（河北专版）2020年中考数学复习 第三单元 函数 第12课时 反比例函数及其应用课件

第12课时反比例函数及其应用考点一反比例函数的概念考点聚焦一般地,形如y=𝑘𝑥(k为常数,k≠0)的函数,叫做反比例函数,其中x是自变量,y是函数.【温馨提示】(1)反比例函数中,自变量的取值范围是①;(2)解析式的变式:y=kx-1或xy=k(k≠0).x≠0一般形式y=kx(k为常数,k≠0),其图象上点的横、纵坐标之积为定值kk的符号k②0k③0图象所在象限第一、三象限第二、四象限增减性同一支上,y随x的增大而④;在两支上,第一象限y值大于第三象限y值同一支上,y随x的增大而⑤;在两支上,第二象限y值大于第四象限y值考点二反比例函数的图象与性质减小增大对称性关于直线y=x,y=-x成轴对称关于⑥成中心对称小结(1)反比例函数的图象是双曲线,反比例函数的增减性由系数k决定;(2)反比例函数图象的两支在两个象限内,根据自变量的值比较相应函数值的大小时,应注意象限问题（续表）原点考点三反比例函数比例系数k的几何意义1.几何意义:过反比例函数y=𝑘𝑥(k≠0)图象上任意一点向两坐标轴作垂线,两条垂线与两坐标轴所围成的矩形的面积为|k|.推导:如图12-1,过双曲线上任一点P分别作x轴、y轴的垂线段PM,PN,所得的矩形PMON的面积S=PM·PN=|y|·|x|=|xy|.∵y=𝑘𝑥,∴xy=k,∴S=|k|图12-1S矩形OAPB=|k|S△AOP=⑦S△ABC=⑧S△APP1=⑨2.常见的与反比例函数有关的图形面积|k||𝒌|𝟐2|k|考点四反比例函数解析式的确定待定系数法(1)设出反比例函数的解析式y=kx(k≠0);(2)找出图象上一点的坐标P(x0,y0);(3)将P(x0,y0)的坐标代入y=kx(k≠0),求出k的值;(4)写出解析式几何法题中涉及面积时,考虑用k的几何意义求解利用反比例函数解决实际问题,关键是建立函数模型.建立函数模型的思路主要有两种:(1)已知函数类型,直接设出函数的解析式,根据题目提供的信息求得k的值;(2)题目本身未明确表明变量间的函数关系,此时需通过分析,先确定变量间的关系,再求解析式.考点五反比例函数的实际应用1.在图12-2中,反比例函数y=6𝑥的图象大致是()题组一必会题对点演练D图12-22.对于反比例函数y=2𝑥,下列说法不正确的是()A.点(-2,-1)在它的图象上B.它的图象在第一、三象限C.当x0时,y随x的增大而增大D.当x0时,y随x的增大而减小C3.若点A(a,b)在反比例函数y=4𝑥的图象上,则代数式ab-4的值为()A.0B.-2C.2D.-6A4.如图12-3,点A在双曲线y=𝑘𝑥上,AB⊥x轴于点B,且S△AOB=2,则k的值是()A.2B.-2C.4D.-4D图12-35.物理学知识告诉我们,一个物体所受到的压强p与所受压力F及受力面积S之间的计算公式为p=𝐹𝑆.当一个物体所受压力为定值时,那么该物体所受压强p与受力面积S之间的函数关系用图象表示大致为()C图12-4题组二易错题【失分点】判断反比例函数的增减性时,忽略自变量的取值范围;利用函数图象解决不等式问题时,易漏解;利用k的几何意义确定几何图形的面积时,图形割补不恰当;读取函数图象信息错误.[答案]B[解析]∵x10x2,∴A,B两点不在同一象限内,∴y20y1.6.[2018·承德模拟]已知点A(x1,y1),B(x2,y2)是反比例函数y=2𝑥图象上的点,若x10x2,则一定成立的是()A.y1y20B.y10y2C.0y1y2D.y20y1D7.[2018·铜仁]如图12-5,已知一次函数y=ax+b和反比例函数y=𝑘𝑥的图象相交于A(-2,y1),B(1,y2)两点,则不等式ax+b𝑘𝑥的解集为()A.x-2或0x1B.x-2C.0x1D.-2x0或x1图12-58.[2018·郴州]如图12-6,A,B是反比例函数y=4𝑥在第一象限内的图象上的两点,且A,B两点的横坐标分别是2和4,则△OAB的面积是()A.4B.3C.2D.1图12-6[解析]∵A,B是反比例函数y=4𝑥在第一象限内的图象上的两点,且A,B两点的横坐标分别是2和4,∴当x=2时,y=2,即A(2,2);当x=4时,y=1,即B(4,1).如图,过A,B两点分别作AC⊥x轴于C,BD⊥x轴于D,则S△AOC=S△BOD=12×4=2.∵S四边形AODB=S△AOB+S△BOD=S△AOC+S梯形ABDC,∴S△AOB=S梯形ABDC,∵S梯形ABDC=12(BD+AC)·CD=12(1+2)×2=3,∴S△AOB=3.[答案]B9.为了建设生态丽水,某工厂在一段时间内限产并投入资金进行治污改造,图12-7描述的是月利润y(万元)关于月份x之间的函数关系,治污改造完成前是反比例函数图象的一部分,治污改造完成后是一次函数图象的一部分,则下列说法不正确的是()A.5月份该厂的月利润最低B.治污改造完成后,每月利润比前一个月增加30万元C.治污改造完成前后,共有6个月的月利润不超过120万元D.治污改造完成后的第8个月,该厂月利润能达到300万元图12-7C考向一反比例函数的图象与性质（7年4考）[答案]D[解析]反比例函数的增减性前提条件是在同一象限内,故D不正确.例1(1)[2019·仙桃]反比例函数y=-3𝑥,下列说法不正确的是()A.图象经过点(1,-3)B.图象位于第二、四象限C.图象关于直线y=x对称D.y随x的增大而增大例1(2)[2019·天津]若点A(-3,y1),B(-2,y2),C(1,y3)都在反比例函数y=-12𝑥的图象上,则y1,y2,y3的大小关系是()A.y2y1y3B.y3y1y2C.y1y2y3D.y3y2y1[答案]B[解析]将A,B,C三点的坐标分别代入y=-12𝑥,得y1=4,y2=6,y3=-12,∴y3y1y2.故选B.|考向精练|1.[2019·河北]如图12-8,函数y=1𝑥(𝑥0),-1𝑥(𝑥0)的图象所在坐标系的原点是()A.点MB.点NC.点PD.点Q图12-8[答案]A[解析]∵函数y=1𝑥(x0)与y=-1𝑥(x0)的图象关于y轴对称,∴直线MP是y轴所在直线.∵两支曲线分别位于一、二象限,∴直线MN是x轴所在直线,∴坐标原点为M.2.[2013·河北10题]反比例函数y=𝑚𝑥的图象如图12-9所示,以下结论:①常数m-1;②在每个象限内,y随x的增大而增大;③若点A(-1,h),B(2,k)在该图象上,则hk;④若点P(x,y)在该图象上,则点P'(-x,-y)也在该图象上.其中正确的是()A.①②B.②③C.③④D.①④图12-9[解析]∵反比例函数的图象位于第一、三象限,∴m0,故①错误;当反比例函数的图象位于第一、三象限时,在每一象限内,y随x的增大而减小,故②错误;将A(-1,h),B(2,k)代入y=𝑚𝑥,得到h=-m,2k=m.∵m0,∴hk.故③正确;将P(x,y)代入y=𝑚𝑥,得到m=xy;将P'(-x,-y)代入y=𝑚𝑥,得到m=xy,故若点P(x,y)在该图象上,则点P'(-x,-y)也在该图象上,故④正确.故选C.[答案]C3.[2014·河北14题]定义新运算:a⊕b=𝑎𝑏(𝑏0),-𝑎𝑏(𝑏0),例如:4⊕5=45,4⊕(-5)=45,则函数y=2⊕x(x≠0)的图象大致是()图12-10[解析]由题意得y=2⊕x=2𝑥(𝑥0),-2𝑥(𝑥0).当x0时,反比例函数y=2𝑥的图象在第一象限;当x0时,反比例函数y=-2𝑥的图象在第二象限.所以D选项符合.故选D.[答案]D考向二反比例函数比例系数k的几何意义例2如图12-11,四边形OABC是矩形,四边形CDEF是正方形,点C,D在x轴的正半轴上,点A在y轴的正半轴上,点F在BC上,点B,E在反比例函数的图象上,OA=2,OC=1,则正方形CDEF的面积为()A.1B.2C.3D.4图12-11[答案]A[解析]∵OA=2,OC=1,∴点B的坐标为(1,2),∴k=1×2=2,∴反比例函数的表达式为y=2𝑥.设CD=t,则OD=1+t,∴点E的坐标为(1+t,t),∴(1+t)t=2,整理为t2+t-2=0,解得t1=-2(舍去),t2=1,∴正方形CDEF的边长为1,∴其面积为1×1=1.故选A.|考向精练|[2019·长春]如图12-12,在平面直角坐标系中,Rt△ABC的顶点A,C的坐标分别是(0,3)、(3,0),∠ACB=90°,AC=2BC,函数y=𝑘𝑥𝑘0,𝑥0的图象经过点B,则k的值为()A.92B.9C.278D.274图12-12[解析]如图,过B作BD⊥x轴,垂足为D.∵A,C的坐标分别为(0,3),(3,0),∴OA=OC=3,∠ACO=45°,∴AC=32.∵AC=2BC,∴BC=322.∵∠ACB=90°,∴∠BCD=45°,∴BD=CD=32,∴点B的坐标为92,32.∵函数y=𝑘𝑥的图象经过点B,∴k=92×32=274.故选D.[答案]D考向三反比例函数、一次函数与几何图形结合的综合题例3如图12-13,已知A(-4,n),B(2,-4)是一次函数y1=kx+b图象和反比例函数y2=𝑚𝑥的图象的两个交点.(1)m=,n=,并求一次函数和反比例函数的表达式;(2)观察图象,直接写出关于x的方程kx+b-𝑚𝑥=0的解为;(3)观察图象,直接写出不等式kx+b-𝑚𝑥0的解集为;(4)求△AOB的面积;(5)当y1y2时,请直接写出x的取值范围.图12-13解:(1)∵点B(2,-4)在函数y2=𝑚𝑥的图象上,∴m=-8,∴反比例函数的表达式为y=-8𝑥.∵点A(-4,n)在函数y=-8𝑥的图象上,∴n=2,∴A(-4,2).∵函数y1=kx+b的图象经过点A(-4,2),B(2,-4),∴-4𝑘+𝑏=2,2𝑘+𝑏=-4,解得𝑘=-1,𝑏=-2,∴一次函数的表达式为y=-x-2.例3如图12-13,已知A(-4,n),B(2,-4)是一次函数y1=kx+b图象和反比例函数y2=𝑚𝑥的图象的两个交点.(2)观察图象,直接写出关于x的方程kx+b-𝑚𝑥=0的解为;图12-13(2)∵A(-4,n),B(2,-4)是一次函数y1=kx+b的图象和反比例函数y2=𝑚𝑥的图象的两个交点,∴关于x的方程kx+b-𝑚𝑥=0的解是x1=-4,x2=2.例3如图12-13,已知A(-4,n),B(2,-4)是一次函数y1=kx+b图象和反比例函数y2=𝑚𝑥的图象的两个交点.(3)观察图象,直接写出不等式kx+b-𝑚𝑥0的解集为;图12-13(3)不等式kx+b-𝑚𝑥0的解集为-4x0或x2.例3如图12-13,已知A(-4,n),B(2,-4)是一次函数y1=kx+b图象和反比例函数y2=𝑚𝑥的图象的两个交点.(4)求△AOB的面积;图12-13(4)如图,过点A,B作AE⊥y轴,BF⊥y轴.∵A(-4,2),B(2,-4),∴AE=4,BF=2.对于y=-x-2,∵当x=0时,y=-2,∴点C(0,-2),∴OC=2,∴S△AOB=S△ACO+S△BCO=12×2×4+12×2×2=6.例3如图12-13,已知A(-4,n),B(2,-4)是一次函数y1=kx+b图象和反比例函数y2=𝑚𝑥的图象的两个交点.(5)当y1y2时,请直接写出x的取值范围.图12-13x-4或0x2.|考向精练|图12-14[2019·自贡]如图12-14,在平面直角坐标系中,一次函数y1=kx+b(k≠0)的图象与反比例函数y2=𝑚𝑥(m≠0)的图象相交于第一、三象限内的A(3,5),B(a,-3)两点,与x轴交于点C.(1)求该反比例函数和一次函数的解析式;(2)在y轴上找一