（呼和浩特专版）2020中考数学复习方案 第四单元 三角形 第19课时 等腰三角形课件

第19课时等腰三角形基础知识巩固高频考向探究定义有①相等的三角形叫做等腰三角形.相等的两边叫做腰,另一边叫做底边,两腰的夹角叫做顶角,腰和底边的夹角叫做底角性质(1)两个底角相等(简称②)(2)顶角平分线、底边上的③、底边上的高相互重合(简称三线合一)(3)是轴对称图形,有④条对称轴判定(1)在△ABC中,AB=AC⇒△ABC是等腰三角形(定义)(2)在△ABC中,∠B=∠C⇒△ABC是等腰三角形考点一等腰三角形考点聚焦两边等边对等角中线1基础知识巩固高频考向探究（续表）面积S=12ah,其中a是底边长,h是底边上的高拓展(1)等腰三角形两腰上的高相等(2)等腰三角形两腰上的中线相等(3)等腰三角形两底角的平分线相等(4)等腰三角形一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半(5)等腰三角形顶角的外角平分线与底边平行(6)等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高(7)等腰三角形底边延长线上任意一点到两腰的距离之差等于一腰上的高基础知识巩固高频考向探究考点二等边三角形定义三边都相等的三角形叫做等边三角形性质(1)等边三角形的三个内角都相等,并且每一个角都等于⑤(2)等边三角形三条角平分线的交点、三条高的交点、三条中线的交点重合(3)等边三角形是轴对称图形,有⑥条对称轴判定(1)三条边都相等的三角形是等边三角形(定义)(2)三个角都相等的三角形是等边三角形(3)有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形面积S=34a2,a是等边三角形的边长60°3基础知识巩固高频考向探究考点三垂直平分线、角平分线名称图形性质及判定垂直平分线若直线l⊥AB于点O,OA=OB,则AP=BP线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等若PA=PB,OA=OB,则l⊥AB到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上角平分线由∠1=∠2,PE⊥OA,PF⊥OB可得PE=PF角平分线上的点到角两边的距离相等由PE⊥OA,PF⊥OB,PE=PF可得∠1=∠2到角两边距离相等的点在这个角的平分线上基础知识巩固高频考向探究题组一必会题对点演练图19-11.[2019·张家界]如图19-1,在△ABC中,∠C=90°,AC=8,DC=13AD,BD平分∠ABC,则点D到AB的距离等于()A.4B.3C.2D.1[答案]C[解析]过点D作DE⊥AB于E,∵AC=8,DC=13AD,∴CD=2,∵BD平分∠ABC,∴DC=DE=2,即点D到AB的距离等于2,故选C.基础知识巩固高频考向探究2.[八上P77练习第3题改编]如图19-2,在△ABC中,AB=AD=DC,∠BAD=26°,则∠B=,∠C=.图19-2[答案]77°38.5°[解析]由题意,在△ABC中,AB=AD=DC,∠BAD=26°,根据等腰三角形的性质可以求出∠B,再根据三角形内角与外角的关系即可求出∠C.∵AB=AD,∠BAD=26°,∴在△ABD中,∠B=∠ADB=(180°-26°)×12=77°.又∵AD=DC,∴在△ADC中,∠C=12∠ADB=77°×12=38.5°.基础知识巩固高频考向探究3.[八上P78例2改编]如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边,那么这个三角形是.[答案]等腰三角形[解析]如图,CD平分∠ACE,且AB∥CD,∴∠ACD=∠DCE,∠A=∠ACD,∠ABC=∠DCE,∴∠ABC=∠A,∴△ABC为等腰三角形.基础知识巩固高频考向探究4.[八上P82习题13.3第7题改编]如图19-3,AB=AC,∠A=40°,AB的垂直平分线MN交AC于点D,则∠DBC=.图19-3[答案]30°[解析]∵AB=AC,∴∠ABC=∠C=70°.∵MN垂直平分AB,∴DA=DB,∴∠A=∠ABD=40°,∴∠DBC=∠ABC-∠ABD=70°-40°=30°.基础知识巩固高频考向探究5.[八上P83习题13.3第10题改编]如图19-4,△ABC中,BO平分∠ABC,CO平分∠ACB,MN经过点O,与AB,AC相交于点M,N,且MN∥BC.则△AMN的周长等于(用含△ABC三边的式子表示).图19-4AB+AC基础知识巩固高频考向探究题组二易错题【失分点】当腰与底不确定时或顶角与底角不确定时,忽视分类讨论造成漏解.6.等腰三角形一边长等于5,另一边长等于10,则它的周长是.[答案]25[解析]当5为腰,10为底时,∵5+5=10,∴不能构成三角形;当腰为10时,∵5+1010,∴能构成三角形,∴等腰三角形的周长为:10+10+5=25.基础知识巩固高频考向探究7.某等腰三角形的一个外角为140°,则底角为.40°或70°基础知识巩固高频考向探究考向一等腰三角形的性质及判定例1(1)若等腰三角形的底角是70°,那么它的顶角是.(2)若等腰三角形的一个角是70°,那么它的顶角是.(3)若等腰三角形的一个外角是70°,那么它的顶角是.(4)若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是60°,那么它的顶角是.(5)若等腰三角形两边长分别为3和4,则这个等腰三角形的周长是.(6)若等腰三角形的一边长为4,周长为10,则底边长为.基础知识巩固高频考向探究[答案](1)40°[解析](1)∵等腰三角形两底角相等且三角形内角和为180°,∴顶角为180°-70°×2=40°.基础知识巩固高频考向探究例1(2)若等腰三角形的一个角是70°,那么它的顶角是.(3)若等腰三角形的一个外角是70°,那么它的顶角是.[答案](2)70°或40°[解析](2)当70°角为底角时,顶角为40°;当70°角是顶角时,顶角就是70°.∴顶角为70°或40°.[答案](3)110°[解析](3)∵外角是70°,∴对应的内角为110°,110°只能为顶角.基础知识巩固高频考向探究例1(4)若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是60°,那么它的顶角是.(5)若等腰三角形两边长分别为3和4,则这个等腰三角形的周长是.[答案](4)150°或30°[解析](4)当三角形为钝角三角形时,顶角为150°.当三角形为锐角三角形时,顶角为30°.[答案](5)10或11[解析](5)当3为底,4为腰时,3+44,成立,∴周长为3+4+4=11.当3为腰,4为底时,3+34成立,∴周长为3+3+4=10.综上,周长为11或10.基础知识巩固高频考向探究例1(6)若等腰三角形的一边长为4,周长为10,则底边长为.[答案](6)2或4[解析](6)当4为底时,腰长为10-42=3,∵3+34,可以组成三角形,∴底为4符合题意.当4为腰时,底为2,∵4+24,可以组成三角形,∴底为2符合题意.综上,底边长为2或4.基础知识巩固高频考向探究|考向精练|1.[2017·呼和浩特实验集团警钟考]等腰三角形的边长分别为a,b,2,且a,b是关于x的一元二次方程x2-6x+n-1=0的两根,则n的值为()A.9B.10C.9或10D.8或10B基础知识巩固高频考向探究2.[2019·包头昆区二模]如图19-5,△ABC中,以B为圆心,BC长为半径画弧,分别交AC,AB于D,E两点,连接BD,DE,若∠A=30°,AB=AC,则∠BDE的度数为()A.45°B.52.5°C.67.5°D.75°图19-5C基础知识巩固高频考向探究3.[2018·呼和浩特一模]已知一等腰三角形底边上的高等于18cm,腰上的中线等于15cm,则这个等腰三角形的面积为cm2.[答案]144[解析]如图,作MN⊥BC于N,∵AM=MC,MN∥AD,∴DN=NC.∴MN=12AD=9,在Rt△BMN中,BM=15,MN=9.∴BN=12,而BD=DC=2DN,∴3DN=12,DN=4,∴BC=16,∴S△ABC=12AD·BC=12×18×16=144.基础知识巩固高频考向探究4.[2014·呼和浩特13题]等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为36°,则该等腰三角形的底角的度数为.基础知识巩固高频考向探究[答案]63°或27°[解析]在三角形ABC中,AB=AC,BD⊥AC于D.①若三角形是锐角三角形,如图①,∠A=90°-36°=54°,底角=(180°-54°)÷2=63°;②若三角形是钝角三角形,如图②,∠BAC=36°+90°=126°,此时底角=(180°-126°)÷2=27°.所以等腰三角形底角的度数是63°或27°.基础知识巩固高频考向探究5.[2017·呼和浩特18题]如图19-6,等腰三角形ABC中,BD,CE分别是两腰上的中线.(1)求证:BD=CE.(2)设BD与CE相交于点O,点M,N分别为线段BO和CO的中点.当△ABC的重心到顶点A的距离与底边长相等时,判断四边形DEMN的形状,无需说明理由.图19-6基础知识巩固高频考向探究解:(1)证明:∵AB,AC为等腰三角形的两腰,∴AB=AC,∵BD,CE分别是两腰上的中线,∴AE=AD.在△AEC与△ADB中,𝐴𝐸=𝐴𝐷,∠𝐴=∠𝐴,𝐴𝐶=𝐴𝐵,∴△AEC≌△ADB,∴BD=CE.基础知识巩固高频考向探究5.[2017·呼和浩特18题]如图19-6,等腰三角形ABC中,BD,CE分别是两腰上的中线.(2)设BD与CE相交于点O,点M,N分别为线段BO和CO的中点.当△ABC的重心到顶点A的距离与底边长相等时,判断四边形DEMN的形状,无需说明理由.图19-6(2)四边形DEMN为正方形.基础知识巩固高频考向探究6.[2019·重庆A卷]如图19-7,在△ABC中,AB=AC,D是BC边上的中点,连接AD,BE平分∠ABC交AC于点E,过点E作EF∥BC交AB于点F.(1)若∠C=36°,求∠BAD的度数;(2)求证:FB=FE.图19-7解:(1)∵AB=AC,∴∠ABC=∠C=36°.∴∠BAC=180°-∠ABC-∠C=108°.又∵D是BC边上的中点,∴AD平分∠BAC.∴∠BAD=12∠BAC=54°.基础知识巩固高频考向探究6.[2019·重庆A卷]如图19-7,在△ABC中,AB=AC,D是BC边上的中点,连接AD,BE平分∠ABC交AC于点E,过点E作EF∥BC交AB于点F.(2)求证:FB=FE.图19-7(2)证明:∵BE平分∠ABC,∴∠ABE=∠CBE.∵EF∥BC,∴∠FEB=∠CBE.∴∠ABE=∠FEB.∴FB=FE.基础知识巩固高频考向探究考向二等边三角形的性质及判定例2[八上P93复习题13第13题]如图19-8,△ABC是等边三角形,BD是中线,延长BC至E,使CE=CD.求证:DB=DE.图19-8基础知识巩固高频考向探究证明:∵△ABC是等边三角形,BD是中线,∴∠ABC=∠ACB=60°,∠DBC=30°.∵CE=CD,∴∠CDE=∠CED.∵∠BCD=∠CDE+∠CED,∴∠CDE=∠CED=12∠BCD=30°.∴∠DBC=∠DEC.∴DB=DE(等角对等边).基础知识巩固高频考向探究|考向精练|1.如图19-9,点A,C,B在同一直线上,△DAC和△EBC均是等边三角形,AE与BD交于点O,AE,BD分别与CD,CE交于点M,N,有如下结论:①AE=BD;②△ACM≌△DCN;③EM=BN;④MN∥BC;⑤∠DOA=60°,其中,正确的结论个数是()A.5个B.4个C.3个D.2个图19-9基础知识巩固高频考向探究[答案]A[解析]∵△DAC和△EBC均是等边三角形,∴AC=CD,BC=CE,∠ACD=∠BCE=60°,∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE,即∠ACE=∠DCB,在△ACE和△DCB中,𝐴𝐶=𝐶𝐷,∠𝐴𝐶𝐸=∠𝐵𝐶𝐷,𝐶𝐸=𝐵𝐶,∴△ACE≌△DCB(SAS),∴AE=BD,∠CAE=∠CDB,故①正确;在△ACM和△DCN中,∠𝐴𝐶𝐷=∠𝐷𝐶𝐸,𝐴𝐶=𝐶𝐷,∠𝐶𝐴𝐸=∠𝐶𝐷𝑁,∴△ACM≌△DCN(ASA),故②正确;∴AM=DN,CM=CN,∴AE-AM=BD-DN,即EM=BN,故③正确;基础知识巩固高频