LINGO的基本用法2

LINGO的基本用法我们遇到的许多优化问题都可以归结为规划问题，如线性规划、非线性规划、二次规划、整数规划、动态规划、多目标规划等，当遇到变量比较多或者约束条件比较复杂情况时，想用手工计算来求解这类问题几乎是不可能的，编程计算虽然可行，但工作量大、程序长而繁琐，稍不小心就会出错.可行的办法是利用现成的软件求解，LINGO是专门用来求解各种规划问题的软件包，其功能十分强大，是求解优化模型的最佳选择.1.1LINGO入门1.1.1概况LINGO是美国LINDO系统公司开发的求解数学线性规划系列软件中的一个，它主要功能是求解大型线性、非线性和整数规划问题.LINGO的主要功能特色为：(1)既能求解线性规划问题，也有较强的求解非线性规划问题的能力；(2)输入模型简练直观；(3)运行速度快、计算能力强；(4)内置建模语言，提供几十个内部函数，从而能以较少语句，较直观的方式描述较大规模的优化模型；(5)将集合的概念引入编程语言，很容易将实际问题转换为LINGO模型；(6)能方便地与Excel、数据库等其它软件交换数据.1.1.2LINGO的基本用法启动LINGO后，在主窗口上弹出标题为“LINGOModel-LINGO1”的窗口，称为模型窗口（通常称为LINGO程序为“模型”），如图1.1.1所示，用于输入模型，可以在该窗口内用基本类似于数学公式的形式输入小型规划模型.通常，一个优化模型由以下三部分所组成：(1)目标函数.一般表示成求某个数学表达式的最大值或最小值.(2)决策变量.目标函数值取决于哪些变量.(3)约束条件.对变量附加一些条件限制（通常用等式或不等式表示）.例1.1.1某工厂有两条生产线，分别用来生产M和P两种型号的产品，利润分别为200元/个和300元/个，生产线的最大生产能力分别为每日100和120，生产线每生产一个M产品需要1个劳动日（1个工人工作8小时称为1个劳动日）进行调试、检测等工作，而每个P产品需要2个劳动日，该厂工人每天共计能提供160劳动日，假如原材料等其它条件不受限制，问应如何安排生产计划，才能使获得的利润最大？解设两种产品的生产量分别为12,xx，则该问题的数学模型为目标函数12maxz200300xx.约束条件1212100,120,2160,0,1,2.jxxxxxj(1.1.1)在Model窗口输入如下模型：MAX=200*X1+300*X2;X1=100;X2=120;X1+2*X2=160;注LINGO默认所有决策变量都是非负，因而变量非负条件可以不必输入.选菜单File|SaveAs（或按F5）将模型存盘，默认文件格式的扩展名为.lg4.选菜单File|Print（或按F7）可以在打印机上输出该模型.LINGO的语法规定：(1)求目标函数的最大值或最小值分别用MAX=…或MIN=…来表示；(2)每个语句必须以分号“;”结束，每行可以有多个语句，语句可以跨行；(3)变量名称必须以字母（A～Z）开头，由字母、数字和下划线所组成，长度不超过32个字符，不区分大小写；(4)可以给语句加上标号，例如[OBJ]MAX=200*X1+300*X2;(5)以！开头，以“;”号结束的语句是注释语句；(6)如果对变量的取值范围没有作特殊说明，则默认所有决策变量都非负；(7)LINGO模型以语句“MODEL:”开头，以“END”结束，对于比较简单的模型，这两个语句可以心省略.选菜单LINGO|Solve（或按Ctrl+S），或用鼠标点击“求解”按钮，如果模型有语法错误，则弹出一个标题为“LINGOErrorMessage”（错误信息）的窗口，指出在哪一行，有怎样的错误，每种错误都有一个编号.如果语法通过，LINGO用内部所带的求解程序求出模型的解，然后弹出一个标题为“LINGOSolverStatus”（求解状态）的窗口，其内容为变量个数、约束条件个数、优化状态、非零变量个数、耗费内存、所花时间等信息，点击Close关闭该窗口，屏幕上出现标题为“SolutionReport”（解的报告）的信息窗口，显示优化计算的步数、优化后的目标函数值、列出各变量的计算结果，本例的具体内容如下：Globaloptimalsolutionfound.Objectivevalue:29000.00Totalsolveriterations:0VariableValueReducedCostX1100.00000.000000X230.000000.000000RowSlackorSurplusDualPrice129000.001.00000020.00000050.00000390.000000.00000040.000000150.0000该报告说明：目标函数值为29000，变量值分别为X1=100，X2=30.“ReducedCost”的含义是缩减成本系数（最优解中变量的ReducedCost值自动取零），“Row”是输入模型中的行号，“SlackorSurplus”的意思为松弛或剩余，即约束条件左边与右边的差值，对于“=”不等式，右边减左边的差值称为Slack(松弛)，对于“=”不等式，左边减右边的差值称为Surplus（剩余），当约束条件的左右两边相等时，松弛或剩余的值为零，如果约束条件无法满足，即没有可行解，则松弛或剩余的值为负.“DualPrice”的意思是影子价格，上面报告中Row2的松弛值为0，意思是说第二行的约束条件，即第一条生产线最大生产能力已达到饱和状态（100个），影子价格为50，含义是：如果该生产线最大生产能力增加1，能使目标函数值，即利润增加50；报告中Row3的松弛值为90，表示按照最优解安排生产（X2=30），则第三行的约束条件，即第二条生产线的最大生产能力120剩余了90，因此增加该生产线的最大生产能力对目标函数的最优值不起作用，故影子价格为0；以上结果可以保存到文件中（扩展名为.lgr）.例1.1.2基金的优化使用（2001年建模数学竟赛C题）.假设某校基金会得到了一笔数额为M万元的基金，打算将其存入银行，校基金会计划在n年内每年用部分本息奖励优秀师生，要求每年的奖金额相同，且在n年仍保留原基金数额.银行存款税后年利率见表1.1.2.表1.1.2银行存款税后利率表存期1年2年3年5年税后年利率%1.82.162.5922.88校基金会获得最佳的基金使用计划，以提高每年的奖金额，请在5000M万元、5n年的情况下设计具体存款方案.1.2用LINGO编程语言建立模型1.1节介绍了LINGO的基本用法，其优点是输入模型较直观，一般的数学表达式无须作大的变换即可直接输入.对于规模较少的规划模型，用直接输入方式是有利的，但是，如果模型的变量和约束条件个数都比较多，若仍然用直接输入方式，虽然也能求解并得出结果，但是这种做法有明显不足之处：模型的编幅很长，不便于分析修改和扩展，例如，目标函数中有求和表达式102011ijijijcx，若直接输入的方式，将有200个ijc和200个ijx相乘再相加.1.2.1LINGO模型的基本组成LINGO建模语言引入了集合的概念，为建立大规模数学规划模型提供了方便.用LINGO语言编写程序来表达一个实际优化问题，称为LINGO模型.例1.2.1某公司有6个供货栈（仓库），现有8个客户各要一批货，各供货栈到8个客户处的单位货物运输价见表1.2.1.表1.2.1供货栈到客户的单位货物运输价（元/每单位）及需求量V1V2V3V4V5V6V7V8库存W16267425960W24953858255W35219743351W47673927143W52395726541W65522814352需求量3537223241324338试确定各货栈到各客户处的货物调运数量，使总的运输费最小.解引入决策变量ijx，表示从第i个货栈到第j个客户的货物运量.用符号ijc表示从第i个货栈到第j个客户的单位货物运价，ia表示第i个货栈的最大供货量，jd表示第j个客户的需求量.则本问题的数学模型为：6811minijijijzcx，8161,1,2,,6..,1,2,,80,1,2,,6,1,2,,8ijijijjiijxaistxdjxij（1.2.1）1.集合定义部分LINGO将集合(SET)的概念引入建模语言，集合是一组相关对象构成的组合，代表模型中的实际事物，并与数学变量及常量联系起来，是实际问题到数学的抽象.例1.2.1中的6个仓库可以看成是一个集合，8个客户可以看成另一个集合.每个集合在使用之前需要预先给出定义，定义集合时要明确三方面内容：集合的名称、集合内的成员（组成集合的个体，也称元素）、集合的属性（可以看成是与该集合有关的变量或常量，相关于数组）.定义仓库集合：WH/w1..w6/:AI;其中WH是集合的名称，w1..w6是集合内成员，“..”是特定的省略号（如果不用该省略号，也可以把成员一一列举出来，成员之间用逗号或空格分开），表明该集合有6个成员，分别对应6个货栈，AI是集合的属性，它可以看成一个一维数组，有6个分量，分别表示各货栈现有货物的总数.客户货栈集合、成员、属性的命名规则与变量相同，可按自己的意愿，用有一定意义的字母数字串来表示，式中“/”和“/：”是规定的语法规则.定义客户集合：VD/v1..v8/:DJ;该集合有8个成员，DJ是集合的属性（有8个分量）表示各客户的需求量.定义表示运输关系（路线）的集合：LINKS(WH,VD):C,X;该集合以初始集合WH和DJ为基础，称为衍生集合（或称派生集合），C和X是该衍生集合的两个属性.衍生集合的定义语句有如下要素组成：(1)集合的名称；(2)对应的初始集合；(3)集合的成员（可以省略不写明）；(4)集合的属性（可以没有）.定义衍生集合时可以用罗列的方式将衍生集合的成员一一列举出来，如果省略不写，则默认衍生集合的成员取它的所对应初始集合的所有可能的组合，上述衍生集合LINKS的定义中没有指明成员，而它对应的初始集合WH有6个成员，VD有8个成员，因此LINKS成员取WH和VD的所有可能组合，即集合LINKS有48个成员，48个成员可以排列成一个矩阵，其行数与集合WH的成员个数相等，列数与集合VD的成员个数相等.相应地，集合LINKS的属性C和X都相当于二维数组，各有48个分量，C表示货栈iw到客户jv的单位货物运价，X表示货栈iw到客户jv的货物运量.本模型完整的集合定义为：SETS:WH/W1..W6/:AI;VD/V1..V8/:DJ;LINKS(WH,VD):C:X;ENDSETS注集合定义部分以语句SETS:开始，以语句ENDSETS结束，这两个语句必须单独成一行.ENDSETS后面不加标点符号.2.数据初始化（数据段）LINGO建模语言通过对数据初始化部分来实现对已知属性赋以初始值，格式为：DATA:AI=60,55,51,43,41,52;DJ=35,37,22,32,41,32,43,38;C=6,2,6,7,4,2,5,94,9,5,3,8,5,8,25,2,1,9,7,4,3,37,6,7,3,9,2,7,12,3,9,5,7,2,6,55,5,2,2,8,1,4,3;ENDDATA3.目标函数和约束条件目标函数表达式6811minijijijzcx用LINGO语句表示为：MIN=@SUM(LINKS(I,J):C(I,J)*X(I,J));式中，@SUM是LINGO提供的内部函数，其作用是对某个集合的所有成员，求指定表达式的和，该函数需要两个参数，第一个参数是集合名称，指定对该集合所有成员求和，如果此集合是一个初始集合，它有m个成员，则求和运算对这m个成员进行，相当于求1mi，第二参数是一个表达式，表示求和运算对该表达式进行.此处@SUM的第一个参数是LINKS(I,J)，表示求和运算对衍生集合LINKS进行，该集合的维数是2，共有48个成员，运算规则是：选对48个成员分别