（福建专用）2020版高考数学一轮复习 第九章 解析几何 9.6 双曲线课件 新人教A版

9.6双曲线知识梳理-2-知识梳理双基自测2311.双曲线的定义平面内与两个定点F1,F2的等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做,两焦点间的距离叫做.注:若点M满足||MF1|-|MF2||=2a,|F1F2|=2c,其中a,c为常数,且a0,c0.(1)当时,点M的轨迹是双曲线;(2)当时,点M的轨迹是两条射线;(3)当时,点M的轨迹不存在.距离的差的绝对值双曲线的焦点双曲线的焦距aca=cac知识梳理-3-知识梳理双基自测2312.双曲线的标准方程和几何性质标准方程x2a2−y2b2=1(a0,b0)y2a2−x2b2=1(a0,b0)图形知识梳理-4-知识梳理双基自测231标准方程x2a2−y2b2=1(a0,b0)y2a2−x2b2=1(a0,b0)性质范围x≥a或x≤-a,y∈Rx∈R,y≤-a或y≥a对称性对称轴:坐标轴对称中心:原点对称轴:坐标轴对称中心:原点顶点顶点坐标:A1,A2顶点坐标:A1,A2渐近线y=y=离心率e=𝑐𝑎,e∈(1,+∞),其中c=𝑎2+𝑏2(-a,0)(a,0)(0,-a)(0,a)±𝑏𝑎x±𝑎𝑏x知识梳理-5-知识梳理双基自测231标准方程x2a2−y2b2=1(a0,b0)y2a2−x2b2=1(a0,b0)性质实虚轴线段A1A2叫做双曲线的,它的长|A1A2|=;线段B1B2叫做双曲线的,它的长|B1B2|=;叫做双曲线的实半轴长,叫做双曲线的虚半轴长a,b,c的关系c2=a2+b2(ca0,cb0)实轴2a虚轴2bab知识梳理-6-知识梳理双基自测2313.常用结论(1)渐近线的斜率与离心率的关系(2)若P为双曲线上一点,F为其对应的焦点,则|PF|≥c-a.(3)区分双曲线中a,b,c的关系与椭圆中a,b,c的关系,在椭圆中,a2=b2+c2,而在双曲线中,c2=a2+b2.双曲线𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(a0,b0)的一条渐近线的斜率𝑏𝑎=𝑒2-1.知识梳理2-7-知识梳理双基自测34151.下列结论正确的打“”,错误的打“×”.(1)双曲线方程𝑥2𝑚2−𝑦2𝑛2=λ(m0,n0,λ≠0)的渐近线方程是𝑥2𝑚2−𝑦2𝑛2=0,即𝑥𝑚±𝑦𝑛=0.()(2)关于x,y的方程𝑥2𝑚−𝑦2𝑛=1(mn0)表示焦点在x轴上的双曲线.()(3)与双曲线𝑥2𝑚−𝑦2𝑛=1(其中mn0)共渐近线的双曲线方程可设为𝑥2𝑚−𝑦2𝑛=λ(λ≠0).()(4)等轴双曲线的离心率等于2,且渐近线互相垂直.()(5)若双曲线𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(a0,b0)与𝑥2𝑏2−𝑦2𝑎2=1(a0,b0)的离心率分别是e1,e2,则1𝑒12+1𝑒22=1.()答案答案关闭(1)√(2)×(3)√(4)√(5)√知识梳理-8-知识梳理双基自测234152.(2018全国Ⅱ,理5)双曲线𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(a0,b0)的离心率为3,则其渐近线方程为()A.y=±2xB.y=±3xC.y=±22xD.y=±32x答案解析解析关闭∵e=𝑐𝑎=3,∴𝑐2𝑎2=𝑏2+𝑎2𝑎2=𝑏𝑎2+1=3.∴𝑏𝑎=±2.∵双曲线交点在x轴上,∴渐近线方程为y=±𝑏𝑎x,∴渐近线方程为y=±2x.答案解析关闭A知识梳理-9-知识梳理双基自测234153.已知直线l:kx+y-2k=0与双曲线C:𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(a0,b0)的一条渐近线平行,且这两条平行线间的距离为43,则双曲线C的离心率为()A.2B.22C.2D.3答案解析解析关闭由题意得,|k|=𝑏𝑎,由这两条平行线间的距离为43,即|-2𝑘|1+𝑘2=43,整理,得k2=8,即𝑏2𝑎2=k2=8,所以e=𝑐𝑎=1+𝑏2𝑎2=3,故选D.答案解析关闭D知识梳理-10-知识梳理双基自测234154.已知双曲线C:𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(a0,b0)的一条渐近线方程为y=52x,且与椭圆𝑥212+𝑦23=1有公共焦点,则C的方程为()A.𝑥28−𝑦210=1B.𝑥24−𝑦25=1C.𝑥25−𝑦24=1D.𝑥24−𝑦23=1答案解析解析关闭由题意得𝑏𝑎=52,c=3.又a2+b2=c2,所以a2=4,b2=5,故C的方程为𝑥24−𝑦25=1.答案解析关闭B知识梳理-11-知识梳理双基自测234155.设双曲线𝑥29−𝑦2𝑏2=1(b0)的焦点为F1,F2,P为该双曲线上的一点,若|PF1|=5,则|PF2|=.答案解析解析关闭由双曲线的方程𝑥29−𝑦2𝑏2=1(b0),可得a=3,根据双曲线的定义可知||PF1|-|PF2||=2a=6,又因为|PF1|=5,所以|PF2|=11.答案解析关闭11-12-考点1考点2考点3考点1双曲线的定义及其标准方程例1(1)已知圆C1:(x+3)2+y2=1和圆C2:(x-3)2+y2=9,动圆M同时与圆C1及圆C2相外切,则动圆圆心M的轨迹方程为.(2)已知F1,F2为双曲线C:x2-y2=2的左、右焦点,点P在C上,|PF1|=2|PF2|,则cos∠F1PF2=.(3)已知F是双曲线C:x2-y2=1的右焦点,P是C的左支上一点,点A(0,),则△APF周长的最小值为.思考如何灵活运用双曲线的定义求方程或者解焦点三角形?2答案:(1)x2-𝑦28=1(x≤-1)(2)34(3)6-13-考点1考点2考点3解析:(1)如图所示,设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于A和B.根据两圆外切的条件,得|MC1|-|AC1|=|MA|,|MC2|-|BC2|=|MB|.因为|MA|=|MB|,所以|MC1|-|AC1|=|MC2|-|BC2|,即|MC2|-|MC1|=|BC2|-|AC1|=2,所以点M到两定点C1,C2的距离的差是常数且小于|C1C2|.根据双曲线的定义,得动点M的轨迹为双曲线的左支(点M与C2的距离大,与C1的距离小),其中a=1,c=3,则b2=8.故点M的轨迹方程为x2-𝑦28=1(x≤-1).-14-考点1考点2考点3(2)因为由双曲线的定义有|PF1|-|PF2|=|PF2|=2a=22,所以|PF1|=2|PF2|=42,所以cos∠F1PF2=|𝑃𝐹1|2+|𝑃𝐹2|2-|𝐹1𝐹2|22|𝑃𝐹1|·|𝑃𝐹2|=(42)2+(22)2-422×42×22=34.(3)设双曲线的左焦点为F',由双曲线C:x2-y2=1可得a=1,b=1,c=2,即有F(2,0),F'(-2,0),△APF周长为|PA|+|PF|+|AF|=|PA|+|PF|+2,由双曲线的定义可得|PF|-|PF'|=2a=2,即有|PA|+|PF|=|PA|+|PF'|+2,当P在左支上运动到A,P,F'共线时,|PA|+|PF'|取得最小值|AF'|=2,则有△APF周长的最小值为2+2+2=6.-15-考点1考点2考点3解题心得双曲线定义的应用主要有两个方面:一是判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线,进而根据要求可求出曲线方程;二是在“焦点三角形”中,常利用正弦定理、余弦定理,经常结合||PF1|-|PF2||=2a,运用平方的方法,建立与|PF1|·|PF2|的联系.-16-考点1考点2考点3对点训练1(1)已知F1,F2分别为双曲线C:x2-y2=1的左、右焦点,点P在双曲线C上,且∠F1PF2=60°,则|PF1|·|PF2|等于()A.2B.4C.6D.8(2)已知F为双曲线C:的左焦点,P,Q为C上的点.若PQ的长等于虚轴长的2倍,点A(5,0)在线段PQ上,则△PQF的周长为.𝑥29−𝑦216=1答案:(1)B(2)44-17-考点1考点2考点3解析:(1)由题意知a=1,b=1,c=2,故|F1F2|=22.在△PF1F2中,由余弦定理得|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos60°=|F1F2|2=8,即|PF1|2+|PF2|2-|PF1||PF2|=8,①由双曲线定义得||PF1|-|PF2||=2a=2,两边平方得|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|=4,②①-②,得|PF1||PF2|=4.-18-考点1考点2考点3(2)如图所示,设双曲线右焦点为F1,则F1与A重合,坐标为(5,0),则|PF|=|PF1|+2a,|QF|=|QF1|+2a,所以|PF|+|QF|=|PQ|+4a=4b+4a=28,故△PQF周长为28+4b=44.-19-考点1考点2考点3考点2双曲线的几何性质(多考向)考向一已知离心率求渐近线方程例2已知双曲线C:𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(a0,b0)的离心率为2,则点(4,0)到C的渐近线的距离为()A.2B.2C.322D.22思考双曲线的离心率与渐近线的方程有怎样的关系?答案解析解析关闭∵双曲线C的离心率为2,∴e=𝑐𝑎=2,即c=2a,a=b.∴其渐近线方程为y=±x,则(4,0)到双曲线C的渐近线的距离d=|4|2=22.答案解析关闭D-20-考点1考点2考点3考向二已知渐近线方程求离心率例3设F1,F2分别为双曲线𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(a0,b0)的左、右焦点,A为双曲线的一个顶点,以F1F2为直径的圆交双曲线的一条渐近线于B,C两点,若△ABC的面积为12c2,则该双曲线的离心率为()A.3B.2C.3D.2思考求双曲线的离心率需要建立谁与谁的关系?答案解析解析关闭设双曲线的一条渐近线方程为y=𝑏𝑎x,即为bx-ay=0,则A(a,0)到这条渐近线的距离为d=𝑎𝑏𝑎2+𝑏2=𝑎𝑏𝑐.因为△ABC的面积为12c2,所以12·2c·𝑎𝑏𝑐=12c2,即4a2b2=c4,即4a2(c2-a2)=c4,即c2=2a2,即c=2a,所以e=𝑐𝑎=2.答案解析关闭D-21-考点1考点2考点3考向三由离心率或渐近线方程确定双曲线方程例4已知双曲线𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(a0,b0)的左焦点为F,离心率为2,若经过F和P(0,4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线,则双曲线的方程为()A.𝑥24−𝑦24=1B.𝑥28−𝑦28=1C.𝑥24−𝑦28=1D.𝑥28−𝑦24=1思考求双曲线方程的一般思路是怎样的?答案解析解析关闭设双曲线半焦距为c(c0),则双曲线𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(a0,b0)的左焦点F的坐标为(-c,0),渐近线方程为y=±𝑏𝑎x.∵点P的坐标为(0,4),∴直线PF的斜率为k=4𝑐.由题意得4𝑐=𝑏𝑎.①∵双曲线的离心率为2,∴𝑐𝑎=2.②在双曲线中,a2+b2=c2,③联立①②③解得a=b=22,c=4.∴所求双曲线的方程为𝑥28−𝑦28=1.故选B.答案解析关闭B-22-考点1考点2考点3考向四利用渐近线与已知直线位置关系求离心率范围思考如何求双曲线离心率的取值范围?例5已知双曲线𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1与直线y=2x有交点,则双曲线离心率的取值范围为()A.(1,5)B.(1,5]C.(5,+∞)D.[5,+∞)答案解析解析关闭因为双曲线的一条渐近线方程为y=𝑏𝑎x,则由题意得𝑏𝑎2,所以e=𝑐𝑎=1+𝑏𝑎21+4=5.答案解析关闭C-23-考点1考点2考点32.求双曲线方程的一般思路是利用方程的思想,把已知条件转化成等式,通过解方程求出a,b的值,从而求出双曲线的方程.3.涉及过原点的直线与双曲线的交点,求离心率的范围问题,要充分利用渐近线这个媒介,并且要对双曲线与直线的交点情况进行分析,最后利用三角或不等式解决问题.解题心得1.双曲线的离心率与渐近线有密切联系,可通过公式𝑏𝑎=𝑒2-1来反映.求双曲线的离心率的一般思路就是根据已知条件,建立