线面平行、面面平行的判定

思考：怎样判定直线与平面平行呢？线面平行的判定定理：平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行．符号表示为：l⊄α，m⊂α，l∥m⇒l∥α定理的本质：线面平行的概念例1：如图1，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，回答下列问题:(1)在图1中，哪些线段所在的直线与平面ADD1A1平行？(2)在图1中，哪些平面与AB所在的直线平行？图1解：(1)在图2中，线段BB1、BC、CC1、C1B1、BC1所在的直线与平面ADD1A1平行．(2)在图2中，平面A1B1C1D1、CC1D1D与AB所在的直线平行.证线面平行例2：已知：空间四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD的中点，求证：EF∥平面BCD.图2证明：如图2，连接BD.在△ABD中，∵E、F分别是AB、AD的中点，∴EF∥BD.又EF⊄平面BCD，BD⊂平面BCD，∴EF∥平面BCD.证线面平行的关键是找线线平行(即在平面内找到一条直线与该直线平行)．如果已知中点，则可抓住中位线得到线线平行．1.如图3，P是平行四边形ABCD所在平面外一点，Q是PA的中点．求证：PC∥平面BDQ.图3证明：连接AC，交BD于O，连接QO.∵ABCD为平行四边形，∴O为AC的中点．又Q为PA的中点，∴QO∥PC.显然，QO⊂平面BDQ，PC⊄平面BDQ，∴PC∥平面BDQ.证明：如图4，在△ABC中，E、F分别是AB、BC的中点，∴AC∥EF，AC⊄平面EFG，EF⊂平面EFG.于是AC∥平面EFG.同理可证，BD∥平面EFG.图42.已知AB、BC、CD是不在同一个平面内的三条线段，E、F、G分别是AB、BC、CD的中点，求证：平面EFG和AC平行，也和BD平行．面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．用符号表示为：a⊂β，b⊂β，a∩b＝Pa∥α，b∥α⇒β∥α.思考：1.平面内有一条直线与平面平行,,平行吗?2.平面内有两条直线与平面平行,,平行吗?定理的本质：证面面平行例3：如图5，已知正方体ABCD－A1B1C1D1.求证：平面AD1B1∥平面C1DB.图5证明：∵D1B1∥DB，D1B1⊄平面C1DB，DB⊂平面C1DB，∴D1B1∥平面C1DB，同理AB1∥平面C1DB，又D1B1∩AB1＝B1，AB1、D1B1同在平面AD1B1内，∴平面AD1B1∥平面C1DB.1.如图6，在棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F、G分别为棱AA1、A1B1、A1D1的中点．求证：平面EFG∥平面BC1D.图6证明：如图7，连接B1D1，图7则有B1D1∥BD.∵E、F、G分别为A1A、A1B1、A1D1的中点，∴FG∥B1D1.则FG∥BD，∴FG∥平面BC1D.同理EF∥DC1.∴EF∥平面BC1D.又∵EF∩FG＝F，∴平面EFG∥平面BC1D.2.如图8，已知正方体ABCD－A1B1C1D1，E、F、G分别是CC1、BC和DC的中点，M、N、Q分别是AA1、A1D1和A1B1的中点．求证：平面EFG∥平面MNQ.图8证明：∵FG∥BD∥B1D1∥NQ，则FG∥NQ，∴FG∥平面MNQ.同理EF∥MN.∴EF∥平面MNQ.又∵EF∩FG＝F，∴平面EFG∥平面MNQ.1．直线l与平面α内无数条直线平行，则l与α的位置关系是()DA．平行C．平行或相交B．相交D．以上答案都不对2．给出下列四个命题：①若一条直线与一个平面内的一条直线平行，则这条直线与这个平面平行；②若一条直线与一个平面内的两条直线平行，则这条直线与这个平面平行；③若平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行；④若两条平行直线中的一条与一个平面平行，则另一条也与这个平面平行．其中正确命题的个数是()BA．0个B．1个C．2个D．3个4．若a、b是异面直线，则下列命题中是假命题的是()A．过b有一个平面与a平行DB．过b只有一个平面与a平行C．过b有且只有一个平面与a平行D．过b不存在与a平行的平面5.P56:2,P58:1--3如图9，P是平行四边形ABCD所在平面外一点，E为PB的中点，O为AC、BD的交点．(1)求证：EO∥平面PCD;(2)图中EO还与哪个平面平行？图9(1)证明：∵在平行四边形ABCD中，O为AC、BD的交点，∴O为BD的中点．又∵在△PBD中，E为PB的中点，∴EO∥PD.∵EO⊄平面PCD，PD⊂平面PCD，∴EO∥平面PCD.(2)解：图中EO还与平面PAD平行．1.线面平行的判定定理(文字语言、符号语言、图形语言）2.面面平行的判定定理(文字语言、符号语言、图形语言）