（湖南专版）2020年中考数学复习 第二单元 方程（组）与不等式（组）第07课时 一元二次方程及其应

第7课时一元二次方程及其应用考点一一元二次方程及其解法考点聚焦1.一般形式:图7-12.一元二次方程的解法方法解题流程注意事项直接开平方法(1)ax2+c=0⇒x=①;(其中ac0)(2)a(x+n)2=b⇒x=②(其中ab0)开方后取正负两个值配方法配方过程中,注意加上一个数的同时减去这个数ax2+bx+c=0(a≠0)⇒x2+bax+ca=0⇒x+b2a2=b2-4ac4a2,开方求解±-𝒄𝒂-n±𝒃𝒂(续表)方法解题流程注意事项公式法当b2-4ac≥0时,由求根公式可得ax2+bx+c=0(a≠0)的解为x=③前提条件:①判别式Δ≥0;②等号的右边为0因式分解法ax2+bx+c=0(a≠0)(m1x+n1)·(m2x+n2)=0⇒m1x+n1=0或m2x+n2=0,求得x的值当等号两边有相同的因式时,不能约去,以免漏解-𝒃±𝒃𝟐-𝟒𝒂𝒄𝟐𝒂考点二一元二次方程根的判别式、根与系数的关系1.判别式与根的关系(1)b2-4ac0⇔方程有④的实数根;(2)b2-4ac=0⇔方程有⑤的实数根;(3)b2-4ac0⇔方程⑥实数根.2.根与系数的关系(选学)若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根分别为x1,x2,则x1+x2=⑦,x1x2=⑧.两个不相等两个相等没有-𝒃𝒂𝒄𝒂考点三一元二次方程的实际应用应用类型等量关系增长率问题(1)增长率=增量÷基础量;(2)设a为原来的量,m为平均增长率,n为增长次数,b为增长后的量,则a(1+m)n=b销售利润问题(1)纯利润=售出价-进货价-其他费用;(2)利润率=利润÷进货价×100%;(3)总利润=(售价-成本)×数量(续表)应用类型等量关系面积问题AB+BC+CD=aS阴影=⑨S阴影=⑩S阴影=⑪(a-2x)(b-2x)(a-x)(b-x)𝒂-𝒙𝟐·x题组一必会题对点演练1.[九上P35“议一议”改编]方程-2x2+4x-8=0写成(x+n)2=d的形式,正确的是()A.(x-1)2=-3B.(x+2)2=-3C.(x-2)2=12D.(x+1)2=3A2.[九上P45习题2.3第1题]一元二次方程3x2-2x-1=0的根的情况为()A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根C.只有一个实数根D.没有实数根B3.[九上P28习题2.1第2(1)题]某商品经过两次连续降价,每件售价由原来的55元降到了35元.设平均每次降价率为x,则平均降价率x应满足的方程为()A.55(1+x)2=35B.35(1+x)2=55C.55(1-x)2=35D.35(1-x)2=55C4.[九上P31练习第1(3)题改编]方程(x+3)2-36=0的解为.5.[九上P48习题2.4A组第1题](1)设方程x2-4x-1=0的两个根为x1与x2,则x1x2=;(2)设方程x2+5x+6=0的两个根为x1与x2,则x1+x2=.x1=3,x2=-9-5-1题组二易错题x=1或x=2【失分点】解一元二次方程时,方程的两边直接除以相同的整式,导致漏解;在运用根的判别式或者根与系数的关系时,忽视二次项系数不能等于0这一条件.6.一元二次方程x(x-1)=2(x-1)2的根是.[解析]∵关于x的方程ax2+2x-3=0有两个不相等的实数根,∴a≠0,且22-4a(-3)0,解得a-13且a≠0.7.[2019·枣庄]已知关于x的方程ax2+2x-3=0有两个不相等的实数根,则a的取值范围是.[答案]a-13且a≠0考向一一元二次方程的有关概念例1[2018·盐城改编]已知一元二次方程x2+kx-3=0有一根为1.(1)k的值为;(2)方程的另一个根为.[答案](1)2(2)-3[解析]把x=1代入一元二次方程,得12+k-3=0,解得k=2,所以原方程为x2+2x-3=0,求得另一个根为-3.【方法点析】已知一元二次方程的一个根,求系数中待定字母的值,有两种方法:一是将已知根代入到方程中,得到关于待定字母的方程,再解之即得;二是利用根与系数的关系求出另一个根,再利用两根之和(积)求得待定字母的值.|考向精练|1.[2019·兰州]若x=1是关于x的一元二次方程x2+ax+2b=0的解,则2a+4b=()A.-2B.-3C.-1D.-6A2.[2019·济宁]已知x=1是方程x2+bx-2=0的一个根,则方程的另一个根是.[答案]-2[解析]方法1:把x=1代入得1+b-2=0,解得b=1,所以方程是x2+x-2=0,解得x1=1,x2=-2.方法2:设方程的另一个根为x1,由根与系数的关系知1×x1=-2.∴x1=-2.考向二一元二次方程的解法解:(1)公式法:原方程为x2-12x+27=0,这里a=1,b=-12,c=27.∵b2-4ac=(-12)2-4×1×27=360,∴x=12±362×1=12±62.∴原方程的根为x1=3,x2=9.例2用指定方法解方程x2-12x+27=0.(1)公式法:(2)配方法:(3)因式分解法:例2用指定方法解方程x2-12x+27=0.(2)配方法:解:(2)配方法:原方程为x2-12x+27=0,x2-12x=-27,x2-12x+62=-27+62,(x-6)2=9,x-6=±3,x1=3,x2=9.例2用指定方法解方程x2-12x+27=0.(3)因式分解法:解:(3)因式分解法:原方程为x2-12x+27=0,(x-3)(x-9)=0,∴x-3=0或x-9=0,∴x1=3,x2=9.【方法点析】解一元二次方程要根据方程的特点选取方法,考虑选用的先后顺序为:直接开平方法,因式分解法,公式法,配方法.形如(x+m)2=n(n≥0)的一元二次方程可用直接开平方法;如果一元二次方程的一边是0,而另一边又能分解成两个一次因式的积,则用因式分解法;当二次项系数为1,且一次项系数为偶数时,可用配方法.|考向精练|1.[2019·怀化]一元二次方程x2+2x+1=0的解是()A.x1=1,x2=-1B.x1=x2=1C.x1=x2=-1D.x1=-1,x2=2[答案]C[解析]方程x2+2x+1=0,配方可得(x+1)2=0,解得x1=x2=-1.故选C.2.[2019·滨州]用配方法解一元二次方程x2-4x+1=0时,下列变形正确的是()A.(x-2)2=1B.(x-2)2=5C.(x+2)2=3D.(x-2)2=3[答案]D[解析]x2-4x+1=0,移项得x2-4x=-1,两边配方得x2-4x+4=-1+4,即(x-2)2=3.故选D.3.[2019·常德]解方程:x2-3x-2=0.解:x2-3x-2=0,∵a=1,b=-3,c=-2,∴Δ=b2-4ac=17,∴x1=3+172,x2=3-172.考向三一元二次方程根的判别式例3[2019·河南]一元二次方程(x+1)(x-1)=2x+3的根的情况是()A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.只有一个实数根D.没有实数根角度1不解方程判断方程的根的情况A例4[2019·聊城]若关于x的一元二次方程(k-2)x2-2kx+k=6有实数根,则k的取值范围为()A.k≥0B.k≥0且k≠2C.k≥32D.k≥32且k≠2角度2已知一元二次方程根的情况,求字母的值或取值范围[答案]D[解析]∵原方程是一元二次方程,∴k-2≠0,∴k≠2,∵其有实数根,∴(-2k)2-4(k-2)(k-6)≥0,解之得k≥32,∴k的取值范围为k≥32且k≠2,故选D.|考向精练|1.[2019·荆州]若一次函数y=kx+b(k≠0)的图象不经过第二象限,则关于x的方程x2+kx+b=0的根的情况是()A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.无实数根D.无法确定[答案]A[解析]∵一次函数y=kx+b的图象不经过第二象限,∴k0,b≤0,∴Δ=k2-4b0,∴方程有两个不相等的实数根,故选:A.2.下列方程中,没有实数根的是()A.2x+3=0B.x2-1=0C.2𝑥+1=1D.x2+x+1=0[答案]D[解析]A选项,解2x+3=0得x=-32,显然有解;B选项,b2-4ac=0-4×1×(-1)=40,故有解;C选项属于分式方程,去分母得:2=x+1,解得x=1,经检验x=1是原方程的根,故有解;D选项是一元二次方程,使用根的判别式b2-4ac=1-4×1×1=-30,故原方程无实数根,选择D.3.[2019·邵阳]若关于x的一元二次方程x2-2x-m=0有两个不相等的实数根,则m的最小整数值是.[答案]0[解析]∵一元二次方程有两个不相等的实数根,∴Δ=4+4m0,解得m-1,故答案为0.解:(1)由一元二次方程x2-3x+k=0有实数根,得b2-4ac=9-4k≥0,∴k≤94.4.[2019·衡阳]关于x的一元二次方程x2-3x+k=0有实数根.(1)求k的取值范围;(2)如果k是符合条件的最大整数,且一元二次方程(m-1)x2+x+m-3=0与方程x2-3x+k=0有一个相同的根,求此时m的值.解:(2)k可取的最大整数为2,∴方程可化为x2-3x+2=0,该方程的根为1和2.∵方程x2-3x+k=0与一元二次方程(m-1)x2+x+m-3=0有一个相同的根,∴当x=1时,方程为(m-1)+1+m-3=0,解得m=32;当x=2时,方程为(m-1)×22+2+m-3=0,解得m=1(不合题意).故m=32.4.[2019·衡阳]关于x的一元二次方程x2-3x+k=0有实数根.(2)如果k是符合条件的最大整数,且一元二次方程(m-1)x2+x+m-3=0与方程x2-3x+k=0有一个相同的根,求此时m的值.考向四一元二次方程根与系数的关系(选讲)例5已知关于x的方程x2+2x-2m+1=0的两个实数根分别为x1,x2,则(1)x1+x2=()A.2B.-2C.-2m+1D.2m-1(2)x1x2=()A.2B.-2C.-2m+1D.2m-1(3)若方程的两实数根之积为负,则m的取值范围是.(4)是否存在实数m使得两个实根的平方和等于7?若存在,请求出m的值;若不存在,请说明理由.Bm𝟏𝟐C例5已知关于x的方程x2+2x-2m+1=0的两个实数根分别为x1,x2,则(4)是否存在实数m使得两个实根的平方和等于7?若存在,请求出m的值;若不存在,请说明理由.解:(4)存在实数m使得两个实根的平方和等于7,则𝑥12+𝑥22=(x1+x2)2-2x1x2=7,即4-2(1-2m)=7,解得m=54,当m=54时,Δ0,即方程有实根,所以当m=54时,两个实根的平方和等于7.[2019·鄂州]已知关于x的方程x2-2x+2k-1=0有实数根.(1)求k的取值范围;(2)设方程的两根分别是x1,x2,且𝑥2𝑥1+𝑥1𝑥2=x1·x2,试求k的值.|考向精练|解:(1)∵关于x的方程x2-2x+2k-1=0有实数根,∴b2-4ac≥0,∴(-2)2-4(2k-1)≥0,∴k≤1.[2019·鄂州]已知关于x的方程x2-2x+2k-1=0有实数根.(2)设方程的两根分别是x1,x2,且𝑥2𝑥1+𝑥1𝑥2=x1·x2,试求k的值.解:(2)∵x1,x2是方程的两根,根据一元二次方程根与系数的关系,得:x1+x2=2,x1·x2=2k-1,∵𝑥2𝑥1+𝑥1𝑥2=x1·x2,∴𝑥12+𝑥22𝑥1·𝑥2=x1·x2,∴(x1+x2)2-2x1·x2=(x1·x2)2,∴22-2(2k-1)=(2k-1)2,解得:k1=52,k2=-52.经检验,x1·x2=±5-1≠0,∴x1,x2都是方程的根.∵k≤1,∴k=-52.考向五一元二次方程的应用例6[2019·长沙]近日,长沙市教育局出台《长沙市中小学教师志愿辅导工作实施意见》,鼓励教师参与志愿辅导,某区率先示范,推出名师公益大课堂,为学生提供线上线下免费辅导,据统计,第一批公益课受益学生2万人次,第三批公益课受益学生2.42万人次.(1)如果第二