（呼和浩特专版）2020年中考数学复习 第三单元 函数及其图象 第14课时 二次函数的简单综合课件

第14课时二次函数的简单综合考点一二次函数与一元二次方程、不等式的关系考点聚焦抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点个数判别式b2-4ac的正负方程ax2+bx+c=0的实数根个数2个b2-4ac0两个①的实数根1个b2-4ac=0两个②的实数根没有b2-4ac0③实数根不相等相等没有1.二次函数与一元二次方程的关系2.二次函数与不等式的关系(1)ax2+bx+c0的解集函数y=ax2+bx+c的图象位于x轴上方的部分对应的点的横坐标的取值范围.(2)ax2+bx+c0的解集函数y=ax2+bx+c的图象位于④的部分对应的点的横坐标的取值范围.x轴下方考点二二次函数的综合应用1.与其他函数结合(1)与一次函数结合:一次函数y=kx+n(k≠0)的图象与二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的交点个数,由方程组𝑦=𝑘𝑥+𝑛,𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐解的数目确定.方程组有两组不同的解,则两个函数图象有两个交点;方程组只有一组解,则两个函数图象只有一个交点;方程组无解时,两个函数图象没有交点.(2)与反比例函数结合:主要涉及二次函数图象与反比例函数图象的交点问题.已知自变量的取值范围,结合函数图象及解析式,判断函数值的取值范围.2.与几何图形结合二次函数常常与三角形、四边形、圆等几何图形结合,考查以下几类问题:(1)线段数量关系、最值问题;(2)面积数量关系、最值问题;(3)存在性问题:包含特殊三角形、特殊四边形、直线与圆相切等.1.[2019·乐山]如图14-1,抛物线y=14x2-4与x轴交于A,B两点,P是以点C(0,3)为圆心,2为半径的圆上的动点,Q是线段PA的中点,连接OQ.则线段OQ的最大值是()A.3B.412C.72D.4题组必会题对点演练图14-1[答案]C[解析]连接PB,令y=14x2-4=0,得x=±4,故A(-4,0),B(4,0),∴O是AB的中点,又Q是线段PA的中点,∴OQ=12PB.∵点B是圆C外一点,当PB过圆心C时,PB最大,OQ也最大,∵OC=3,OB=4,∴由勾股定理得BC=5,PB=BC+PC=5+2=7,∴OQ=12PB=72,故选C.图14-22.[2019·凉山州]如图14-2,正方形ABCD中,AB=12,AE=14AB,点P在BC上运动(不与B,C重合),过点P作PQ⊥EP,交CD于点Q,则CQ的最大值为.[答案]4[解析]在正方形ABCD中,∵AB=12,AE=14AB=3,∴BC=AB=12,BE=9,设BP=x,则CP=12-x.∵PQ⊥EP,∴∠EPQ=∠B=∠C=90°,∴∠BEP+∠BPE=∠CPQ+∠BPE=90°,∴∠BEP=∠CPQ,∴△EBP∽△PCQ,∴𝐶𝑄𝐵𝑃=𝑃𝐶𝐵𝐸,∴𝐶𝑄𝑥=12-𝑥9,整理得CQ=-19(x-6)2+4,∴当x=6时,CQ取得最大值,最大值为4.3.[九上P47习题22.2第5题改编]如图14-3是函数y=x2-2x-3的图象,利用图象回答:(1)方程x2-2x-3=0的解是;(2)函数值大于0时x的取值范围是;(3)函数值小于0时x的取值范围是.图14-3x1=-1,x2=3x-1或x3-1x34.如图14-4,二次函数y=ax2+bx+1(a≠0)的图象的顶点在第一象限,且过点(-1,0),设t=a+b+1,则t值的变化范围是.图14-4[答案]0t2[解析]∵二次函数y=ax2+bx+1(a≠0)的图象的顶点在第一象限,且过点(-1,0),∴a-b+1=0,a0,b0,由a=b-10,得到b1,∴0b1①,由b=a+10,得到a-1,∴-1a0②,①+②得:-1a+b1,∴0a+b+12,∵t=a+b+1,∴0t2.考向一二次函数与一元二次方程的关系例1关于x的函数y=mx2-(3m+1)x+(2m+1)的图象与坐标轴只有两个交点,求m的值.解:(1)m=0时,函数的图象是一条直线:y=-x+1,它与x轴,y轴各有一个交点,与坐标轴只有两个交点;(2)抛物线与x轴有且仅有一个交点,且不与原点重合,满足:𝑚≠0,𝛥=𝑏2-4𝑎𝑐=0,2𝑚+1≠0,∴(3m+1)2-4m(2m+1)=0,m≠-12,∴m2+2m+1=0,解得m=-1;(3)抛物线与x轴有两个交点,且有一个交点为原点,则:𝑚≠0,𝛥=𝑏2-4𝑎𝑐0,2𝑚+1=0,解得m=-0.5.综上可得,m=0,-1或-0.5.|考向精练|1.[2016·呼和浩特10题]已知a≥2,m2-2am+2=0,n2-2an+2=0,则(m-1)2+(n-1)2的最小值是()A.6B.3C.-3D.0[答案]A[解析]∵m2-2am+2=0,n2-2an+2=0,∴m,n是关于x的方程x2-2ax+2=0的两个根,∴m+n=2a,mn=2,∴(m-1)2+(n-1)2=m2-2m+1+n2-2n+1=(m+n)2-2mn-2(m+n)+2=4a2-4-4a+2=4a-122-3,∵a≥2,∴当a=2时,(m-1)2+(n-1)2有最小值,∴(m-1)2+(n-1)2的最小值=4a-122-3=4×2-122-3=6.故选A.2.方程x2+3x-1=0的根可视为函数y=x+3的图象与函数y=1𝑥的图象的交点的横坐标,则x3+2x-1=0的实数根x0所在的范围是()A.0x014B.14x013C.13x012D.12x01[答案]C[解析]方程x3+2x-1=0,∴x2+2=1𝑥,∴它的根可视为y=x2+2和y=1𝑥的图象交点的横坐标,当x=14时,y=x2+2=2116,y=1𝑥=4,此时二次函数的图象在反比例函数的图象下方;当x=13时,y=x2+2=219,y=1𝑥=3,此时二次函数的图象在反比例函数的图象下方;当x=12时,y=x2+2=214,y=1𝑥=2,此时二次函数的图象在反比例函数的图象上方.当x=1时,y=x2+2=3,y=1𝑥=1,此时二次函数的图象在反比例函数的图象上方.故方程x3+2x-1=0的实根x0所在范围为13x012.故选C.3.无论x为何值,关于x的二次三项式ax2+2(a+1)x+a+12的值恒为负数,则a的取值范围是()A.0a23B.-23a0C.a-23且a≠-1D.a≤-23[答案]C[解析]令y=ax2+2(a+1)x+a+12,∵二次三项式ax2+2(a+1)x+a+12的值恒为负数,∴二次函数y=ax2+2(a+1)x+a+12的图象与x轴无交点,∴Δ0,即[2(a+1)]2-4aa+120,整理得6a+40,解得a-23.又∵是二次三项式,∴a≠-1,故选C.4.若关于x的一元二次方程x2+ax+b=0有两个不同的实数根m,n(mn),方程x2+ax+b=1有两个不同的实数根p,q(pq),则m,n,p,q的大小关系为()A.mpqnB.pmnqC.mpnqD.pmqn[答案]B[解析]函数y=x2+ax+b图象如图所示:结合图象可知:pmnq.5.[2019·玉泉区期末]二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图14-5所示,若|ax2+bx+c|=k(k≠0)有两个不相等的实数根,则k的取值范围为()A.k-3B.k-3C.k3D.k3图14-5[答案]D[解析]y=|ax2+bx+c|的图象如图所示.观察图象可得当k≠0时,函数图象在直线y=3的上方时,纵坐标相同的点有两个,函数图象在直线y=3上时,纵坐标相同的点有三个,函数图象在直线y=3的下方和x轴之间时,纵坐标相同的点有四个,∴若|ax2+bx+c|=k(k≠0)有两个不相等的实数根,则函数图象应该在直线y=3的上方,故k3,故选D.6.[2019·呼和浩特16题]对任意实数a,若多项式2b2-5ab+3a2的值总大于-3,则实数b的取值范围是.-6b6考向二二次函数与其他函数的综合例2[2018·北京]在平面直角坐标系xOy中,直线y=4x+4与x轴、y轴分别交于点A,B,抛物线y=ax2+bx-3a经过点A,将点B向右平移5个单位长度,得到点C.(1)求点C的坐标;(2)求抛物线的对称轴;(3)若抛物线与线段BC恰有一个公共点,结合函数图象,求a的取值范围.解:(1)∵直线y=4x+4与x轴、y轴分别交于点A,B,∴A(-1,0),B(0,4).∵将点B向右平移5个单位长度,得到点C,∴C(0+5,4),即C(5,4).例2[2018·北京]在平面直角坐标系xOy中,直线y=4x+4与x轴、y轴分别交于点A,B,抛物线y=ax2+bx-3a经过点A,将点B向右平移5个单位长度,得到点C.(2)求抛物线的对称轴;(2)∵抛物线y=ax2+bx-3a经过点A,∴a-b-3a=0.∴b=-2a.∴抛物线的对称轴为直线x=-𝑏2𝑎=--2𝑎2𝑎=1,即对称轴为直线x=1.例2[2018·北京]在平面直角坐标系xOy中,直线y=4x+4与x轴、y轴分别交于点A,B,抛物线y=ax2+bx-3a经过点A,将点B向右平移5个单位长度,得到点C.(3)若抛物线与线段BC恰有一个公共点,结合函数图象,求a的取值范围.(3)易知抛物线过点(-1,0),(3,0).①若a0,如图所示,易知抛物线过点(5,12a),若抛物线与线段BC恰有一个公共点,满足12a≥4即可,可知a的取值范围是a≥13.②若a0,如图所示,易知抛物线与y轴交于(0,-3a),要使该抛物线与线段BC只有一个公共点,就必须-3a4,此时a-43.③若抛物线的顶点在线段BC上,此时顶点坐标为(1,4),从而解析式为y=a(x-1)2+4,将A(-1,0)代入,解得a=-1,如图所示:综上,a的取值范围是a≥13或a-43或a=-1.|考向精练|1.[2019·回民区九年级期末数学调研]如图14-6,已知二次函数y1=-x2+134x+c的图象与x轴的一个交点为A(4,0),与y轴的交点为B,过A,B的直线为y2=kx+b.(1)求二次函数y1的解析式及点B的坐标;(2)直接写出满足x2+k-134x+(b-c)0时,x的取值范围为.图14-6解:(1)将A(4,0)的坐标代入y=-x2+134x+c得:c=3,∴y1=-x2+134x+3,B(0,3).1.[2019·回民区九年级期末数学调研]如图14-6,已知二次函数y1=-x2+134x+c的图象与x轴的一个交点为A(4,0),与y轴的交点为B,过A,B的直线为y2=kx+b.(2)直接写出满足x2+k-134x+(b-c)0时,x的取值范围为.图14-6[答案](2)x0或x4[解析]x2+kx-134x+b-c0,即:kx+b-x2+134x+c,即:y2y1时,x0或x4.2.已知二次函数y1=x2+mx+n的图象经过点P(-3,1),对称轴是经过(-1,0)且平行于y轴的直线.(1)求m,n的值;(2)如图14-7,一次函数y2=kx+b的图象经过点P,与x轴交于点A,与二次函数的图象交于另一点B,点B在点P的右侧,PA∶PB=1∶5,求一次函数的解析式;(3)直接写出y1y2时x的取值范围.图14-7解:(1)∵对称轴是经过(-1,0)且平行于y轴的直线,∴-𝑚2=-1,∴m=2.∵二次函数y1=x2+mx+n的图象经过点P(-3,1),∴9-3m+n=1,∴n=3m-8=-2.2.已知二次函数y1=x2+mx+n的图象经过点P(-3,1),对称轴是经过(-1,0)且平行于y轴的直线.(2)如图14-7,一次函数y2=kx+b的图象经过点P,与x轴交于点A,与二次函数的图象交于另一点B,点B在点P的右侧,PA∶PB=1∶5,求一次函数的解析式;图14-7(2)∵m=2,n=-2,∴二次函数的解析式为y1=x2+2x-2.过点P作PC⊥x轴于点C,过点B作BD⊥x轴于点D,如