（呼和浩特专版）2020中考数学复习方案 第三单元 函数及其图象 第13课时 二次函数的图象与性质课

第13课时二次函数的图象与性质基础知识巩固高频考向探究考点一二次函数的概念考点聚焦一般地,形如①(a,b,c是常数,a≠0)的函数,叫做二次函数.y=ax2+bx+c【温馨提示】函数y=ax2+bx+c未必是二次函数,当②时,y=ax2+bx+c是二次函数.a≠0基础知识巩固高频考向探究函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)a0a0图象开口方向开口③,并向上无限延伸开口④,并向下无限延伸对称轴直线⑤顶点坐标⑥考点二二次函数的图象与性质向上向下x=-𝒃𝟐𝒂-𝒃𝟐𝒂,𝟒𝒂𝒄-𝒃𝟐𝟒𝒂基础知识巩固高频考向探究函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)a0a0增减性在对称轴的左侧,即当x-b2a时,y随x的增大而⑦;在对称轴的右侧,即当x-b2a时,y随x的增大而⑧,简记为“左减右增”在对称轴的左侧,即当x-b2a时,y随x的增大而⑨;在对称轴的右侧,即当x-b2a时,y随x的增大而⑩,简记为“左增右减”（续表）减小增大增大减小基础知识巩固高频考向探究函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)a0a0最值抛物线有最低点,当x=-b2a时,y有最值,y最小值=4ac-b24a抛物线有最高点,当x=-b2a时,y有最值,y最大值=4ac-b24a二次项系数a的特性𝑎的大小决定抛物线的开口大小,𝑎越大,抛物线的开口越小;𝑎越小,抛物线的开口越大常数项c的意义c是抛物线与y轴交点的纵坐标,即x=0时,y=c（续表）小大基础知识巩固高频考向探究考点三二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)的图象与系数的关系项目字母字母的符号图象的特征aa0开口向a0开口向bb=0对称轴为轴ab0(b与a同号)对称轴在y轴侧ab0(b与a异号)对称轴在y轴侧上下y左右基础知识巩固高频考向探究(续表)项目字母字母的符号图象的特征cc=0经过点c0与y轴相交c0与y轴相交b2-4acb2-4ac=0与x轴有唯一交点(顶点)b2-4ac0与x轴有个不同的交点b2-4ac0与x轴没有交点(0,0)正半轴负半轴两基础知识巩固高频考向探究(续表)项目字母字母的符号图象的特征特殊关系当x=1时,y=a+b+c当x=-1时,y=若a+b+c0,则当x=1时,y0若a-b+c0,则当x=时,y0a-b+c-1基础知识巩固高频考向探究考点四二次函数图象的画法二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象是以-𝑏2𝑎,4𝑎𝑐-𝑏24𝑎为顶点,以直线x=-𝑏2𝑎为对称轴的抛物线.一般用描点法画二次函数的图象,步骤如下:画对称轴→确定顶点位置→确定与x轴,y轴的交点位置→确定与y轴的交点关于对称轴的对称点→用平滑的曲线连接上述各点.基础知识巩固高频考向探究考点五二次函数的表示及解析式的求法1.二次函数的三种表示方法(1)一般式:㉔.(2)顶点式:y=a(x-h)2+k(a≠0),其中二次函数图象的顶点坐标是㉕.(3)两点式:y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0),其图象与x轴的交点的坐标为㉖.y=ax2+bx+c(a≠0)(h,k)(x1,0),(x2,0)基础知识巩固高频考向探究2.二次函数解析式的确定用待定系数法求二次函数的解析式时,注意解析式的设法,常见情况如下:条件设法顶点在原点y=ax2(a≠0)顶点在y轴上y=ax2+c(a≠0,y轴为对称轴)顶点在x轴上y=a(x-h)2(a≠0,直线x=h是对称轴)抛物线过原点y=ax2+bx(a≠0)顶点(h,k)y=a(x-h)2+k(a≠0)抛物线与x轴的交点为(x1,0),(x2,0)y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)基础知识巩固高频考向探究考点六二次函数图象的平移抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)可用配方法化成y=a(x-h)2+k(a≠0)的形式,任意抛物线y=a(x-h)2+k(a≠0)均可由抛物线y=ax2(a≠0)平移得到,具体平移方法如图13-1所示(假设h,k均为正数):图13-1基础知识巩固高频考向探究【温馨提示】平移规则为“上加下减,左加右减”.基础知识巩固高频考向探究题组一必会题对点演练1.[2018·岳阳]抛物线y=3(x-2)2+5的顶点坐标是()A.(-2,5)B.(-2,-5)C.(2,5)D.(2,-5)C2.[2019·重庆B卷]抛物线y=-3x2+6x+2的对称轴是()A.直线x=2B.直线x=-2C.直线x=1D.直线x=-1C基础知识巩固高频考向探究3.一条抛物线和抛物线y=-2x2的形状、开口方向完全相同,顶点坐标是(-1,3),则该抛物线的解析式为()A.y=-2(x-1)2+3B.y=-2(x+1)2+3C.y=-(2x+1)2+3D.y=-(2x-1)2+3B基础知识巩固高频考向探究4.[2019·雅安]在平面直角坐标系中,对于二次函数y=(x-2)2+1,下列说法中错误的是()A.y的最小值为1B.图象顶点坐标为(2,1),对称轴为直线x=2C.当x2时,y的值随x值的增大而增大,当x≥2时,y的值随x值的增大而减小D.它的图象可以由y=x2的图象向右平移2个单位长度,再向上平移1个单位长度得到C基础知识巩固高频考向探究5.[2019·河南]已知抛物线y=-x2+bx+4经过(-2,n)和(4,n)两点,则n的值为()A.-2B.-4C.2D.4[答案]B[解析]由抛物线过(-2,n)和(4,n),说明这两个点关于对称轴对称,即对称轴为直线x=1,所以-𝑏2𝑎=1,又因为a=-1,所以可得b=2,即抛物线的解析式为y=-x2+2x+4,把x=-2代入解得n=-4.基础知识巩固高频考向探究6.[2019·攀枝花]在同一坐标系中,二次函数y=ax2+bx与一次函数y=bx-a的图象可能是()C图13-2基础知识巩固高频考向探究题组二易错题【失分点】考虑二次函数的增减性时,要关注自变量的取值及对称轴的位置,因为二次函数的增减性是分区域的.7.[2019·温州]已知二次函数y=x2-4x+2,关于该函数在-1≤x≤3的取值范围内,下列说法正确的是()A.有最大值-1,有最小值-2B.有最大值0,有最小值-1C.有最大值7,有最小值-1D.有最大值7,有最小值-2[答案]D[解析]∵二次函数y=x2-4x+2=(x-2)2-2,∴该函数在-1≤x≤3的取值范围内,当x=2时,y有最小值-2;当x=-1时,y有最大值7.故选D.基础知识巩固高频考向探究8.[2018·潍坊]已知二次函数y=-(x-h)2(h为常数),当自变量x的值满足2≤x≤5时,与其对应的函数值y的最大值为-1,则h的值为()A.3或6B.1或6C.1或3D.4或6[答案]B[解析]二次函数y=-(x-h)2,当x=h时,有最大值0,而当自变量x的值满足2≤x≤5时,与其对应的函数值y的最大值为-1,故h2或h5.当h2时,2≤x≤5时,y随x的增大而减小,故当x=2时,y有最大值,此时-(2-h)2=-1,解得:h1=1,h2=3(舍去),此时h=1;当h5时,2≤x≤5时,y随x的增大而增大,故当x=5时,y有最大值,此时-(5-h)2=-1,解得:h1=6,h2=4(舍去),此时h=6.综上可知,h=1或6,故选B.基础知识巩固高频考向探究9.一元二次方程x2+(m-5)x+1-m=0的一根大于3,另一根小于3,则m的取值范围为.m𝟓𝟐基础知识巩固高频考向探究考向一二次函数的图象与性质例1对于抛物线y=x2-2x-8.(1)求出它的开口方向、对称轴及顶点D的坐标;(2)求出它与y轴的交点C的坐标;(3)求出它与x轴的交点A,B的坐标(A在B左侧);(4)画出它的图象;(5)当x为何值时,y随x的增大而增大;(6)求CB和AD的长;(7)求△CDB的面积.图13-3基础知识巩固高频考向探究解:(1)y=x2-2x-8=(x-1)2-9,开口向上,对称轴为直线x=1,顶点为D(1,-9).基础知识巩固高频考向探究例1对于抛物线y=x2-2x-8.(2)求出它与y轴的交点C的坐标;图13-3(2)令x=0,则y=-8,∴C(0,-8).基础知识巩固高频考向探究例1对于抛物线y=x2-2x-8.(3)求出它与x轴的交点A,B的坐标(A在B左侧);图13-3(3)令y=0,则x2-2x-8=0,∴x1=-2,x2=4,∴A(-2,0),B(4,0).基础知识巩固高频考向探究例1对于抛物线y=x2-2x-8.(4)画出它的图象;图13-3(4)如图:基础知识巩固高频考向探究例1对于抛物线y=x2-2x-8.(5)当x为何值时,y随x的增大而增大;图13-3(5)当x≥1时,y随x的增大而增大.基础知识巩固高频考向探究例1对于抛物线y=x2-2x-8.(6)求CB和AD的长;图13-3(6)CB=(0-4)2+(-8-0)2=16+64=45,AD=(-2-1)2+(0+9)2=9+81=310.基础知识巩固高频考向探究例1对于抛物线y=x2-2x-8.(7)求△CDB的面积.图13-3(7)过D作DF⊥y轴于F.则S△CDB=S梯形BOFD-S△COB-S△CDF=(1+4)×92−4×82−1×12=6.基础知识巩固高频考向探究【方法点析】(1)求二次函数图象的顶点坐标有两种方法:①配方法;②顶点公式法,即-𝑏2𝑎,4𝑎𝑐-𝑏24𝑎.(2)画抛物线y=ax2+bx+c的草图要确定五要素:①开口方向;②对称轴;③顶点;④与y轴的交点;⑤与x轴的交点.基础知识巩固高频考向探究|考向精练|1.[2019·呼和浩特3题]二次函数y=ax2与一次函数y=ax+a在同一坐标系中的大致图象可能是()D图13-4基础知识巩固高频考向探究2.[2013·呼和浩特8题]在同一平面直角坐标系中,函数y=mx+m和y=-mx2+2x+2(m是常数,m≠0)的图象可能是()图13-5D基础知识巩固高频考向探究3.[2019·烟台]已知二次函数y=ax2+bx+c的y与x的部分对应值如下表:下列结论:①抛物线的开口向上;②抛物线的对称轴为直线x=2;③当0x4时,y0;④抛物线与x轴的两个交点间的距离是4;⑤若A(x1,2),B(x2,3)是抛物线上两点,则x1x2.其中正确的个数是()A.2B.3C.4D.5x-10234y50-4-30基础知识巩固高频考向探究[答案]B[解析]先根据二次函数的部分对应值在坐标系中描点、连线,由图象可以看出抛物线开口向上,所以结论①正确;由图象(或表格)可以看出抛物线与x轴的两个交点分别为(0,0),(4,0),所以抛物线的对称轴为直线x=2且抛物线与x轴的两个交点间的距离为4,所以结论②和④正确;由抛物线可以看出当0x4时,y0,所以结论③错误;由图象可以看出当抛物线上的点的纵坐标为2或3时,对应的点均有两个,若A(x1,2),B(x2,3)是抛物线上两点,既有可能x1x2,也有可能x1x2,所以结论⑤错误.基础知识巩固高频考向探究4.当a≤x≤a+1时,函数y=x2-2x+1的最小值为1,则a的值为()A.-1B.2C.0或2D.-1或2[答案]D[解析]y=x2-2x+1=(x-1)2,该函数在实数范围内最小值为0,但题中说当a≤x≤a+1时,函数y=x2-2x+1的最小值为1,因此,当x=a或x=a+1时,函数值为1,令y=1,可得x1=0,x2=2,再由该函数的增减性可知a+1=0,或a=2,即a=-1或2,故选D.基础知识巩固高频考向探究5.已知二次函数y=-(x-1)2+2,当tx5时,y随x的增大而减小,则实数t的取值范围是.[答案]1≤t5[解析]抛物线的对称轴为直线x=1,因为a=-10,所以抛物线开口向下,所以当x1时,y随x的增大而减小,而tx5时,y随x的增大而减小,所以1≤t5.基础知识巩固高频考向探究考向二二次函数的图象与a,b,c的关系例2已知二次函数y=ax2