（福建专用）2020版高考数学一轮复习 第七章 不等式、推理与证明 7.5 数学归纳法课件 新人教A

7.5数学归纳法知识梳理-2-知识梳理双基自测211.数学归纳法的定义一般地,证明一个与正整数n有关的命题,可按下列步骤进行:(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立;(2)(归纳递推)假设n=k(k≥n0,k∈N*)时命题成立,证明当n=时命题也成立.只要完成这两个步骤,就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立.上述证明方法叫做数学归纳法.知识梳理-3-知识梳理双基自测212.数学归纳法的框图表示知识梳理2-4-知识梳理双基自测3415答案答案关闭(1)×(2)×(3)×(4)√(5)√1.下列结论正确的打“√”,错误的打“×”.(1)用数学归纳法证明问题时,第一步是验证当n=1时结论成立.()(2)所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明.()(3)不论是等式还是不等式,用数学归纳法证明时,由n=k到n=k+1时,项数都增加了一项.()(4)用数学归纳法证明问题时,必须要用归纳假设.()(5)用数学归纳法证明等式“1+2+22+…+”,验证当n=1时,等号左边的式子应为1+2+22+23.()2𝑛+2=2𝑛+3知识梳理-5-知识梳理双基自测234152.若f(n)=1+12+13+…+16𝑛-1(n∈N*),则f(1)等于()A.1B.15C.1+12+13+14+15D.非以上答案答案答案关闭C知识梳理-6-知识梳理双基自测234153.已知n为正偶数,用数学归纳法证明1-12+13−14+…-1𝑛=21𝑛+2+1𝑛+4+…+12𝑛时,若已假设n=k(k≥2,且k为偶数)时命题为真,则还需要用归纳假设再证()A.n=k+1时等式成立B.n=k+2时等式成立C.n=2k+2时等式成立D.n=2(k+2)时等式成立答案答案关闭B知识梳理-7-知识梳理双基自测234154.在用数学归纳法证明“平面内有n条(n≥2)直线,任何两条不平行,任何三条不过同一个点的交点个数为时,第一步验证n0等于()A.1B.2C.3D.4𝑛(𝑛-1)2”答案解析解析关闭因为平面内不平行的两条相交直线就有交点,所以验证n0=2.答案解析关闭B知识梳理-8-知识梳理双基自测234155.用数学归纳法证明1+2+3+…+n2=,当n=k+1时,左端应在n=k的基础上增添的代数式是.𝑛4+𝑛22答案解析解析关闭∵当n=k时,左侧=1+2+3+…+k2,当n=k+1时,左侧=1+2+3+…+k2+(k2+1)+(k2+2)+…+(k+1)2,∴当n=k+1时,左端应在n=k的基础上增添(k2+1)+(k2+2)+…+(k+1)2.答案解析关闭(k2+1)+(k2+2)+…+(k+1)2-9-考点1考点2考点3考点1用数学归纳法证明等式例1(2018江苏南通调研)用数学归纳法证明:当n∈N*时,cosx+cos2x+cos3x+…+cosnx=sin𝑛+12𝑥2sin12𝑥−12(x∈R,且x≠2kπ,k∈Z).思考用数学归纳法证明等式的注意点有哪些?证明：①当n=1时,等式右边=sin1+12𝑥2sin12𝑥−12=sin1+12𝑥-sin1-12𝑥2sin12𝑥=sin𝑥cos12𝑥+cos𝑥sin12𝑥-sin𝑥cos12𝑥-cos𝑥sin12𝑥2sin12𝑥=cosx=等式左边,等式成立.-10-考点1考点2考点3②假设当n=k时等式成立,即cosx+cos2x+cos3x+…+coskx=sin𝑘+12𝑥2sin12𝑥−12.那么,当n=k+1时,cosx+cos2x+cos3x+…+coskx+cos(k+1)x=sin𝑘+12𝑥2sin12𝑥−12+cos(k+1)x=sin(𝑘+1)𝑥-12𝑥+2sin12𝑥cos(𝑘+1)𝑥2sin12𝑥−12=sin(𝑘+1)𝑥cos12𝑥-cos(𝑘+1)𝑥sin12𝑥+2sin12𝑥cos(𝑘+1)𝑥2sin12𝑥−12=sin(𝑘+1)𝑥cos12𝑥+cos(𝑘+1)𝑥sin12𝑥2sin12𝑥−12=sin𝑘+1+12𝑥2sin12𝑥−12.这就是说,当n=k+1时等式也成立.由①和②可知,对任何n∈N*等式都成立.-11-考点1考点2考点3解题心得用数学归纳法证明等式的注意点:(1)用数学归纳法证明等式问题,要“先看项”,弄清等式两边的构成规律,等式两边各有多少项,初始值n0是多少.(2)由n=k时等式成立,推出n=k+1时等式成立,一要找出等式两边的变化(差异),明确变形目标;二要充分利用归纳假设,进行合理变形,正确写出证明过程.(3)不利用归纳假设的证明,就不是数学归纳法.-12-考点1考点2考点3对点训练1用数学归纳法证明:12×4+14×6+16×8+…+12𝑛(2𝑛+2)=𝑛4(𝑛+1)(n∈N+).证明(1)当n=1时,左边=12×1×(2×1+2)=18,右边=14×(1+1)=18,左边=右边,即等式成立.-13-考点1考点2考点3(2)假设n=k(k∈N+)时等式成立,即12×4+14×6+16×8+…+12𝑘(2𝑘+2)=𝑘4(𝑘+1),则当n=k+1时,12×4+14×6+16×8+…+12𝑘(2𝑘+2)+12(𝑘+1)[2(𝑘+1)+2]=𝑘4(𝑘+1)+14(𝑘+1)(𝑘+2)=𝑘(𝑘+2)+14(𝑘+1)(𝑘+2)=(𝑘+1)24(𝑘+1)(𝑘+2)=𝑘+14(𝑘+2)=𝑘+14(𝑘+1+1).所以当n=k+1时,等式也成立,由(1)(2)可知,对于一切n∈N+等式都成立.-14-考点1考点2考点3考点2用数学归纳法证明不等式例2若函数f(x)=x2-2x-3,定义数列{xn}如下:x1=2,xn+1是过点P(4,5),Qn(xn,f(xn))的直线PQn与x轴的交点的横坐标,试运用数学归纳法证明:2≤xnxn+13.思考具有怎样特征的不等式可用数学归纳法证明?证明的关键是什么?-15-考点1考点2考点3证明(1)当n=1时,x1=2,f(x1)=-3,Q1(2,-3).则直线PQ1的方程为y=4x-11,令y=0,得x2=114,因此,2≤x1x23,即当n=1时结论成立.(2)假设当n=k时,结论成立,即2≤xkxk+13.则直线PQk+1的方程为y-5=𝑓(𝑥𝑘+1)-5𝑥𝑘+1-4(x-4).又f(xk+1)=𝑥𝑘+12-2xk+1-3,代入上式,-16-考点1考点2考点3令y=0,得xk+2=4-52+𝑥𝑘+1=3+4𝑥𝑘+12+𝑥𝑘+1,因为2xk+13,所以xk+2=4-52+𝑥𝑘+14-52+3=3,xk+2-xk+1=(3-𝑥𝑘+1)(1+𝑥𝑘+1)2+𝑥𝑘+10,即xk+1xk+2.所以2≤xk+1xk+23,即当n=k+1时结论成立.根据(1)和(2),可知对任意的正整数n,2≤xnxn+13成立.-17-考点1考点2考点3解题心得1.当遇到与正整数n有关的不等式证明时,若用其他办法不容易证,则可考虑应用数学归纳法.2.证明的关键是由n=k时命题成立证n=k+1时命题也成立,在归纳假设使用后可运用比较法、综合法、分析法、放缩法等来加以证明,充分应用基本不等式、不等式的性质等放缩技巧,使问题得以简化.-18-考点1考点2考点3对点训练2已知数列{an},当n≥2时,an-1,a1=0,𝑎𝑛+12+an+1-1=𝑎𝑛2,求证:当n∈N+时,an+1an.证明(1)当n=1时,∴a1a2.(2)假设当n=k(k∈N+)时,ak+1ak,又ak+2+ak+1+1-1+(-1)+1=-1,∴ak+2-ak+10,∴ak+2ak+1,即当n=k+1时,命题成立.由(1)(2)可知,当n∈N+时,an+1an.∵𝑎𝑘+12−𝑎𝑘2=(ak+2-ak+1)(ak+2+ak+1+1),ak+1ak≤0,∴𝑎𝑘+12−𝑎𝑘20.∵a2满足𝑎22+a2-1=0,且a20,-19-考点1考点2考点3考点3归纳—猜想—证明Sn=𝑎𝑛2+1𝑎𝑛-1例题3已知数列{an}的前n项和为Sn,且,且an0,n∈N*(1)求a1,a2,a3,并猜想{an}的通项公式;(2)证明通项公式的正确性.思考解决“归纳—猜想—证明”问题的一般思路是什么?哪些问题常用该模式解决?-20-考点1考点2考点3(1)解当n=1时,由已知得a1=𝑎12+1𝑎1-1,即𝑎12+2a1-2=0,解得a1=√3-1(a10).当n=2时,由已知得a1+a2=𝑎22+1𝑎2-1,将a1=√3-1代入并整理得𝑎22+2√3a2-2=0,解得a2=√5−√3(a20).同理可得a3=√7−√5.猜想an=√2𝑛+1−2𝑛-1.-21-考点1考点2考点3(2)证明①由(1)知,当n=1,2,3时,通项公式成立.②假设当n=k(k3,k∈N+)时,通项公式成立,即ak=√2𝑘+1−2𝑘-1.由于ak+1=Sk+1-Sk=𝑎𝑘+12+1𝑎𝑘+1−𝑎𝑘2−1𝑎𝑘,将ak=√2𝑘+1−2𝑘-1代入上式,整理得𝑎𝑘+12+2√2𝑘+1ak+1-2=0,解得ak+1=√2𝑘+3−√2𝑘+1,即n=k+1时通项公式仍成立.由①②可知对所有n∈N+,an=√2𝑛+1−2𝑛-1都成立.-22-考点1考点2考点3解题心得解决“归纳—猜想—证明”问题的一般思路:通过观察有限个特例,猜想出一般性的结论,然后用数学归纳法证明.这种方法在解决探索性问题、存在性问题或与正整数有关的命题中有着广泛的应用.-23-考点1考点2考点3对点训练3把一个圆分成n(n≥3)个扇形,设用4种颜色给这些扇形染色,每个扇形恰染一种颜色,并且要求相邻扇形的颜色互不相同,设共有f(n)种方法.(1)写出f(3),f(4)的值;(2)猜想f(n)(n≥3),并用数学归纳法证明.解：(1)f(3)=24,f(4)=84.(2)当n≥4时,第1个扇形a1有4种不同的染法,因为第2个扇形a2的颜色与a1的颜色不同,所以a2有3种不同的染法,类似地,扇形a3,…,an-1均有3种染法.对于扇形an,用与扇形an-1不同的3种颜色染色,但是,这样包括了它与扇形a1颜色相同的情况,而扇形a1与扇形an颜色相同的不同染色方法数就是f(n-1),于是可得f(n)=4×3n-1-f(n-1).-24-考点1考点2考点3猜想f(n)=3n+(-1)n·3.证明如下:①当n=3时,左边f(3)=24,右边等于33+(-1)3×3=24,所以等式成立.②假设当n=k(k≥3)时,f(k)=3k+(-1)k·3,则当n=k+1时,f(k+1)=4×3k-f(k)=4×3k-3k-(-1)k·3=3k+1+(-1)k+1·3,即当n=k+1时,等式也成立.由①②知,f(n)=3n+(-1)n·3(n≥3).25