二次函数在实际生活中的应用

二次函数在实际生活中的应用【经典母题】某超市销售一种饮料，每瓶进价为9元，经市场调查表明，当售价在10元到14元之间(含10元，14元)浮动时，每瓶售价每增加0.5元，日均销量减少40瓶；当售价为每瓶12元时，日均销量为400瓶．问销售价格定为每瓶多少元时，所得日均毛利润(每瓶毛利润＝每瓶售价－每瓶进价)最大？最大日均毛利润为多少元？解：设售价为每瓶x元时，日均毛利润为y元，由题意，得日均销售量为400－40[(x－12)÷0.5]＝1360－80x，y＝(x－9)(1360－80x)＝－80x2＋2080x－12240(10≤x≤14)．－b2a＝－20802×（－80）＝13，∵10≤13≤14，∴当x＝13时，y取最大值，y最大＝－80×132＋2080×13－12240＝1280(元)．答：售价定为每瓶13元时，所得日均毛利润最大，最大日均毛利润为1280元．【思想方法】本题是一道复杂的市场营销问题，在建立函数关系式时，应注意自变量的取值范围，在这个取值范围内，需了解函数的性质(最大最小值，变化情况，对称性，特殊点等)和图象，然后依据这些性质作出结论．【中考变形】1．[2017·锦州]某商店购进一批进价为20元/件的日用商品，第一个月，按进价提高50%的价格出售，售出400件，第二个月，商店准备在不低于原售价的基础上进行加价销售，根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少．销售量y(件)与销售单价x(元)的关系如图Z8－1所示．(1)图中点P所表示的实际意义是__当售价定为35元/件时，销售量为300件__；销售单价每提高1元时，销售量相应减少__20__件；(2)请直接写出y与x之间的函数表达式：__y＝20x图Z8－1＋1_000__；自变量x的取值范围为__30≤x≤50__；(3)第二个月的销售单价定为多少元时，可获得最大利润？最大利润是多少？解：(1)图中点P所表示的实际意义是：当售价定为35元/件时，销售量为300件；第一个月的该商品的售价为20×(1＋50%)＝30(元)，销售单价每提高1元时，销售量相应减少数量为(400－300)÷(35－30)＝20(件)．(2)设y与x之间的函数表达式为y＝kx＋b，将点(30，400)，(35，300)代入，得400＝30k＋b，300＝35k＋b，解得k＝－20，b＝1000，∴y与x之间的函数表达式为y＝－20x＋1000.当y＝0时，x＝50，∴自变量x的取值范围为30≤x≤50.(3)设第二个月的利润为W元，由已知得W＝(x－20)y＝(x－20)(－20x＋1000)＝－20x2＋1400x－20000＝－20(x－35)2＋4500，∵－20＜0，∴当x＝35时，W取最大值4500.答：第二个月的销售单价定为35元时，可获得最大利润，最大利润是4500元．2．[2016·宁波一模]大学生自主创业，集资5万元开品牌专卖店，已知该品牌商品成本为每件a元，市场调查发现日销售量y(件)与销售价x(元/件)之间存在一次函数关系，如下表所示：销售价x(元/件)…110115120125130…销售量y(件)…5045403530…若该店某天的销售价定为110元/件，雇有3名员工，则当天正好收支平衡(即支出＝商品成本＋员工工资＋应支付的其他费用)．已知员工的工资为每人每天100元，每天还应支付其他费用200元(不包括集资款)．(1)求日销售量y(件)与销售价x(元/件)之间的函数关系式；(2)该店现有2名员工，试求每件服装的销售价定为多少元时，该服装店每天的毛利润最大(毛利润＝销售收入－商品成本－员工工资－应支付的其他费用)；(3)在(2)的条件下，若每天毛利润全部积累用于一次性还款，而集资款每天应按其万分之二的利率支付利息，则该店最少需要多少天(取整数)才能还清集资款？解：(1)由表可知，y是关于x的一次函数，设y＝kx＋b，将x＝110，y＝50；x＝115，y＝45分别代入，得110k＋b＝50，115k＋b＝45，解得k＝－1，b＝160，∴y＝－x＋160(0＜x≤160)；(2)由已知可得50×110＝50a＋3×100＋200，解得a＝100.设每天的毛利润为W元，则W＝(x－100)(－x＋160)－2×100－200＝－x2＋260x－16400＝－(x－130)2＋500，∴当x＝130时，W取最大值500.答：每件服装的销售价定为130元时，该服装店每天的毛利润最大，最大毛利润为500元；(3)设需t天才能还清集资款，则500t≥50000＋0.0002×50000t，解得t≥102249.∵t为整数，∴t的最小值为103天．答：该店最少需要103天才能还清集资款．3．[2017·青岛]青岛市某大酒店豪华间实行淡季、旺季两种价格标准，旺季每间价格比淡季上涨13.下表是去年该酒店豪华间某两天的相关记录：淡季旺季未入住房间数100日总收入(元)2400040000(1)该酒店豪华间有多少间？旺季每间价格为多少元？(2)今年旺季来临，豪华间的间数不变，经市场调查发现，如果豪华间仍旧实行去年旺季的价格，那么每天都客满；如果价格继续上涨，那么每增加25元，每天未入住房间数增加1间．不考虑其他因素，该酒店将豪华间的价格上涨多少元时，豪华间的日总收入最高？最高日总收入是多少元？(注：上涨价格需为25的倍数)解：(1)设淡季每间的价格为x元，依题意得40000x1＋13＝24000x＋10，解得x＝600，∴酒店豪华间有40000x1＋13＝40000600×1＋13＝50(间)，旺季每间价格为x＋13x＝600＋13×600＝800(元)．答：该酒店豪华间有50间，旺季每间价格为800元；(2)设该酒店豪华间的价格上涨x元，日总收入为y元，y＝(800＋x)50－x25＝－125(x－225)2＋42025，∴当x＝225时，y取最大值42025.答：该酒店将豪华间的价格上涨225元时，豪华间的日总收入最高，最高日总收入是42025元．4．某公司经营杨梅业务，以3万元/t的价格向农户收购杨梅后，分拣成A，B两类，A类杨梅包装后直接销售，B类杨梅深加工再销售．A类杨梅的包装成本为1万元/t，根据市场调查，它的平均销售价格y(万元/t)与销售数量x(x≥2)(t)之间的函数关系式如图Z8－2，B类杨梅深加工总费用s(单位：万元)与加工数量t(单位：t)之间的函数关系是s＝12＋3t，平均销售价格为9万元/t.图Z8－2(1)直接写出A类杨梅平均销售价格y与销售量x之间的函数关系式；(2)第一次该公司收购了20t杨梅，其中A类杨梅xt，经营这批杨梅所获得的毛利润为W万元(毛利润＝销售总收入－经营总成本)．①求W关于x的函数关系式；②若该公司获得了30万元毛利润，问：用于直接销售的A类杨梅有多少吨？(3)第二次该公司准备投人132万元资金，请设计一种经营方案，使公司获得最大毛利润，并求出最大毛利润．解：(1)y＝－x＋14（2≤x＜8），6（x≥8）；(2)∵销售A类杨梅xt，则销售B类杨梅(20－x)t.①当2≤x＜8时，W＝x(－x＋14)＋9(20－x)－3×20－x－[12＋3(20－x)]＝－x2＋7x＋48，当x≥8时，W＝6x＋9(20－x)－3×20－x－[12＋3(20－x)]＝－x＋48，∴函数表达式为W＝－x2＋7x＋48（2≤x＜8），－x＋48（x≥8）；②当2≤x＜8时，－x2＋7x＋48＝30，解得x1＝9，x2＝－2，均不合题意，当x≥8时，－x＋48＝30，解得x＝18.答：当毛利润达到30万元时，直接销售的A类杨梅有18t；(3)设该公司用132万元共购买mt杨梅，其中A类杨梅为xt，B类杨梅为(m－x)t，购买费用为3m万元．由题意，得3m＋x＋[12＋3(m－x)]＝132，化简，得3m＝x＋60.①当2≤x＜8时，W＝x(－x＋14)＋9(m－x)－132，把3m＝x＋60代入，得W＝－(x－4)2＋64，当x＝4时，有最大毛利润64万元．此时，m＝643，m－x＝523；②当x≥8时，W＝6x＋9(m－x)－132，由3m＝x＋60，得W＝48，当x≥8时，毛利润总为48万元．答：综上所述，购买杨梅共643t，且其中直销A类杨梅4t，B类杨梅523t，公司能获得最大毛利润64万元．【中考预测】某衬衣店将进价为30元的一种衬衣以40元售出，平均每月能售出600件，调查表明：这种衬衣售价每上涨1元，其销售量将减少10件．(1)写出月销售利润y(元)与售价x(元/件)之间的函数关系式；(2)当销售价定为45元时，计算月销售量和销售利润；(3)衬衣店想在月销售量不少于300件的情况下，使月销售利润达到10000元，销售价应定为多少？(4)当销售价定为多少元时会获得最大利润？求出最大利润．解：(1)由题意可得月销售利润y与售价之间的函数关系式为y＝(x－30)[600－10(x－40)]＝－10x2＋1300x－30000；(2)当x＝45时，600－10(x－40)＝550(件)，y＝－10×452＋1300×45－30000＝8250(元)；(3)令y＝10000，代入(1)中函数关系式，得10000＝－10x2＋1300x－30000，解得x1＝50，x2＝80.当x＝80时，600－10(80－40)＝200＜300(不合题意，舍去)，故销售价应定为50元；(4)y＝－10x2＋1300x－30000＝－10(x－65)2＋12250，∴x＝65时，y取最大值12250.答：当销售价定为65元时会获得最大利润，最大利润为12250元．