有钱的一半,那么甲共有48文;如果乙得到甲所有钱的23,那么乙共有48文,甲、乙二人原来各有多少钱?试求甲原有___________文钱.[答案]36[解析]设甲原有x文钱,乙原有y文钱.根据题意,得𝑥+12𝑦=48,23𝑥+𝑦=48,解得𝑥=36,𝑦=24.故答案为36.3.[2019·淮安]某公司用火车和汽车运输两批物资,具体运输情况如下表所示:试问每节火车车皮和每辆汽车平均各装物资多少吨?所用火车车皮数量(节)所用汽车数量(辆)运输物资总量(吨)第一批25130第二批43218解:设每节火车车皮和每辆汽车平均各装物资x吨、y吨,由题意得2𝑥+5𝑦=130,4𝑥+3𝑦=218,解得𝑥=50,𝑦=6.答:每节火车车皮和每辆汽车平均各装物资5
本文标题:(江苏专版)2020年中考数学复习 第二单元 方程(组)与不等式(组)第05课时 一次方程(组)课件
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