（湖南专版）2020年中考数学复习 第三单元 函数及其图象 第15课时 二次函数的应用课件

第15课时二次函数的应用考点一二次函数与一元二次方程、不等式的关系考点聚焦抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点个数判别式b2-4ac的正负方程ax2+bx+c=0的实数根个数2个b2-4ac0两个①的实数根1个b2-4ac=0两个②的实数根没有b2-4ac0③实数根不相等相等没有2.二次函数与不等式的关系(1)ax2+bx+c0的解集函数y=ax2+bx+c的图象位于x轴上方的部分对应的点的横坐标的取值范围.(2)ax2+bx+c0的解集函数y=ax2+bx+c的图象位于④的部分对应的点的横坐标的取值范围.x轴下方考点二建立二次函数模型解决问题常见类型关键步骤抛物线形问题建立方便求解析式的平面直角坐标系,找到图象上三点的坐标,用待定系数法求二次函数的解析式销售利润问题理清各个量之间的关系,找出等量关系求得解析式,根据要求确定函数的最值或建立方程求解图形面积问题利用几何知识用变量x表示出图形的面积y,根据要求确定函数的最值或建立方程求解【温馨提示】(1)求函数的最值时,要注意实际问题中自变量的取值限制对最值的影响.若对称轴的取值不在自变量的取值范围内,则最值在自变量取值的端点处取得.(2)建立平面直角坐标系的原则是易于求二次函数的解析式.1.[九上P47习题22.2第5题改编]如图15-1是函数y=x2-2x-3的图象,利用图象回答:(1)方程x2-2x-3=0的解是;(2)函数值大于0时x的取值范围是;(3)函数值小于0时x的取值范围是.题组一教材题对点演练x1=-1,x2=3图15-1x-1或x3-1x32.[九上P52习题22.3第3题改编]飞机着陆后滑行的距离s(单位:m)关于滑行的时间t(单位:s)的函数解析式是s=60t-1.5t2,飞机着陆后滑行m才能停下来.[答案]600[解析]s=60t-1.5t2=-1.5t2+60t=-1.5(t2-40t+400-400)=-1.5(t-20)2+600,∴当t=20时,飞机才能停下来,此时s=600(m).3.[九上P50探究2改编]某商品现在的售价为每件60元,每星期可卖出300件.市场调查反映:如调整价格,每涨价1元,每星期要少卖出10件;每降价1元,每星期可多卖出20件.已知商品的进价为每件40元,定价为元才能使利润最大.654.[九上P51探究3改编]如图15-2是抛物线形拱桥,当拱顶离水面2m时,水面宽4m.水面下降1m,水面宽度增加m.图15-2[答案](26-4)[解析]如图,建立平面直角坐标系,可设这条抛物线的解析式为y=ax2,把(2,-2)代入,得-2=a×22,解得a=-12,∴y=-12x2.当y=-3时,-12x2=-3,x=±6,∴水面下降1m,水面宽度增加(26-4)m.5.[九上P52习题22.3第7题改编]如图15-3,点E,F,G,H分别位于正方形ABCD的四条边上.四边形EFGH也是正方形,当点E位于时,正方形EFGH的面积最小.图15-3[答案]AB的中点[解析]设正方形ABCD的边长为a,由四边形EFGH也为正方形,易证△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG.设DH=x,则DG=CD-CG=a-x.故HG2=DH2+DG2=x2+(a-x)2=2x2-2ax+a2.∴S正方形EFGH=2x2-2ax+a2=2𝑥-𝑎22+𝑎22≥𝑎22当且仅当x=𝑎2时取等号,∴当点E为AB的中点时,正方形EFGH的面积最小.题组二易错题【失分点】在实际问题中确定最值时,忽略自变量取值范围对最值的影响.6.春节期间,物价局规定某种蔬菜的最低价格为4.1元/千克,最高价格为4.5元/千克,小王按4.1元/千克购入,若按原价出售,则平均每天可卖出200千克,若价格每上涨0.1元,则每天少卖出20千克,则该种蔬菜的价格定为元/千克时,每天获利最大,最大利润为元.[答案]4.548[解析]设定价为x元/千克,则每千克获利(x-4.1)元.∵价格每上涨0.1元,每天少卖出20千克,∴每天的销售量为200-20(x-4.1)×10=-200x+1020(千克).设每天获利W元,则W=(-200x+1020)(x-4.1)=-200x2+1840x-4182=-200(x-4.6)2+50.∵a=-20,∴当x≤4.6时,W随x的增大而增大,∵物价局规定蔬菜的最低价格为4.1元/千克,最高价格为4.5元/千克,∴4.1≤x≤4.5,∴当x=4.5时,W有最大值,即获利最大,最大利润=-200×(4.5-4.6)2+50=-2+50=48(元).考向一二次函数与方程、不等式的关系例1已知二次函数y=x2-3x+m(m为常数)的图象与x轴的一个交点为(1,0),则关于x的一元二次方程x2-3x+m=0的两实数根是x1=,x2=.[答案]12[解析]∵二次函数的解析式是y=x2-3x+m(m为常数),∴该函数图象的对称轴是直线x=32.又∵二次函数y=x2-3x+m(m为常数)的图象与x轴的一个交点为(1,0),∴该图象与x轴的另一个交点的坐标是(2,0),∴关于x的一元二次方程x2-3x+m=0的两实数根分别是x1=1,x2=2.|考向精练|1.[2019·潍坊]抛物线y=x2+bx+3的对称轴为直线x=1.若关于x的一元二次方程x2+bx+3-t=0(t为实数)在-1x4的范围内有实数根,则t的取值范围是()A.2≤t11B.t≥2C.6t11D.2≤t6[答案]A[解析]由题意得,-𝑏2=1,所以b=-2,所以抛物线解析式为y=x2-2x+3.当-1x4时,函数图象如图所示,从图象可以看出当2≤t11时,抛物线y=x2-2x+3与直线y=t有交点,故关于x的一元二次方程x2+bx+3-t=0(t为实数)在-1x4的范围内有实数根,则t的取值范围是2≤t11.故选A.[答案]B2.[2018·长沙12题]若对于任意非零实数a,抛物线y=ax2+ax-2a总不经过点P(x0-3,x02-16),则符合条件的点P()A.有且只有1个B.有且只有2个C.有且只有3个D.有无穷多个[解析]由题意得y=a(x+2)(x-1),总不经过点P(x0-3,𝑥02-16),将点P坐标代入抛物线的解析式,得a(x0-1)(x0-4)≠(x0+4)(x0-4)恒成立.①当x0=1时,得0≠-15,恒成立,此时点P的坐标为(-2,-15);②当x0=4时,左边=右边=0,不符合题意;③当x0=-4时,得40a≠0,因为a≠0,所以不等式恒成立,此时点P的坐标为(-7,0);④当x0≠1且x0≠4且x0≠-4时,a≠𝑥0+4𝑥0-1=1+5𝑥0-1不恒成立.综上所述,符合条件的点P有且只有2个,故选B.x-3或x13.[2019·济宁]如图15-4,抛物线y=ax2+c与直线y=mx+n交于A(-1,p),B(3,q)两点,则不等式ax2+mx+cn的解集是.图15-4考向二二次函数的实际应用例2[2019·武汉]某商店销售一种商品,经市场调查发现,该商品的周销售量y(件)是售价x(元/件)的一次函数,其售价、周销售量、周销售利润w(元)的三组对应值如下表:注:周销售利润=周销售量×(售价-进价)售价x(元/件)506080周销售量y(件)1008040周销售利润w(元)100016001600(1)①求y关于x的函数解析式(不要求写出自变量的取值范围);②该商品进价是元/件;当售价是元/件时,周销售利润最大,最大利润是元;(2)由于某种原因,该商品进价提高了m元/件(m0),物价部门规定该商品售价不得超过65元/件,该商店在今后的销售中,周销售量与售价仍然满足(1)中的函数关系.若周销售最大利润是1400元,求m的值.解:(1)①设y关于x的函数解析式为y=kx+b(k≠0),依题意,有50𝑘+𝑏=100,60𝑘+𝑏=80,解得𝑘=-2,𝑏=200,∴y关于x的函数解析式是y=-2x+200.②设进价为t元/件,由题意,得1000=100×(50-t),解得t=40,∴进价为40元/件;周销售利润w=(x-40)y=(x-40)(-2x+200)=-2(x-70)2+1800,故当售价是70元/件时,周销售利润最大,最大利润是1800元.故答案为40,70,1800.例2[2019·武汉]某商店销售一种商品,经市场调查发现,该商品的周销售量y(件)是售价x(元/件)的一次函数,其售价、周销售量、周销售利润w(元)的三组对应值如下表:注:周销售利润=周销售量×(售价-进价)(2)由于某种原因,该商品进价提高了m元/件(m0),物价部门规定该商品售价不得超过65元/件,该商店在今后的销售中,周销售量与售价仍然满足(1)中的函数关系.若周销售最大利润是1400元,求m的值.售价x(元/件)506080周销售量y(件)1008040周销售利润w(元)100016001600(2)依题意,w=(-2x+200)(x-40-m)=-2x2+(2m+280)x-8000-200m=-2x-𝑚+14022+12m2-60m+1800.∵m0,∴对称轴为直线x=𝑚+140270.∵-20,∴抛物线开口向下.∵x≤65,∴w随x的增大而增大,∴当x=65时,w有最大值(-2×65+200)(65-40-m),∴(-2×65+200)(65-40-m)=1400,解得m=5.|考向精练|1.[2019·天水]天水某景区商店销售一种纪念品,这种商品的成本价为10元/件,已知销售价不低于成本价,且物价部门规定这种商品的销售价不高于16元/件.市场调查发现,该商品每天的销售量y(件)与销售价x(元/件)之间的函数关系如图15-5所示.(1)求y与x之间的函数解析式,并写出自变量x的取值范围;(2)求每天的销售利润W(元)与销售价x(元/件)之间的函数解析式,并求出销售价为多少元/件时,每天的销售利润最大,最大利润是多少.图15-5解:(1)设y与x之间的函数解析式为y=kx+b(k≠0),将(10,30),(16,24)代入,得10𝑘+𝑏=30,16𝑘+𝑏=24,解得𝑘=-1,𝑏=40,∴y与x之间的函数解析式为y=-x+40(10≤x≤16).1.[2019·天水]天水某景区商店销售一种纪念品,这种商品的成本价为10元/件,已知销售价不低于成本价,且物价部门规定这种商品的销售价不高于16元/件.市场调查发现,该商品每天的销售量y(件)与销售价x(元/件)之间的函数关系如图15-5所示.(2)求每天的销售利润W(元)与销售价x(元/件)之间的函数解析式,并求出销售价为多少元/件时,每天的销售利润最大,最大利润是多少.图15-5(2)根据题意知,W=(x-10)y=(x-10)(-x+40)=-x2+50x-400=-(x-25)2+225.∵a=-10,∴当x25时,W随x的增大而增大.∵10≤x≤16,∴当x=16时,W取得最大值,最大值为144.答:销售价为16元/件时,每天的销售利润最大,最大利润是144元.图15-62.[2018·衢州]某游乐园有一个直径为16米的圆形喷水池,喷水池的周边有一圈喷水头,喷出的水柱为抛物线,在距水池中心3米处达到最高,高度为5米,且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合,如图15-6所示,以水平方向为x轴,喷水池中心为原点建立直角坐标系.(1)求水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数表达式;(2)王师傅在水池内维修设备期间,喷水管意外喷水,为了不被淋湿,身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内?(3)经检修评估,游乐园决定对喷水设施做如下设计改进:在喷出水柱的形状不变的前提下,把水池的直径扩大到32米,各方向喷出的水柱仍在喷水池中心保留的原装饰物(高度不变)处汇合,请探究扩建改造后喷水池水柱的最大高度.图15-6解:(1)∵抛物线的顶点坐标为(3,5),∴设y=a(x-3)2+5,将(8,0)代入,解得a=-15,∴水柱所在抛物