上海市(长宁、宝山、嘉定、青浦)四区2016届高三数学4月质量调研测试(二模)试题-文

长宁、青浦、宝山、嘉定四区2016届第二学期高三年级教学质量检测数学试卷（文科）（满分150分，考试时间120分钟）考生注意：1．本试卷共4页，23道试题，满分150分．考试时间120分钟．2．本考试分设试卷和答题纸．试卷包括试题与答题要求．作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分．3．答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸上将姓名、学校、班级等信息填写清楚，并将核对后的条形码贴在指定位置上．一．填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对4分，否则一律得零分．1．设集合},2||{RxxxA，},034{2RxxxxB，则ABI_________．2．已知i为虚数单位，复数z满足i11zz，则||z__________．3．设0a且1a，若函数2)(1xaxf的反函数的图像经过定点P，则点P的坐标是___________．4．计算：222)1(CPlimnnnn__________．5．在平面直角坐标系内，直线:l022yx，将l与两条坐标轴围成的封闭图形绕y轴旋转一周，所得几何体的体积为___________．6．已知0sin2sin，,2，则2tan_____________．7．设定义在R上的偶函数)(xfy，当0x时，42)(xxf，则不等式0)(xf的解集是__________________．8．在平面直角坐标系xOy中，有一定点)1,1(A，若线段OA的垂直平分线过抛物线:Cpxy22（0p）的焦点，则抛物线C的方程为_____________．9．已知x、y满足约束条件,02,4,yyxxy则yxz2的最小值为____________．10．已知在62xkx（k为常数）的展开式中，3x项的系数等于160，则k_____________．11．从棱长为1的正方体的8个顶点中任取3个点，则以这三点为顶点的三角形的面积等于21的概率是______________．12．已知数列}{na满足nnaaan3221（*Nn），则22122312naaanL__________．13．甲、乙两人同时参加一次数学测试，共有10道选择题，每题均有4个选项，答对得3分，答错或不答得0分．甲和乙都解答了所有的试题，经比较，他们只有1道题的选项不同，如果甲最终的得分为27分，那么乙的所有可能的得分值组成的集合为____________．14．对于函数bxaxxf2)(，其中0b，若)(xf的定义域与值域相同，则非零实数a的值为_____________．二．选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且仅有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，每题选对得5分，否则一律得零分．15．“0sin”是“1cos”的（）．（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件16．下列命题正确的是（）．（A）若直线1l∥平面，直线2l∥平面，则1l∥2l；（B）若直线l上有两个点到平面的距离相等，则l∥；（C）直线l与平面所成角的取值范围是2,0；（D）若直线1l平面，直线2l平面，则1l∥2l.17．已知ar，br是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量cr满足()()0cacbrrrr，则||cr的最大值是（）．（A）1（B）2（C）2（D）2218．已知直线l：bxy2与函数xy1的图像交于A、B两点，设O为坐标原点，记△OAB的面积为S，则函数)(bfS是（）．（A）奇函数且在),0(上单调递增（B）偶函数且在),0(上单调递增（A）奇函数且在),0(上单调递减（D）偶函数且在),0(上单调递减三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分．如图，在直三棱柱111CBAABC中，底面△ABC是等腰直角三角形，21AABCAC，D为侧棱1AA的中点．（1）求证：AC平面11BBCC；（2）求异面直线DB1与AC所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．已知函数12cos2sin3)(xxxf（Rx）．（1）写出函数)(xf的最小正周期和单调递增区间；（2）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若0)(Bf，23BCBA，且4ca，求b的值．21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．定义在D上的函数)(xf，如果满足：对任意Dx，存在常数0M，都有Mxf)(成立，则称)(xf是D上的有界函数，其中M称为函数)(xf的上界．（1）设1)(xxxf，判断)(xf在21,21上是否为有界函数，若是，请说明理由，并写出)(xf的所有上界M的集合；若不是，也请说明理由；（2）若函数xxaxg41211)(在),0[上是以3为上界的有界函数，求实数a的取值范围．ABCA1B1C1D22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．设椭圆：12222byax（0ba）的右焦点为)0,1(F，短轴的一个端点B到F的距离等于焦距．（1）求椭圆的标准方程；（2）设C、D是四条直线ax，by所围成的矩形在第一、第二象限的两个顶点，P是椭圆上任意一点，若ODnOCmOP，求证：22nm为定值；（3）过点F的直线l与椭圆交于不同的两点M、N，且满足△BFM与△BFN的面积的比值为2，求直线l的方程．23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．已知数列}{na、}{nb满足：411a，1nnba，211nnnabb．（1）求1b，2b，3b，4b；（2）求证：数列11nb是等差数列，并求}{nb的通项公式；（3）设13221nnnaaaaaaS，若不等式nnbaS4对任意*Nn恒成立，求实数a的取值范围．xyFODCB文科数学参考答案一．填空题1．]1,2(2．13．)1,3(4．235．326．37．]2,2[8．xy429．610．211．7312．nn62213．}30,27,24{14．4二．选择题15．B16．D17．C18．B三．解答题19．（1）因为底面△ABC是等腰直角三角形，且BCAC，所以，BCAC，（2分）因为1CC平面ABC，所以ACCC1，………………………………………（4分）所以，AC平面11BBCC．……………………………………………………（5分）（2）取1CC点E，连结DE、EB1，则DE∥AC所以，DEB1就是异面直线DB1与AC所成角（或其补角）．…………………（2分）解法一：由已知，1CCDE，ACDE，所以DE平面11BBCC，所以△DEB1是直角三角形，且901EDB，…………………………………………（4分）因为2DE，51EB，所以，25tan11BEEBDEB，……………………（6分）所以，异面直线DB1与BC所成角的大小为25arctan．…………………………（7分）解法二：在△DEB1中，31DB，51EB，2DE，由余弦定理得，322325492cos1212211DEDBEBDEDBDEB．……………（6分）所以，异面直线DB1与BC所成角的大小为32arccos．……………………………（7分）20．（1）162sin2)(xxf，…………………………………………（3分）所以，)(xf的最小小正周期T，…………………………………………（4分）)(xf的单调递增区间是6,3kk，Zk．……………………………（6分）（2）0162sin2)(BBf，故2162sinB，所以，6262kB或65262kB（Zk），因为B是三角形内角，所以3B．…………………………（3分）而23cosBacBCBA，所以，3ac，…………………………（5分）又4ca，所以，1022ca，所以，7cos2222Baccab，所以，7b．…………………………………（8分）21．（1）111)(xxf，则)(xf在21,21上是增函数，故21)(21fxff，即31)(1xf，……………………………………………（2分）故1|)(|xf，所以)(xf是有界函数．……………………………………………（4分）所以，上界M满足1M，所有上界M的集合是),1[．……………………（6分）（2）由题意，3)(3xg对),0[x恒成立，即3412113xxa，……………………………………………（1分）令xt21，则]1,0(t，原不等式变为242tat，故ttatt2224，故minmax24ttatt，……………………（3分）因为tty4在]1,0(上是增函数，故54maxtt，…………………（5分）又tty2在]1,0(t上是减函数，故12mintt．………………………（7分）综上，实数a的取值范围是]1,5[．………………………（8分）22．（1）由已知，1c，…………………………………………………（1分）又2||22cbBF，故2a，………………………………………………（2分）所以，3222cab，所以，椭圆的标准方程为13422yx．……………（4分）（2）)3,2(C，)3,2(D，………………………………………………（1分）设),(00yxP，则1342020yx，由已知ODnOCmOP，得,)(3,)(200nmynmx……………………（4分）所以，13)(34)(422nmnm，即2122nm为定值．……………（6分）（3）2BFNBFMSS等价于2||||FNFM，……………………………………………（1分）当直线l的斜斜率不存在时，1||||FNFM，不合题意．……………………………（2分）故直线l的斜率存在，设l：)1(xky，由,134,)1(22yxxky消去x，得096)43(222kkyyk，……………………（3分）设),(11yxM，),(22yxN，则221436kkyy，2221439kkyy，由2||||FNFM，得221yy，则22436kky，)43(292222kky，从而8432k，25k．…………………………………………（5分）所以，直线l的方程为)1(25xy．…………………………………………（6分）23．（1）由已知，nnnnnnnnbbbbaabb21)2()1)(1(1，因为411a，所以，431b，542b，653b，764b．…………（4分）（每个1分）（2）nnbb211，nnnnbbbb2112111，……………………（2分）所以，11112111nn