（河北专版）2020年中考数学复习 第二单元 方程（组）与不等式（组）第07课时 一元二次方程及其应

第7课时一元二次方程及其应用考点一一元二次方程及其解法考点聚焦1.一般形式:图7-12.一元二次方程的解法方法解题流程注意事项直接开平方法(1)ax2+c=0(其中ac0)⇒x=①;(2)a(x+n)2=b(其中ab0)⇒x=②开方后取正负两个值配方法ax2+bx+c=0(a≠0)⇒x2+bax+ca=0⇒x+b2a2=b2-4ac4a2,开方求解配方过程中,注意加上一个数的同时减去这个数±-𝒄𝒂-n±𝒃𝒂（续表）方法解题流程注意事项公式法当b2-4ac≥0时,由求根公式可得ax2+bx+c=0(a≠0)的解为x=③前提条件:①判别式Δ≥0;②等号的右边为0因式分解法ax2+bx+c=0(a≠0)(m1x+n1)·(m2x+n2)=0⇒m1x+n1=0或m2x+n2=0,求得x的值当等号两边有相同的因式时,不能约去,以免漏解-𝒃±𝒃𝟐-𝟒𝒂𝒄𝟐𝒂考点二一元二次方程根的判别式、根与系数的关系1.判别式与根的关系(1)b2-4ac0⇔方程有④的实数根;(2)b2-4ac=0⇔方程有⑤的实数根;(3)b2-4ac0⇔方程⑥实数根.2.根与系数的关系(选学)若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根分别为x1,x2,则x1+x2=⑦,x1x2=⑧.两个不相等两个相等没有-𝒃𝒂𝒄𝒂考点三一元二次方程的实际应用应用类型等量关系增长率问题(1)增长率=增量÷基础量;(2)设a为原来的量,m为平均增长率,n为增长次数,b为增长后的量,则a(1+m)n=b销售利润问题(1)纯利润=售出价-进货价-其他费用;(2)利润率=利润÷进货价×100%;(3)总利润=(售价-成本)×数量应用类型等量关系面积问题AB+BC+CD=aS阴影=⑨S阴影=⑩S阴影=（续表）(a-2x)(b-2x)(a-x)(b-x)𝒂-𝒙𝟐·x题组一必会题对点演练D1.一元二次方程x2-16=0的根是()A.x=2B.x=4C.x1=2,x2=-2D.x1=4,x2=-4A2.已知x=1是关于x的一元二次方程x2+ax+2b=0的解,则2a+4b=()A.-2B.-3C.-1D.-63.方程x2-2x+3=0的根的情况是()A.有两个相等的实数根B.只有一个实数根C.没有实数根D.有两个不相等的实数根CB4.[2019·石家庄新华区一模]一元二次方程x2-6x+5=0配方后可变形为()A.(x-3)2=14B.(x-3)2=4C.(x+3)2=14D.(x+3)2=45.一元二次方程x(x+2)=3(x+2)的根是()A.x=3B.x=-2C.x1=-2,x2=-3D.x1=-2,x2=3D[答案]C[解析]设售价为x元时,每星期盈利为6120元.由题意得(x-40)[300+20(60-x)]=6120,解得x1=57,x2=58.由题意,要尽量优惠顾客,即售价要尽量低,故舍去x2=58.∴每件商品应降价60-57=3(元).6.某商品的进价为每件40元,当售价为每件60元时,每星期可卖出300件,若每降价1元,每星期可多卖出20件.现要在尽量优惠顾客的前提下,同时每星期获利6120元,每件商品应降价多少元()A.2B.2.5C.3D.5题组二易错题【失分点】在运用根的判别式或者根与系数的关系时,忽视二次项系数不能等于0这一条件;解一元二次方程时,方程的两边直接除以相同的整式,导致漏解.[答案]D[解析]Δ=b2-4ac=(-2)2-4(k+1)≥0,解得k≤0.又∵k+1≠0,即k≠-1,∴k≤0且k≠-1.故选D.7.关于x的一元二次方程(k+1)x2-2x+1=0有两个实数根,则k的取值范围是()A.k≥0B.k≤0C.k0且k≠-1D.k≤0且k≠-18.已知方程x2-x-2=0的两个实数根为x1,x2,则代数式x1+x2+x1x2的值为()A.-3B.1C.3D.-1D9.方程x(x-2)=3x的解为()A.x=5B.x1=0,x2=5C.x1=2,x2=0D.x1=0,x2=-5B考向一一元二次方程的解法（7年1次单独考,1次涉及）解:(1)(x+1)2=(1-2x)2,直接开方得:x+1=1-2x或x+1=-(1-2x),解得x1=2,x2=0.(2)x2-6x+8=0,因式分解得:(x-2)(x-4)=0,可得x-2=0或x-4=0,解得x1=2,x2=4.例1选择最佳方法解下列关于x的方程:(1)(x+1)2=(1-2x)2;(2)x2-6x+8=0;(3)x2-2x+2=0;(4)-2x2+2x+1=0;(5)x2-(2a-b)x+a2-ab=0.2例1选择最佳方法解下列关于x的方程:(3)x2-2x+2=0;(4)-2x2+2x+1=0;(3)x2-22x+2=0,变形得:x2-22x+(2)2=0,即(x-2)2=0,解得x1=x2=2.(4)-2x2+2x+1=0,这里a=-2,b=2,c=1.∵Δ=4+8=120,∴x=-2±122×(-2)=1±32,则x1=1+32,x2=1-32.2例1选择最佳方法解下列关于x的方程:(5)x2-(2a-b)x+a2-ab=0.(5)x2-(2a-b)x+a2-ab=0,因式分解得:(x-a)(x-a+b)=0,可得x-a=0或x-a+b=0,解得x1=a,x2=a-b.【方法点析】解一元二次方程要根据方程的特点选取方法,考虑选用的先后顺序为:直接开平方法,因式分解法,公式法,配方法.形如(x+m)2=n(n≥0)的一元二次方程可用直接开平方法;如果一元二次方程的一边是0,而另一边又能分解成两个一次因式的积,则用因式分解法;当二次项系数为1,且一次项系数为偶数时,用配方法.|考向精练|[答案]-3或4[解析]根据题意得[(m+2)+(m-3)]2-[(m+2)-(m-3)]2=24,(2m-1)2-49=0,(2m-1+7)(2m-1-7)=0,2m-1+7=0或2m-1-7=0,所以m1=-3,m2=4.1.[2019·十堰]对于实数a,b,定义运算“◎”如下:a◎b=(a+b)2-(a-b)2.若(m+2)◎(m-3)=24,则m=.2.[2017·河北19题]对于实数p,q,我们用符号min{p,q}表示p,q两数中较小的数,如min{1,2}=1.因此min{-2,-3}=;若min{(x-1)2,x2}=1,则x=.[答案]-32或-1[解析]∵-3-2,∴min{-2,-3}=-3.若(x-1)2x2,即x12时,(x-1)2=1,解得x1=2,x2=0(舍去).若(x-1)2x2,即x12时,x2=1,解得x1=-1,x2=1(舍去).综上可知,当min{(x-1)2,x2}=1时,x=2或-1.3.[2014·河北21题]嘉淇同学用配方法推导一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式时,对于b2-4ac0的情况,她是这样做的:由于a≠0,方程ax2+bx+c=0变形为x2+𝑏𝑎x=-𝑐𝑎,第一步x2+𝑏𝑎x+𝑏2𝑎2=-𝑐𝑎+𝑏2𝑎2,第二步x+𝑏2𝑎2=𝑏2-4𝑎𝑐4𝑎2,第三步x+𝑏2𝑎=𝑏2-4𝑎𝑐2𝑎(b2-4ac0),第四步x=-𝑏+𝑏2-4𝑎𝑐2𝑎.第五步(1)嘉淇的解法从第步开始出现错误;事实上,当b2-4ac0时,方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式是.(2)用配方法解方程x2-2x-24=0.四x=-𝒃±𝒃𝟐-𝟒𝒂𝒄𝟐𝒂3.[2014·河北21题]嘉淇同学用配方法推导一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式时,对于b2-4ac0的情况,她是这样做的:由于a≠0,方程ax2+bx+c=0变形为x2+𝑏𝑎x=-𝑐𝑎,第一步x2+𝑏𝑎x+𝑏2𝑎2=-𝑐𝑎+𝑏2𝑎2,第二步x+𝑏2𝑎2=𝑏2-4𝑎𝑐4𝑎2,第三步x+𝑏2𝑎=𝑏2-4𝑎𝑐2𝑎(b2-4ac0),第四步x=-𝑏+𝑏2-4𝑎𝑐2𝑎.第五步(2)用配方法解方程x2-2x-24=0.(2)将方程x2-2x-24=0变形,得x2-2x=24,x2-2x+1=24+1,(x-1)2=25,x-1=±5,x=1±5,所以x=-4或x=6.考向二一元二次方程根的判别式(7年3考)例2已知关于x的一元二次方程(m-1)x2-(2m+1)x+m=0,当m取何值时:(1)方程有两个不相等的实数根?(2)方程有两个相等的实数根?并求出根.(3)方程没有实数根?解:(1)∵关于x的一元二次方程(m-1)x2-(2m+1)x+m=0有两个不相等的实数根,∴b2-4ac=[-(2m+1)]2-4(m-1)m0,且m-1≠0,∴m-18且m≠1.例2已知关于x的一元二次方程(m-1)x2-(2m+1)x+m=0,当m取何值时:(2)方程有两个相等的实数根?并求出根.(2)∵关于x的一元二次方程(m-1)x2-(2m+1)x+m=0有两个相等的实数根,∴b2-4ac=[-(2m+1)]2-4(m-1)m=0,且m-1≠0,∴m=-18.原方程可变形为-98x2-34x-18=0,解得x1=x2=-13.例2已知关于x的一元二次方程(m-1)x2-(2m+1)x+m=0,当m取何值时:(3)方程没有实数根?(3)∵关于x的一元二次方程(m-1)x2-(2m+1)x+m=0没有实数根,∴b2-4ac=[-(2m+1)]2-4(m-1)m0,且m-1≠0,∴m-18.|考向精练|1.[2019·河北15题]小刚在解关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)时,只抄对了a=1,b=4,解出其中一个根是x=-1.他核对时发现所抄的c比原方程的c值小2.则原方程的根的情况是()A.不存在实数根B.有两个不相等的实数根C.有一个根是x=-1D.有两个相等的实数根[答案]A[解析]由题意,得x=-1是方程x2+4x+c-2=0的根,∴(-1)2+4×(-1)+c-2=0,解得c=5.∴原方程为x2+4x+5=0.∵Δ=b2-4ac=42-4×1×5=-40,∴原方程不存在实数根.B2.[2016·河北14题]已知a,b,c为常数,且(a-c)2a2+c2,则关于x的方程ax2+bx+c=0的根的情况是()A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根C.无实数根D.有一根为0考向三一元二次方程的应用例3[2019·东营]为加快新旧动能转换,提高公司经济效益,某公司决定对近期研发出的一种电子产品进行降价促销,使生产的电子产品能够及时售出,根据市场调查:这种电子产品销售单价定为200元时,每天可售出300个;若销售单价每降低1元,则每天可多售出5个.已知每个电子产品的固定成本为100元,问这种电子产品降价后的销售单价为多少元时,公司每天可获利32000元?解:设降价后的销售单价为x元,则降价后每天可售出[300+5(200-x)]个.根据题意,得:(x-100)[300+5(200-x)]=32000,整理,得:x2-360x+32400=0,解得x1=x2=180.180200,符合题意.答:这种电子产品降价后的销售单价为180元时,公司每天可获利32000元.|考向精练|1.[2019·徐州]如图7-2,有一矩形的硬纸板,长为30cm,宽为20cm,在其四个角各剪去一个相同的小正方形,然后把四周的矩形折起,可做成一个无盖的长方体盒子,当剪去的小正方形的边长为何值时,所得长方体盒子的底面积为200cm2?图7-2解:设剪去的小正方形的边长为xcm.根据题意有(30-2x)(20-2x)=200,解得x1=5,x2=20,当x=20时,30-2x0,20-2x0,所以x=5.答:当剪去的小正方形的边长为5cm时,长方体盒子的底面积为200cm2.2.[2019·长沙]近日,长沙市教育局出台《长沙市中小学教师志愿辅导工作实施意见》,鼓励教师参与志愿辅导,某区率先示范,推出名师公益大课堂,为学生提