（湖南专版）2020年中考数学复习 第三单元 函数及其图象 第16课时 二次函数的实际应用课件

第16课时二次函数的实际应用考点一建立二次函数模型解决问题考点聚焦常见类型关键步骤抛物线形问题建立方便求解析式的平面直角坐标系,找到图象上三点的坐标,用待定系数法求二次函数的解析式销售利润问题理清各个量之间的关系,找出等量关系求得解析式,根据要求确定函数的最值或建立方程求解图形面积问题利用几何知识用变量x表示出图形的面积y,根据要求确定函数的最值或建立方程求解【温馨提示】(1)求函数的最值时,要注意实际问题中自变量的取值限制对最值的影响.若对称轴的取值不在自变量的取值范围内,则最值在自变量取值的端点处取得.(2)建立平面直角坐标系的原则是易于求二次函数的解析式.考点二图象信息类问题1.表格类观察点的特征,验证满足条件的二次函数的解析式及其图象,利用二次函数的性质求解.2.图文类根据图文,借助图形上的关键点,提取信息,建立二次函数模型解题.对点演练题组一必会题21.[九下P38复习题1第8题改编]将一个小球以20m/s的初速度从地面竖直抛向空中,经过时间t(s),小球的高度为h(m),且h=20t-5t2,则当h=20m时,物体的运动时间为s.2.[九下P32习题1.5第2题改编]如图16-1,用长为18m的篱笆(虚线部分)围成两面靠墙的矩形苗圃,当矩形苗圃的一边长为m时,面积最大,最大面积是m2.图16-1[答案]981[解析]设苗圃的一边长为xm,则苗圃的与其相邻的一边长为(18-x)m,则其面积y=x(18-x)=-x2+18x.∵y=-x2+18x=-(x-9)2+81,∴当x=9时,苗圃的面积最大,最大面积是81m2.3.[九下P31练习第2题改编]小妍想将一根72cm长的彩带剪成两段,分别围成两个正方形,则她将彩带剪成长度分别为cm和cm的两段,所围成的正方形的面积之和最小,最小面积是cm2.4.[九下P32习题1.5A组第3题改编]某工艺厂设计一款成本为10元/件的产品,并投放市场进行试销,经过调查,发现每天的销售量y(件)与销售单价x(元)之间存在一次函数关系y=-10x+700,则销售单价定为元时,该厂每天获取的利润最大,最大利润为元.3636162409000题组二易错题【失分点】求实际问题中的最值时,忽略自变量取值范围的限制.5.春节期间,物价局规定某种蔬菜的最低价格为4.1元/千克,最高价格为4.5元/千克,小王按4.1元/千克购入,若原价出售,则平均每天可卖出200千克,若价格每上涨0.1元,则每天少卖出20千克,则该种蔬菜的价格定为元/千克时,每天获利最大,最大利润为元.[答案]4.548[解析]设定价为x元/千克,则每千克获利(x-4.1)元,∵价格每上涨0.1元,每天少卖出20千克,∴每天的销售量为200-20(x-4.1)×10=-200x+1020.设每天获利W元,则W=(-200x+1020)(x-4.1)=-200x2+1840x-4182=-2(100x2-920x+2116)[phone]=-2(10x-46)2+50,∵a=-20,∴当x≤4.6时,W随x的增大而增大.∵物价局规定蔬菜的最低价格为4.1元/千克,最高价格为4.5元/千克,∴4.1≤x≤4.5,∴当x=4.5时,W有最大值,即获利最大,最大利润为-2×(10×4.5-46)2+50=-2+50=48(元).考向一利用二次函数解决抛物线形问题例1[2018·滨州]如图16-2,一小球沿与地面成一定角度的方向飞出,小球的飞行路线是一条抛物线.如果不考虑空气阻力,小球的飞行高度y(单位:m)与飞行时间x(单位:s)之间具有函数关系y=-5x2+20x,请根据要求解答下列问题:(1)在飞行过程中,当小球的飞行高度为15m时,飞行的时间是多少?(2)小球从飞出到落地所用时间是多少?(3)在飞行过程中,小球的飞行高度何时最大?最大高度是多少?图16-2解:(1)当y=15时,有-5x2+20x=15,化简得x2-4x+3=0,故x=1或x=3,即飞行时间是1s或3s.例1[2018·滨州]如图16-2,一小球沿与地面成一定角度的方向飞出,小球的飞行路线是一条抛物线.如果不考虑空气阻力,小球的飞行高度y(单位:m)与飞行时间x(单位:s)之间具有函数关系y=-5x2+20x,请根据要求解答下列问题:(2)小球从飞出到落地所用时间是多少?图16-2解:(2)飞出和落地的瞬间,高度都为0,故y=0,所以有0=-5x2+20x,解得x=0或x=4,所以从飞出到落地所用时间是4-0=4(s).例1[2018·滨州]如图16-2,一小球沿与地面成一定角度的方向飞出,小球的飞行路线是一条抛物线.如果不考虑空气阻力,小球的飞行高度y(单位:m)与飞行时间x(单位:s)之间具有函数关系y=-5x2+20x,请根据要求解答下列问题:(3)在飞行过程中,小球的飞行高度何时最大?最大高度是多少?图16-2解:(3)当x=-𝑏2𝑎=-202×(-5)=2时,y=-5×22+20×2=20,故当x=2时,小球的飞行高度最大,最大高度为20m.【方法点析】利用二次函数解决抛物线形问题,一般是先根据实际问题的特点建立直角坐标系,设出合适的二次函数表达式,把实际问题中的已知条件转化为点的坐标,代入表达式求解,最后要把求出的结果转化为实际问题的答案.|考向精练|[2017·金华]甲、乙两人进行羽毛球比赛,羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分,如图16-3,甲在O点正上方1m的P处发出一球,羽毛球飞行的高度y(m)与水平距离x(m)之间满足函数表达式y=a(x-4)2+h.已知点O与球网的水平距离为5m,球网的高度为1.55m.图16-3(1)当a=-124时,①求h的值;②通过计算判断此球能否过网.(2)若甲发球过网后,羽毛球飞行到与点O的水平距离为7m,离地面的高度为125m的Q处时,乙扣球成功,求a的值.图16-3解:(1)①把(0,1),a=-124代入y=a(x-4)2+h,得1=-124×16+h,解得h=53.②把x=5代入y=-124(x-4)2+53,得y=-124×(5-4)2+53=1.625.∵1.6251.55,∴此球能过网.[2017·金华]甲、乙两人进行羽毛球比赛,羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分,如图16-3,甲在O点正上方1m的P处发出一球,羽毛球飞行的高度y(m)与水平距离x(m)之间满足函数表达式y=a(x-4)2+h.已知点O与球网的水平距离为5m,球网的高度为1.55m.(2)若甲发球过网后,羽毛球飞行到与点O的水平距离为7m,离地面的高度为125m的Q处时,乙扣球成功,求a的值.图16-3解:(2)把(0,1),7,125代入y=a(x-4)2+h,得16𝑎+ℎ=1,9𝑎+ℎ=125,解得𝑎=-15,ℎ=215,∴a=-15.考向二利用二次函数求图形面积的最值问题例2[2018·福建A卷]如图16-4,在足够大的空地上有一段长为a米的旧墙MN,某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD,其中AD≤MN,已知矩形菜园的一边靠墙,另三边一共用了100米木栏.(1)若a=20,所围成的矩形菜园的面积为450平方米,求所利用旧墙AD的长;(2)求矩形菜园ABCD面积的最大值.图16-4解:(1)设AD=m米,则AB=100-𝑚2米,依题意,得100-𝑚2·m=450,解得m1=10,m2=90.因为a=20且m≤a,所以m2=90不合题意,应舍去.故所利用旧墙AD的长为10米.例2[2018·福建A卷]如图16-4,在足够大的空地上有一段长为a米的旧墙MN,某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD,其中AD≤MN,已知矩形菜园的一边靠墙,另三边一共用了100米木栏.(2)求矩形菜园ABCD面积的最大值.图16-4解:(2)设AD=x米,矩形ABCD的面积为S平方米,则0x≤a,S=100-𝑥2·x=-12(x2-100x)=-12(x-50)2+1250,①若a≥50,则当x=50时,S最大=1250;②若0a50,当0x≤a时,S随x的增大而增大,故当x=a时,S最大=50a-12a2.综上,当a≥50时,矩形菜园ABCD的面积的最大值是1250平方米;当0a50时,矩形菜园ABCD的面积的最大值是50𝑎-12𝑎2平方米.【方法点析】利用二次函数求图形面积的最值问题的一般步骤:(1)利用题目中的已知条件和学过的有关数学公式列出关系式;(2)把关系式转化为二次函数的表达式;(3)求二次函数的最大值或最小值.|考向精练|[2019·绍兴]有一块形状如图16-5的五边形余料ABCDE,AB=AE=6,BC=5,∠A=∠B=90°,∠C=135°,∠E90°.要在这块余料中截取一块矩形材料,其中一条边在AE上,并使所截矩形材料的面积尽可能大.(1)若所截矩形材料的一条边是BC或AE,求矩形材料的面积;(2)能否截出比(1)中更大面积的矩形材料?如果能,求出这些矩形材料面积的最大值,如果不能,说明理由.图16-5解:(1)如图①,作CF⊥AB于F.S1=AB·BC=6×5=30.如图②,作EF∥AB交CD于F,过F点作FG⊥AB于G,过点C作CH⊥FG于点H.则四边形BCHG为矩形,△CHF为等腰直角三角形,∴HG=BC=5,BG=CH,FH=CH,∴BG=CH=FH=FG-HG=AE-HG=6-5=1,∴AG=AB-BG=6-1=5.∴S2=AE·AG=6×5=30.[2019·绍兴]有一块形状如图16-5的五边形余料ABCDE,AB=AE=6,BC=5,∠A=∠B=90°,∠C=135°,∠E90°.要在这块余料中截取一块矩形材料,其中一条边在AE上,并使所截矩形材料的面积尽可能大.(2)能否截出比(1)中更大面积的矩形材料?如果能,求出这些矩形材料面积的最大值,如果不能,说明理由.图16-5解:(2)能.如图③,在CD上取点F,过点F作FM⊥AB于点M,FN⊥AE于点N,过点C作CG⊥FM于点G,则四边形AMFN,BCGM为矩形,△CGF为等腰直角三角形,∴MG=BC=5,BM=CG,FG=CG.设AM=x,则BM=6-x,∴FM=GM+FG=GM+CG=BC+BM=11-x,∴S=AM·FM=x(11-x)=-(x-5.5)2+30.25,∴当x=5.5时,S的最大值为30.25.考向三利用二次函数解决商品销售问题中的最大利润问题例3[2019·武汉]某商店销售一种商品,经市场调查发现,该商品的周销售量y(件)是售价x(元/件)的一次函数,其售价、周销售量、周销售利润w(元)的三组对应值如下表:注:周销售利润=周销售量×(售价-进价)(1)①求y关于x的函数解析式(不要求写出自变量的取值范围);售价x(元/件)506080周销售量y(件)1008040周销售利润w(元)100016001600②该商品进价是元/件;当售价是元/件时,周销售利润最大,最大利润是元;(2)由于某种原因,该商品进价提高了m元/件(m0),物价部门规定该商品售价不得超过65元/件,该商店在今后的销售中,周销售量与售价仍然满足(1)中的函数关系.若周销售最大利润是1400元,求m的值.售价x(元/件)506080周销售量y(件)1008040周销售利润w(元)100016001600解:(1)①设y与x的函数关系式为y=kx+b,依题意,有50𝑘+𝑏=100,60𝑘+𝑏=80,解得𝑘=-2,𝑏=200,∴y与x的函数关系式是y=-2x+200.②设进价为t元/件,由题意,1000=100×(50-t),解得t=40,∴进价为40元/件;周销售利润w=(x-40)y=(x-40)(-2x+200)=-2(x-70)2+1800,故当售价是70元/件时,周销售利润最大,最大利润是1800元.故答案为40,70,1800.例3[2019·武汉]某商店销售一种商品,经市场调查发现,该商品的周销售量y(件)是售价x(元/件)的一次函数,其售价、周销售量、周销售利润w(元)的三组对应值如下表:注: